5.2 集合经验模态分解

在相同的时段内，各IMF分量随时间呈现出或强 或弱的非均匀变化，说明这些不同时间尺度的准周期 性振荡不仅包含了气候系统外在强迫的周期变化，还 包含有气候系统的非线性反馈作用。
每种尺度信号波动频率和振幅对原数据总体特征 影响程度可用方差贡献率表示。表 5.2.1给出了各 IMF分量的方差贡献率。
表 5.2.1 气温距平各分量的方差贡献率
在理论上来说，该方法适用于任何类型的信号分解 ，特别是在处理非线性、非平稳时间序列方面，更 具有明显的优势。目前，这一方法已被广泛地应用 于自然科学与社会科学研究的相关领域。
一、集合经验模态分解的基本原理
集合经验模态分解（EEMD）方法，是在经验模 态分解（empirical mode decomposition，缩写为 EMD）的基础上发展起来的。该方法的本质，是对时 间序列数据进行局部平稳化处理，然后进行希尔伯特 变换获得时频谱图，得到有物理意义的频率。
集合经验模态分解算法：
（1）对原始信号添加白噪声序列：
xi (t) x(t) ni (t (t) 是对原始信号数据 x(t) 添加第i个白噪声 后得到的新信号，ni(t) 是白噪声。
（2）根据（5.2.1）～（5.2.2）式所描述的经验模态分 解方法，将添加了白噪声的信号分解成各分量IMFs。 得到了第i个分量IMF响应的组分 Cij (t) 和剩余组分 ri(t) 。
若位于置信度曲线以下，则认为未通过显著性检 验，其所含信息多为白噪声成分。
集合经验模态分解的计算过程，可以借助于 Matlab软件编程实现。由黄锷领导的研究团队提供的 集合经验模态分解计算程序（Matlab软件程序m文件 “eemd.m”），可以从台湾国立中央大学数据分析 方法研究中心网站下载 （.tw/eemd.m）。
因此，可采用标准差SD (一般取0.2~0.3)作为筛选 过程停止的准则，当SD达到某个阈值时，停止筛选。 SD的计算公式为：
SD
T
h1(k
1)
(t
)
h1k
(t))
2
t0
h1(k1) (t)
(5.2.4)
若设第一个IMF分量 h1k(t) c1 ，则其它剩余量 r1(t)
可表示：
r1(t) x(t) C1
极小值，然后利用三次样条插值方法形成上包络线u1(t)
和下包络线 u2(t) ，则局部均值包络线 m1(t)可表示为：
m1 (t )
1 2
u1 (t )
u2
(t)
（5.2.1）
原始信号 x(t) 减去局部均值包络线m1(t) ，可得第
一向量 h1 ， 数学表达式为 ：
h1(t) x(t) m1(t)
从理论上说，白噪声的IMF分量应分布在该直线 上，但实际应用时会产生些许偏差，对此给出白噪声 能量谱分布的置信区间：
ln Ek ln{Tk }a 2 / N eln({Tk } / 2 )
其中，a为显著性水平。
（5.2.12）
在给定的显著性水平下，分解所得IMF的能量相 对于周期分布位于置信度曲线以上，表明其通过显著 性检验，可认为是在所选置信水平范围内包含了具有 实际物理意义的信息；
(5.2.5)
对 r1(t) 做（5.2.1）～（5.2.5）式同样的“筛选”
过程，一次得到C2，C3，… ，直到 r1(t) 基本呈单调趋
势或 r1 t 很小时停止，则原信号重构为：
n
x(t) Ci (t) rn (t) i 1
（5.2.6）
虽然经验模态分解方法在信号分析中具有明显的 优势，但也存在着无法避免的缺陷，即边缘效应和 尺度混合。
IMF components IMF1 IMF2 IMF3 IMF4 RES
Period/year
3
6
10
30
Contribution/% 28.29 19.61 10.11 8.58 33.40
结合图 5.2.3和表 5.2.1可以看出， IMF1表示的准3年周期贡献率最大，达到了28.29%
集合经验模态分解，是在经验模态分解的基础上 ，加入一组或多组白噪声信号，用于抑制经验模态分 解过程中出现的端点效应和模态混叠现象。由于它引 入了白噪声扰动并进行集合平均，从而避免了尺度混 合问题，使得最终分解的各分量保持了物理上的唯一 性。
（一）本征模函数
经验模态分解，将复杂信号分解为有限个本征模 函数（intrinsic mode function，简称IMF），所分解 出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局 部特征信息。
第2节 集合经验模态分解
➢ 集合经验模态分解的基本原理 ➢ 集合经验模态分解实例
集合经验模态分解（ensemble empirical mode decomposition，缩写为EEMD），是黄锷（Huang N. E.）等人创建的一种信号分析方法。
该方法的优点，是依据数据自身的时间尺度特征进 行信号分解，即局部平稳化处理，无须预先设定任 何基函数，因而具有广泛的适用性。
