勾股定理培优题
部编数学八年级下册勾股定理专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题17.1勾股定理专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•忻城县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（ ）A．12B．8C．4D．2【分析】由勾股定理可直接得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝8，故选：B．2．（2022春•黔西南州期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝，则AB2+BC2的值是（ ）A．2B．3C．2D．4【分析】由勾股定理可直接得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，即AB，故选：A．3．（2022秋•溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（ ）A．a2+b2＝c2B．a2+c2＝b2C．a2﹣b2＝c2D．b2+c2＝a2【分析】根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，∴a2+b2＝c2．故选：A．4．（2022秋•西安月考）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为（ ）A．72B．64C．60D．54【分析】根据勾股定理和正方形面积的公式直接可得答案．【解答】解：由勾股定理得，图形A的面积为100﹣36＝64，故选：B．5．（2022春•合川区校级期中）平面直角坐标系内，点P（1，）到原点的距离是（ ）A．B．2C．+1D．4【分析】直接利用两点间的距离公式可得答案．【解答】解：由两点间距离公式得，OP＝，故选：B．6．（2022春•中宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（ ）A．4B．2C．1D．【分析】根据三角形外角的性质得∠DAC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝30°，∵CD是腰AB上的高，∴CD⊥AB，∴CD＝AC＝2，故选：B．7．（2022春•普陀区校级期末）如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）A．﹣B．1﹣C．﹣1+D．﹣1﹣【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线长，从而得出答案．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴对角线长为＝，∴点A表示的数是1﹣，故选：B．8．（2022春•兰山区期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若，则BC 的长为（ ）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵AB＝＝2，，∴BC＝AB＝AC＝2﹣＝，故选：C．9．（2022秋•高新区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】首先利用勾股定理求出AB，然后利用角平分线的性质得到CD＝DE，在Rt△DEB中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6cm，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4（cm），设DE＝xcm，则CD＝xcm，BD＝（8﹣x）cm，在Rt△DEB中，BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝DE＝3．故选：B．10．（2022秋•海曙区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）A．直角三角形纸片的面积B．最大正三角形纸片的面积C．最大正三角形与直角三角形的纸片面积和D．较小两个正三角形纸片重叠部分的面积【分析】设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），由勾股定理和三角形面积可得S1＝S2+S3，再由面积和差关系即可求解．【解答】解：如图，设三个正三角形面积分别为S1，S2，S3，（不妨设S1＞S2＞S3），两个小正三角形的重叠部分的面积为S4，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∴S2+S3＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝AB2，∴S1＝S2+S3，∴S＝S1﹣（S2+S3﹣S4）＝S1﹣S2﹣S3+S4＝S4，阴影故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•溧阳市期中）若直角三角形两直角边长分别为9和40，则斜边长为 41 ．【分析】利用勾股定理直接计算即可．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝41．故答案为：41．12．（2022秋•天桥区校级月考）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A表示（3，4），则OA＝ 5 ．【分析】根据勾股定理直接计算即可．【解答】解：由勾股定理得，OA＝＝5，故答案为：5．13．（2022秋•临沭县校级月考）在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为 8或16 ．【分析】根据题意得出CD的长度，再利用三角形面积公式求出△ACD的面积即可．【解答】解：根据题意，分以下两种情况：①如图：∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，＝CD•AD＝＝8，∴S△ACD②如图：∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，∴CD＝BD+BC＝8，＝CD•AD＝8×4＝16，∴S△ACD故答案为：8或16．14．（2022春•中山市期末）平面直角坐标系中有两点A（m，﹣1），B（3，4），当m取任意实数时，线段AB长度的最小值为 5 ．【分析】根据垂线段最短即可解决问题．【解答】解：∵A（m，﹣1），∴点A在直线y＝﹣1上，要使AB最小，根据“垂线段最短”，可知：过B作直线y＝﹣1的垂线，垂足为即为A，∴AB最小为5．故答案为：5．15．（2022秋•建邺区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，若CH是△ABC的高线，则CH＝ ．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5．∵CH是△ABC的高线，∴AB•CH＝AC•BC，即5CH＝4×3，解得CH＝．故答案为：．16．（2022秋•秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝ 16 cm2．【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，则S1+S2＝AC2+BC2＝16（cm2），故答案为：16．17．（2022秋•云岩区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝，分别以△ABC的三边为直径画半圆，则两个月形图案（阴影部分）的面积之和是 5 ．【分析】由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AB＝2，设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、③，则S①+S②＝S③，而S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC，即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝＝＝2，设以AB、BC、AC为直径的半圆分别为①、②、③，∴S①＝π×（）2＝AB2，同理：S②＝BC2，S③＝AC2，∴S①+S②＝（AB2+BC2）＝AC2＝S③，＝S①+S②+S△ABC﹣S③＝S△ABC＝AB•BC＝×2×＝5，∴S阴影即两个月形图案（阴影部分）的面积之和是5，故答案为：5．18．（2022秋•仁寿县校级月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 5或11 时，能使DE＝CD？【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11．综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，已知BC＝10，AD＝12，求AC 的长．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∵AD＝12，∴AC＝＝＝13，故AC的长为13．20．（2022秋•玉林期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，求线段CD的长．【分析】由于∠C＝90°，∠ABC＝60°，可以得到∠A＝30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，BD＝AD＝6，再利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出结果．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD＝6，∴CD＝BD＝6×＝3．故线段CD的长为3．21．（2022秋•碑林区校级期中）在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD为BC边上的高，求AD的长．