2019年全国初中数学竞赛试题

2019年全国初中数学竞赛试题

考试时间：2019年3月21日9：30~11：30满分150分

一、选择题（共5题，每小题7分，计35分）

1、 若

10,20==c b b a ，则

c b b a ++的值为（ ）A 、2111

B 、1121

C 、21110

D 、11

210 2、 若实数b a ,满足022

1

2=++-b ab a ，则a 的取值范围是（ ）

A 、2-≤a

B 、4≥a

C 、42≥-≤a a 或

D 、42≤≤-a

3、如图，在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°AB=32，

BC=24,224=-CD ，则AD 边长是（ ） A 、62 B 、64 C 、64+ D 、622+ 4、在一列数k x x x x 321,,中，已知,11=x 且当2≥k 时，

,

4241411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--+=-k k x x k k （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，

如[][]02.0,26.2==），则2010x 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、如图在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），

B （2，－1），

C （－2，－1），

D （－1，1）。y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得 点1P ，点1P 绕点B 旋转180°得点2P ，点2P 绕点C 旋转180°得点3P ，点3P 绕点D 旋转 180°得点4P ，……，重复操作依次得到点1P ，2P ，……则点2010P 的坐标是（ ） A 、（2019，2） B （2019，－2）、 C 、（2019，－2） D 、（0，2）

二、填空题（每小题7分，计35分）

6、已知15-=a ，则1227223--+a a a 的值等于 ；

7、一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻， 客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货 车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过了 分钟货车追上客车；

8、如图在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别为O （0，0），A （0，6）， B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）。若直线l 经过M （2，3）点，且将多边形 分割面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式： ；

D

A

B

C

第3题

9、如图射线AM 、BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分 别交BE ，BN 于F 、C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若CD=CF ，则

=AD

AE

10、对于i =2，3，…k ，正整数n 除以i 所得的余数i －1，若n 的最小值0n 满足

300020000<

三、解答题（每小题20分，计80分）

11、如图，抛物线)0(2>+=a bx ax y 与双曲线x

k

y =

相交于点A 、B ，已知点A 坐标（1，4）， 点B 在第三象限内，且⊿AOB 的面积为3（O 为坐标原点）。 ⑴求实数a 、b 、k 的值；

⑵过抛物线上点A 作直线A C ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足⊿EOC~⊿AOB 的 点E 的坐标。

第5题

12、如图⊿ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是⊿ABD 和⊿ACD 的外接圆的直径，连结EF ，求证：BC

EF

PAD =∠tan

13、实数b a ,使得关于y x ,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-0

1222a bx ax xy x xy 有实数解（y x ,）。

⑴求证：2≥y ； ⑵求22b a +的最小值。

14、将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段

不同色，求颜色数目的最小值。