尤其是尺度混合，它不仅会造成各种尺度振动 模态的混合，甚至还可以使个别IMF失去物理意义。
而集合经验模态分解，是在经验模态分解的基 础上发展起来的，由于其引入了白噪声扰动并进行 集合平均，从而避免了尺度混合问题，使得最终分 解的IMFs分量保持了物理上的唯一性。
（三）集合经验模态分解
集合经验模态分解的操作步骤 （1）在待分析的原始信号序列中叠加上给定振幅的 白噪声序列； （2）对于加入白噪声后的信号，做经验模态分解； （3）反复重复以上两步操作，每次加入振幅相同的 新生的白噪声序列从而得到不同的IMFs； （4）将各次分解得到的IMFs进行集合平均，使加入 的白噪声互相抵消，并将其作为最终的分解结果。
本征模函数，是经验模态分解的基础。 在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须 是对称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和 极值点数目。在此基础上，黄锷等人提出了本征模函 数的概念。
一个本征模函数，必须满足以下两个条件：
① 在整个时间范围内，函数的局部极值点和过零点 的数目必须相等，或最多相差一个； ② 在任意时刻点，局部最大值的包络（上包络线） 和局部最小值的包络（下包络线）平均必须为零。
（5.2.2）
如 h1(t) 不满足IMF条件，则视其为新的 x(t)，重复 （5.2.1）式和（5.2.2）式的计算步骤，经过k次重复， 得到满足IMF要求的 h1k(t)，即第一个IMF分量：
h1k (t) h1(k1) (t) m1k (t)
（5.2.3）
实际操作中过多地重复上述处理会使IMF变成幅 度恒定的纯粹的频率调制信号，从而失去实际意义。
二、集合经验模态分解实例
（一）研究区域与数据来源
我国新疆地区，其基本的气候特征是：晴天多， 日照强，干燥，少雨，冬寒夏热，昼夜温差大。
为分析新疆地区气温变化趋势的多尺度特征及其 空间差异，选用了具有代表性、时间序列较为完整的 位于新疆的16个国际交换站的1957—2012年期间的年 平均气温数据，这些站点基本上可以覆盖整个新疆地 区（详见图5.2.1）。
本征模函数表征了数据的内在的振动模式。 由本征模函数的定义可知，由过零点所定义的本 征模函数的每一个振动周期，只有一个振动模式，没 有其他复杂的奇波。一个本征模函数并没有约束为是 一个窄带信号，而且可以是频率和幅值的调制，还可 以是非稳态的。单由频率或单由幅值调制的信号也可 以成为本征模函数。
（二）经验模态分解
集合经验模态分解的基本原理 经验模态分解，基于以下假设条件： ① 信号函数至少有两个极值，一个最大值和一个最 小值； ② 信号的局部时域特性是由极值点间的时间尺度唯 一确定； ③ 如果信号函数没有极值点但有拐点，则可以通过 对数据微分一次或多次求得极值，然后再通过积分 来获得分解结果。
该方法的本质，是通过信号的特征时间尺度来获 得本征波动模式，然后分解信号。
N Tk NPk
（5.2.10）
式中，N是IMF的长度，NPk 是 IMF的峰点的个数。 对于添加了白噪声的第k个IMF分量，其能量谱密度 均值 Ek 和平均周期 Tk 的近似关系为：
ln Ek ln
Tk
0
a
（5.2.11）
即在以
ln
Tk
a
为X轴，ln Ek
为Y轴的图中，两者的
关系将表现为斜率为-1的直线。
集合经验模态分解可借助于白噪声的集合扰动进行 显著性检验，从而给出各个分量IMFs的信度。
设第k个IMF分量的能量谱密度为：
Ek
1 N
N
Ik
j 1
2
j
（5.2.9）
式中，N代表IMF分量的长度，I k ( j)表示第k个IMF 分量通过蒙特卡罗法对白噪声序列进行实验。
第k个分量IMF的平局周期：
这种分解过程可以形象地称之为“筛选 （sifting）”过程。
经验模态分解过程：
经验模态分解，将信号中不同尺度的波动和趋势
逐级分解开来，形成一系列具有不同特征尺度的数据 序列，即本征模函数（IMF）分量，最低频率的IMF分 量代表原始信号的总趋势或均值的时间序列。
对于原始信号x(t) ，首先找出其所有局部极大值和
，振荡信号极为明显，气温振幅呈现出减小-增大减小的趋势，而且可看到在20世纪60年代中后期、 70年代末80年代初和90年代气温振幅明显高于其它 时段； IMF2表示的准6年周期方差贡献率约为19.61%，基 本上反映了20世纪80年代末90年代初期气温偏高的 事实；
IMF3分量表示的准10年周期方差贡献率为10.11%， 显示其在20世纪60—70年代振幅相对较大；
IMF4分量表示的是气温准30年的周期变化，其方差 贡献率为8.58%，在此时间尺度上，气温变幅逐渐 增大，变化的不稳定性增强；趋势项分量的方差贡 献率高达33.40%，表征了新疆年平均气温在19572012年间整体上呈现出非线性的上升变化趋势，尤 其自20世纪80年代后期开始升温较为明显。