【分析】由题意知，BD+DC＝14，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在直角△ABD中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝AD2+BD2，在直角△ACD中，根据勾股定理AC2＝AD2+CD2，列出方程组即可计算x的值，即可求得AD的长度．【解答】解：∵BC＝14，且BC＝BD+DC，设BD＝x，则DC＝14﹣x，则在直角△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即132＝AD2+x2，在直角△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即152＝AD2+（14﹣x）2，整理计算得x＝5，即AD＝12．22．（2022秋•苏州期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；（2）已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，较长的直角边＝2a+3，∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面积＝（a+3）2＝36，∴a＝3（负值舍去），∴大正方形的面积＝92+32＝90．23．（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF 与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．【解答】证明：如图，连接BF，∵AC＝b，∴正方形ACDE的面积为b2，∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，∵∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝90°，∵∠BAC＝∠EAF，∴∠EAF+∠BAE＝90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2），∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，∴b2＝c2+（b2﹣a2），∴b2＝c2+b2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2．24．（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）利用勾股定理求解BC的长即可；（2）分3种情况讨论：当AP＝BP时，当AB＝BP时，当AB＝AP时，分别计算可求解．【解答】解：（1）∵AC：BC＝3：4，∴设AC＝3xcm，BC＝4xcm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝5x＝10cm，∴x＝2，∴BC＝8cm；（2）由（1）知，BC＝8cm，AC＝6cm，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．。
勾股定理经典培优题
勾股定理的应用经典培优题类型之一 利用勾股定理解决平面图形问题图1－ZT －11．如图1－ZT －1，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于________．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4，有一个内角为60°，P 是直线AB 上不同于A ，B 的一点，且∠ACP ＝30°，求PB 的长．类型之二 利用勾股定理解决立体图形问题3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1－ZT －2所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．图1－ZT －2图1－ZT －34．如图1－ZT －3，将一根长为20 cm 的筷子置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度为________cm.类型之三 利用勾股定理解决折叠问题5．如图1－ZT －4(1)是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图(2)，再将(2)沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图(3)，则折痕DE 的长为( )图1－ZT －4A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm图1－ZT－56．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．类型之四利用勾股定理解决实际问题7．如图1－ZT－6，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？图1－ZT－6详解详析1．82．解：若∠ACB 为60°，当点P 在线段AB 上时(如图①)，由直角三角形的性质得BC ＝2AC ，PC ＝2AP ，由勾股定理，得AB ＝BC 2－AC 2＝42－22＝2 3.再设AP ＝x ，∵∠PCB ＝∠ACB －∠ACP ＝60°－30°＝30°，∠B ＝90°－60°＝30°，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴PC ＝PB ，则有PB ＝2x ＝23AB ＝43 3；当点P 在线段AB 外时(如图②)，可得PB ＝83 3；若∠ABC 为60°，当点P 在直线AB 上时(如图③)，可得PB ＝4.因此PB 的长为4 33或8 33或4.3．25 [解析] 把这个圆柱平均分成5段，将其中一段沿一条母线剪开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长4尺，另一条边长3尺，因此这一段葛藤长42＋32＝5(尺)．故葛藤的总长为5×5＝25(尺)．4．7 [解析]杯子内的筷子长度为122＋52＝13(cm)，则筷子露在杯子外面的长度为20－13＝7(cm)．5．A [解析] 在Rt △DC ′E 中，设DE ＝x ，则DE ＝AE ＝x ，AC ′＝AB －BC ′＝AB －BC ＝4，所以EC ′＝4－x .在Rt △AC ′D 中，∠A ＝30°，由勾股定理得DC ′＝43，在Rt △DEC ′中，根据勾股定理，得DE 2－EC ′2＝DC ′2，即x 2－(4－x )2＝(43)2，解得x ＝83. 6.32[解析] BC ＝AC 2－AB 2＝4. 由折叠的性质，得BE ＝B ′E ，AB ＝AB ′.设BE ＝x ，则B ′E ＝x ，CE ＝4－x ，B ′C ＝AC －AB ′＝AC －AB ＝2.在Rt △B ′EC 中，B ′E 2＋B ′C 2＝EC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32. 7．解：(1)过点A 作AC ⊥BF 于点C ，则AC ＝12AB ＝150千米<200千米， ∴A 市会受到台风的影响．(2)以点A 为圆心，200千米为半径画弧，交BF 于点D ，E ，则CE ＝CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝50 7(千米)，∴A 市受台风影响的时间为50 7×210 7＝10(时)．。
专题01 勾股定理的证明(专项培优训练)(教师版)
专题01 勾股定理的证明（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.57一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•南康区一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A．4B．4.5C．4.8D．5解：∵S正方形ABCD＝24，∴AB2＝24，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝24，∴，根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN ＝2S△CGN，∵S△AEM ＝S△CGN，∴S△FGN ＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：＝＝＝＝2x2＝＝4.8．故选：C．2．（2分）（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）A．128B．64C．32D．144解：∵AE＝5，BE＝13，∴AB＝＝＝，∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，∴EF2的值是64×2＝128，故选：A．3．（2分）（2021秋•卢龙县期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．76B．72C．68D．52解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．4．（2分）（2022秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）A．12B．11C．10D．9解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵ab＝24，a2+b2＝129，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，而a﹣b＞0，∴a﹣b＝9，故选：D．5．（2分）（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．6．（2分）（2023春•涧西区期中）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以解：甲同学的方案：∵大正方形的面积＝小正方形的面积+直角三角形的面积×4，∴（a+b）2＝c2+ab×4，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，因此甲同学的方案可以证明勾股定理；乙同学的方案：∵大正方形的面积＝矩形的面积×2+两个小正方形的面积，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴得不到a2+b2＝c2，因此乙同学的方案不可以证明勾股定理．