勾股定理的培优专题

勾股定理培优专题

一、本节基础知识

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角

三角形•

2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我

们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆

命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

巩固练习：

1如果三角形的三边长a、b、c满足a2+ b2= c2,那么这个三角形是_______________ 三角形, 我们把这个定理叫做勾股定理的____________ •

2 •在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论

是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做___________ 如果把其中一个命题叫做原命

题，那么另一个命题叫做它的____________ •

3. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8, 10, (2)5、12、13, (3)8、15、

17, (4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有______________ .(填序号)

4. ______________________________________________ 若△ ABC中, (b—

a)( b+ a) = c2，则/ B= ____________________________________ ；

5. 如图，正方形网格中，每个小

正方形的边长为1，则网格上的△ ABC是

_______ 三角形.

6. 若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a—2、a、

a+2为边的三角形的面积为___________

7 .写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.

(1) 两直线平行，同位角相等.

(2) 若a>b,则a2>b.

二、经典例题、针对训练、延伸训练

考点一证明三角形是直角三角形

例1、已知：如图，在△ ABC中，CD是AB边上的高，且C E J=AD- BD.求证：△ ABC是直角三角形.

针对训练： 1、已知：在厶 ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足 2 2 2

a +

b +

c +338=10a+24b+26c.试判断△ ABC 的形状.

2（如图）在正方形 ABCD 中, F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=4 BC,求证：.EFA=90 .

3、如图，已知：在△ ABC 中，乙C=90 , M 是BC 的中点，MDAB 于D,求证：A D=A C+BE J .

考点二运用勾股定理的逆定理进行计算

例、如图，等腰△ ABC 中，底边 BC= 20, D 为 AB 上一点，CD= 16, BD= 12, 求厶ABC 的周

长。

A

D

B

E C

B C

针对训练：1、•已知：如图，四边形ABCD AD// BC, AB=4, BC=6 CD=5 AD=3.

求：四边形ABCD的面积•

3.已知：如图，DE=m,BC=n, EBC^ . DCB互余，求B D+C D.

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

例1•阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足a2c2- b2c2=a4- b4,试判断△ ABC的形状•

2 2 .2 2 4 .4 2

2.2、Z2.2、Z2 . 2 2 2.2

Z

解：.a c — b c =a — b , (A) • • c (a — b )=(a +b )(a — b ) , (B) • • c =a +b , ( C) - •△ ABC 是直角三角形•

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号____________ ;

②错误的原因是_________________ ;③本题的正确结论是_____________ •

例2.学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2b2=c2,或许其

他的三角形三边也有这样的关系”•让我们来做一个实验！

(1) 画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

a = _____ mm;

b =_______ mm 较长的一条边长C= _________ mm

比较a2+b2____________ c2(填写“〉”，“v”，或“=”)；

(2) 画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度(精确到1毫米)，较短的两条边长分别是

a =______ mm b=_________ mm 较长的一条边长 C = _________ mm

比较a2+b2_______ c2(填写“〉”，“v” ，或“=”)；

(3) 根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：

_________________________________________________________ ;

O

⑷对你猜想a2b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C 两艇的距离是13海里，A B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练：1 观察下列各式：32+ 42= 52; 82+ 62= 102; 152+ 82= 172; 24?+ 102= 262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式

子.

2、如图所示，有一块塑料模板ABCD长为10叫宽为4叫将你手中足够大的直角三角板PHF的直角

顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直

角边PF与DC的延长线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2c m?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.