故选：A．7．（2分）（2023春•樊城区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ）A．9B．10C．11D．12解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝129，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，∴a﹣b＝9（a＞b），∴小正方形的边长为9．故选：A．8．（2分）（2022秋•榕城区期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A．根据图形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；C．根据图形可知：S＝4×ab+c2＝2ab+c2，大正方形S＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，大正方形∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；D．根据图形可知：S＝c2，大正方形S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，故选：B．9．（2分）（2021秋•新绛县期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式正确的是（ ）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+abC．S2＝c2D．S2＝c2+ab解：观察图形可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故选：B．10．（2分）（2022春•南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（ ）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S 2＝CD 2＝32＝9，又∵小正方形EFGH 的面积为S 1，S 2＝5S 1，∴S 1＝，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝，∵将EG 延长交CD 于点I ，∴∠HGE ＝45°，在Rt △EHG 中，由勾股定理得：EG ＝＝，设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，则AF ＝BG ＝CH ＝DE ＝x +，在Rt △CDH 中，由勾股定理得：CD 2＝DH 2+CH 2，即9＝x 2+（x +）2，解得：x 1＝，x 2＝﹣（不合题意，舍去），即AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ＝，∴DH ＝EH ＝，∴CH 垂直平分ED ，∴DG ＝EG ＝，∴∠DGH ＝∠HGE ＝45°，∴∠DGE ＝45°+45°＝90°，∴∠DGI ＝90°，在Rt △DGI 中，由勾股定理得：GI ＝＝＝，故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•路北区期中）如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则ab 的值为 20 ．解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（72﹣32）÷4＝10，即ab ＝10，∴ab ＝20，故答案为：20．12．（2分）（2022秋•巴州区期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNPQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝45，则S 2的值是 15 ．解：设全等的直角三角形的两条直角边为a 、b 且a ＞b ，由题意可知：，因为S 1+S 2+S 3＝45，即（a +b ）2+a 2+b 2+（a ﹣b ）2＝45，3（a 2+b 2）＝45，所以3S 2＝45，∴S 2的值是15．故答案为：15．13．（2分）（2020秋•温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是15，则这个风车的外围周长是 38 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案为：38．14．（2分）（2018•遵义一模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30则x＝13，y＝6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．故答案为：76．15．（2分）（2018春•越秀区校级期中）如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab + （b﹣a）2 ＝ c2 化简得：a2+b2＝c2．解：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2＝c2故答案为：4×ab、（b﹣a）2、c2．16．（2分）（2023春•无棣县期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有 ①③ （填序号）．解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4，∴xy＝，故说法②错误；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故说法③正确；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝，故说法④错误；故答案为：①③．17．（2分）（2021秋•成华区期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案为：318．（2分）（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若＝，则的值为 ．解：∵＝，大正方形面积为m2，∴．设图2中AB＝x，依题意则有：，即4××x2＝，解得：（负值舍去）．在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴，解得：（负值舍去）．∴．故答案为：．19．（2分）（2020春•济南期末）如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是 ．解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．20．（2分）（2019秋•秦都区校级月考）在如图的弦图中，已知正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的边长＝ ．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝＝，故正方形EFGH的边长是．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023•滕州市校级开学）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，即100﹣2ab＝4，∴2ab＝96，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．22．（6分）（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a ，b ，斜边长为c 的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD 的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN 的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD 的面积可表示为 （a +b ）2 ，正方形PQMN 的面积可表示为 （a ﹣b ）2 ．（用含a ，b 的式子表示）（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得（a +b ）2，ab ，（a ﹣b ）2之间的关系为 （a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2 ．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a +b ＝5，ab ＝4，求（a ﹣b ）2的值．解：（1）∵大正方形边长为（a +b ），小正方形边长为（a ﹣b ），∴大正方形面积为（a +b ）2，小正方形面积为（a ﹣b ）2；故答案为：（a +b ）2；（a ﹣b ）2．（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得，故答案为：（a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2．（3）∵a +b ＝5，ab ＝4，∴52＝4×4+（a ﹣b ）2，∴（a ﹣b ）2＝9，∴（a ﹣b ）2的值为9．23．（8分）（2023春•前郭县期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC +S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．24．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．25．（8分）（2022秋•凌海市期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．根据此图证明勾股定理．（如图每个直角三角形斜边为c两个直角边分别为a、b）证明：∵，，∴，整理得a2+b2＝c2．26．（8分）（2022春•广汉市期中）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是 直角 三角形，结论是 a2+b2＝c2 （三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案为：直角；a2+b2＝c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD ＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2＝c2．27．（8分）（2022秋•宝丰县期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2．解：（1）由图可得：大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2，四个直角三角形面积和为：4×ab，由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，则有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，即：c2＝a2+b2．（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．28．（8分）（2022秋•南海区校级月考）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，直角三角形ADE 与直角三角形AGE 全等，直角三角形BFE 与直角三角形BGE 全等，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形DEFC 中，DE ＝EF ＝CF ＝CD ＝x ．小明发明了一种求正方形边长的方法：由题意可得BF ＝BG ＝a ﹣x ，AD ＝AG ＝b ﹣x ，因为AB ＝BG +AG ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝．（1）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（2）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（1）解：连接EC ，如图，∵Rt △BEF ≌Rt △BEG ，Rt △AED ≌Rt △AEG ，∴ED ＝EG ＝EF ＝x ，∴S △AEC ＝bx ，S △BEC ＝ax ，S △AEB ＝cx ，S △ABC ＝ab ，∵S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC ，∴bx +ax +cx ＝ab ，即（a +b +c ）x ＝ab ，∴x ＝；（2）证明：∵x ＝，x ＝，∴＝，∴（a +b +c ）（a +b ﹣c ）＝2ab ，∴（a +b ）2﹣c 2＝2ab ，∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，∴a 2+b 2+2ab ﹣2ab ＝c 2，故a2+b2＝c2．。
《勾股定理》 单元培优练习题
《勾股定理》单元培优练习题一．选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形B．在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，233．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．4．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．3 B．C．3或D．以上都不对5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．76．在下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．在同一平面上把三边BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）A．B．C．D．8．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．310．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（）m．A．2 B．4 C．6 D．811．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm12．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二．填空题13．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm．14．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为．15．已知a，b是互质的正整数，且a+b，3a，a+4b恰为一直角三角形的三条边长，则a+b的值等于16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点D为AC的中点，点E在边BC上，且ED⊥BD，则△CDE的面积是．17．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，．18．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝20cm，则阴影部分的面积是cm2．19．三角形的三边长a，b，c满足2ab＝（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．20．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是．21．如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于．22．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为．三．解答题23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积．24．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．25．操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c（如图①），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状，图②中的两个小正方形的面积S2、S3与图③中小正方形的面积S1有什么关系？你能得到a、b、c 之间有什么关系？26．观察下表列举猜想3、4、5 32＝4+55、12、13 52＝12+137、24、25 72＝24+25……13、b、c132＝b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b＝4时，求这个四边形的周长．参考答案一．选择题1．解：A、等腰三角形底角相等，若底角为60°，则顶角为180°﹣60°﹣60°＝60°，若顶角为60°，则底角为＝60°，所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形，故A选项正确；B、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合，故B选项错误；C、在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故C选项正确；D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成3对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角形全等，即过角平分线作的高线相等，故D选项正确；即B选项中命题为假命题，故选：B．2．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．4．解：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是：＝；当长是5的边是斜边时，第三边是：＝3．第三边长是：或3．故选：C．5．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．6．解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．7．解：如图所示，连接CC′，根据对称的性质可知CC′⊥AB，且CC′＝2CE，∵AC×BC＝AB×CE，∴CE＝，∴CC′＝2×CE＝．故选：D．8．解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．10．解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，所以BC＝＝6．故选：C．11．解：由题意，可得这只烧杯的直径是：＝6（cm）．故选：D．12．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．二．填空题（共10小题）13．解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．故答案为：5或．14．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2．当只有a＝b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．15．解：在直角三角形中，（1）若a+4b为斜边，则（a+4b）2＝（a+b）2+9a2∴9a2﹣6ab﹣15b2＝0，（a+b）（3a﹣5b）＝0∵a+b≠0，且a，b互质，∴a＝5，b＝3．三条边长分别为8，15，17，a+b＝8．（2）若3a为斜边，则9a2＝（a+b）2+（a+4b）2，∴7a2﹣10ab﹣17b2＝0，∴（a+b）（7a﹣17b）＝0．∵a+b≠0，∴7a＝17b，a，b互质，∴a＝17，b＝7．三条边长分别为24，45，51，a+b＝24．综上得a+b＝8．或a+b＝24．16．解：点D为AC的中点故AD＝DC＝AC＝2，S△ABD＝S△BDC＝S△ABC＝12，由勾股定理得BC＝＝4，过D点作DF垂直于BC于F点，DF＝＝＝，BD2＝AD2+AB2＝12+48＝60，BD＝2，由勾股定理得BF＝＝＝3，由射影定理得BD2＝BF•BE，∴BE＝＝＝CE＝BC﹣BE＝4﹣＝，S△CDE＝×CE×DF＝××＝2．故答案为：2．17．解：符合a2+b2＝c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）18．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝20cm，∴AC＝10cm．∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝10cm．故S△ACF＝×10×10＝50（cm2）．故答案为50．19．解：∵2ab＝（a+b）2﹣c2，∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2＝c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab＝（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．20．解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a＝5，b＝12，∴a+b＝17，故答案为：17．21．解：过B作BG⊥AC，交AC于点G，在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，根据勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝S正方形AFED﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ACF＝4﹣×1×1﹣2××2×1＝，S△ABC＝AC•BG，∴×BG＝，则BG＝．故答案为：22．解：直角三角形直角边的较短边为＝3，正方形EFGH的面积＝5×5﹣4×3÷2×4＝25﹣24＝1．故答案为：1．三．解答题（共5小题）23．解：如图所示：设AB＝x，则BC＝x﹣1，故在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，故x2＝52+（x﹣1）2，解得；x＝13，即AB＝13．∴BC＝12，∴S△ABC＝•AC•BC＝×5×12＝30．24．解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2，在△ABD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（9+x）2，解得x＝6，∴AD2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故AD的长为8．25．解：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即S2+S3＝S1，这个结论用关系式可表示为a2+b2＝c2．26．解：根据图表，由图可得规律：，解得．所以b＝84；c＝85．∵132+842＝7225，852＝7225，∴13，84，85是勾股数．27．解（1）由图可得：，整理得：，整理得：a2+b2＝c2；（2）当a＝2，b＝4时，根据勾股定理得：；如图1：则四边形的最大周长为2b+2c＝．。
勾股定理培优试卷
1勾股定理培优试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALC D第21题图322. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
数学勾股定理的专项培优练习题(及答案
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④ 2．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．103．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A ．42B ．6C ．210D ．84．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．152 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．102B ．2C ．512+D ．327．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A ．6B ．36C ．64D ．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．②B ．①②C ．①③D ．②③ 9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c = 10．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4 二、填空题11．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．∠+∠=__________°（点A，B，C是12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB网格线交点）．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．14．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝32，则AB的长为__________．15．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 16．已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_____．17．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b=35，c=5，则ab的值为______．18．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE 的长为______．19．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．20．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．22．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．24．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC，连接PE，直接写出PE的长.27．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝，BC＝，AC＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN中，PM＝17，MN＝25，NP＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积．28．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =-=-=， ∴1272ACD S AG CD =⋅=，故②正确； ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥，∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 2．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=， 则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．3．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，∴AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF=BC=6，∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+22=62，∴CD=42．故选：A．【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．5．C【解析】将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S 2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．6．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，2222310=+0.5=22DK KE +（）（）.7．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A 的面积等于100-64=36；故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．8．D解析：D【分析】根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形 ，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．【详解】由题意得：①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2221+2=5=， 所以能构成直角三角形的是②③．故选D ．【点睛】考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形． 9．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形； B 、A B C ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形；C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形； 故选：D ．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：22+＝5，43当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．【解析】如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴∠90°.根据勾股定理可得．12．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 13．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1=1，OA2=12，OA3=22，OA4=32，…OA2019=20182，再利用1A、2A、3A…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴的特点可得到点A2019在x轴的正半轴上，即可确定点A2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1=1，OA22，OA3=2）2，…，OA2019=2）2018，∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A2019在x轴正半轴上．∵OA2019=2）2018，∴点A2019的坐标为（20182,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 14．43 【分析】 利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=32，∴AC=226AD CD +=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=43，负值舍去，故答案为：43.【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.15．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴10；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．16．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229+DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265+DE BE故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．17．10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝35，c＝5代入即可求出ab的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝35，c＝5，∴（35）2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.18．2或18【分析】分两种情况:点E在AD线段上,点E为AD延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：①如图点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，∴△A ′BE ≌△ABE,∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,在△ECD 与△CB A′中，{CD A BD BA C DEC ECB='∠=∠'∠=∠,∴△ECD ≌△CB A′,∴CE=BC=10,在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;②如图点E 为AD 延长线上,由题意得：∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o∴∠A"BC=∠DCE,在△A"BC 与△DCE 中，"={""A CDECD A B A BC DCE∠∠=∠=∠∴△A"BC ≌△DCE,DE= A"C,在RT △ A"BC 中，22"BC BA -22106-∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.19．5【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．20．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 三、解答题21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15， 答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．23．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝22+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴2223)x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.24．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，AD =∴2AC ==，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴GH ==，∴EG GH EH CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示： （2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．26．（1）2，2）证明见解析（3（4【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，DE =∴BD =，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上， 则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴22233PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+； 综上，PE 的长为33221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.27．（1131710，112；（2）图见解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.28．（1）S=24(06)464(616)t t t <⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）存在，(6,6)或(6,1027)- ，(6,272)【解析】【分析】（1）当P 在AC 段时，△BPD 的底BD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边BD 为固定值，用t 表示出高，即可列出S 与t 的关系式；（2）当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，设P （m ，10），则PB=PB ′=m ，由勾股定理得m 2=22+（6-m ）2，即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P 在线段AC 上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA-＇=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=10 3则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1228627-=∴AP1＝10−7，即P1（6，10-27②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3E=228627-=，∴AP 3=AE+EP 3=27+2，即P 3（6，27+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，10-27），（6，27+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．29．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝263．【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝3GCH ＝30°，∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2， 在Rt △BCH 中，BC 22213BH CH +=∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝2×34×（2132＝3． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．30．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证；（2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题． （4）由EF =22EC CF +=2247(8)()33x x -+-=225(4)259x -+知x =4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D 是边AB 的中点，∴AD =BD ，在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；（2）如图，连接EG ．∵DG =FD ，DF ⊥DE ，∴DE 垂直平分FG ．∴EF =EG ．（3）∵D 是AB 中点，∴AD =DB ，∵△ADG ≌△BDF ，∴∠GAB =∠B∵AB =10,BC =6,AC =8.∴2AB = 2BC + 2AC∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，∴∠EAG =90°，∵AE =x ，AC =8，∴EC =8-x ，∵∠ACB =90°，∴EF 2=（8-x ）2+y 2，∵△ADG ≌△BDF ，∴AG =BF ，∵CF =y ，BC =6，∴AG =BF =6-y ，∵∠EAG =90°，∴EG 2=x 2+（6-y ）2，∵EF =EG ，∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，∴y =473x -，（74＜x ＜254）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -73，∴EF=== ∵（x -4）2≥0， ∴225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．故线段EF 的最小值为5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
勾股定理培优训练
勾股定理培优训练一．选择题（共19小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）（1题）（3题）A．2.4B．2.5C．4.8D．52．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5B．C．5或D．以上都不对3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，则CD的长为（）A．，2或3B．3或C．2或D．2或34．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知△ABC三边分别为a、b、c，根据下列条件能判断△ABC为直角三角形的有（）①∠A＝∠B+∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a：b：c＝3：4：5；④a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）（6题）（7题）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是（）A．3.65B．2.42C．2.44D．2.659．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1C．n2﹣1D．n2+110．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）（11题）（14题）（15题）A．10B．9C．8D．712．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，613．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝20°，∠B＝70°C．AB：BC：CA＝3：4：5D．14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（）A．S3+S4＝4（S1+S2）B．S4﹣S1＝S3﹣S2C．S1+S4＝S2+S3D．S4﹣3S1＝S3﹣3S216．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）（16）（17）（18）（19）A．30m B．40m C．50m D．60m17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（）A．B．C．9πD．918．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（）A．8B．C．D．519．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB ＝3，AD＝4，则ED的长为（）A．B．3C．1D．二．填空题（共11小题）20．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米．（20）（21）21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC最小值是．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC＝．（22）（23）（24）23．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．24．如图，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，则图中此图形的面积是cm2．25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝13cm，CD＝12cm，则四边形ABCD的面积cm2．（25）（26）（27）26．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．27．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝．28．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是．（28）（29）29．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy ＝12；④x+y＝40．其中正确的是（填序号）．30．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．（1）AP＝；（2）点B到直线AP的距离是；（3）∠APB＝；（4）S△APB ＝．三．解答题（共30小题）31．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝75cm，求a、b；（2）若a：c＝15：17，b＝24，求△ABC的面积；（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；（4）若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．33．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．（1）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端也将下滑1m吗？说明你的方法；（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．34．如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．（1）若AD＝CD，求∠C的度数．（2）若AB＝6，BC＝8．①求AE的长度；②求△ACD的面积．36．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．37．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝5千米，BD＝15千米，且CD＝15千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．（1）请你在河流CD上设计选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省（作图）．（2）请你求出铺设水管的长及总费用是多少？38．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？39．如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC．（1）求证：M为EF中点；（2）若EM=3，求CE²+CF²的值．40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．求CD 的长．41．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？42．若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．（1）a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c（2）a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0．43．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式当a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6、8、9时，△ABC三角形：当△ABC三边长分别为6、8、11时，△ABC三角形．（2）小明同学根据上述探究．猜想：“当a2+b2＞c2时．△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝7、b＝24时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、钝角三角形？44．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2﹣24，是判断△ABC的形状．45．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，AD＝12，求△ABC的周长和面积．46．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．47．有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？解：由题意，得AC＝cm，AD＝cm，所以DB＝cm，在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝（cm）．48．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？49．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC．（1）求证：OD＝OE．（2）若AB＝3，BC＝4，求AD的长．50．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm，求△ABC 的周长．51．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求△ABC的面积．52．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B ﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．54．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．55．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB ＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处？56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝4，BD＝2.5．（1）则点D到直线AB的距离为．（2）求线段AC的长．57．（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt △OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则S4＝；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示S n，并求+++...+的值．58．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2+BE2；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．59．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？60．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/秒，设点P运动的时间为t秒．（1）当△PBC是以BC为斜边的直角三角形时，求t的值；（2）当△PBC为等腰三角形时，求t的值．。
完整版)勾股定理培优专项练习
完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。
由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。
连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。
2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。
由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。
连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
专题勾股定理培优版(综合)
专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1，P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是ABPCBCPADPED C C将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.D C CD C C长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD 和AB 的长．图① 图②DB C图2图1A'PPA ABCBC5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是 ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）6.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数. BAC图3CABP变式1：∆ABC 中， ∠ACB=90º，AC=BC ，点P 是∆ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数变式2：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3CBAPCA BEF MN图① 7. 已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．变式1：如图，在Rt ABC ∆中, 90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒ 且3BD =,4CE =,则DE =变式2：如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕 点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=；④222BE DC DE +=其中正确的是（ ） CABE F MN 图②BCDEFA（三）其它应用7. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展：（2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图．．法．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=32，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=32，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式．。
勾股定理培优专项练习
勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ，使得AM+BM 有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E ，AE=1，AD ⊥BC 于D,请在AD 上找一点N ，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形ABCD 上一点E ，AE=1，请在对角线AC 上找一点N ，使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线 a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线 a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=2．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足30MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124、已知AB=20，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=10，CB=5．（1）在AB 上找一点E ，使EC=ED ，并求出EA 的长；（2）在AB 上找一点F ，使FC+FD 最小，并求出这个最小值25、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 ，M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB．边上一点，则EM+BM的最小值为7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）66A．2 B．2C．3D．9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，cm连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
人教版八年级数学下册 第17章《勾股定理》培优试题
第17章《勾股定理》培优试题一．选择题1．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7 B．C．168 D．252．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．3 B．4 C．15 D．7.23．如图．在Rt△ARC中，∠ABC＝90°，以Rt△ARC的三条边分别向外作等边三角形，其面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3的关系是（）A．S2+S3＝S1B．S2+S3＞S1C．S2+S3＜S1D．S22+S32＝S124．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．6．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A ．4B ．16C ．D ．4或8．设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ） A ．1.5B ．2C ．2.5D ．39．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6B ．1，1，C ．6，8，11D ．5，12，2310．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a ﹣1，a +1，4a （a ＞1）．其中能构成直角三角形的有 （ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．①②④11．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．0.3，0.4，0.5C ．1，2，3D ．5，12，1312．如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）A ．13mB ．17mC ．18mD ．25m13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．814．由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5 B ．a ＝12，b ＝13，c ＝5C ．a ＝15，b ＝8，c ＝17D ．a ＝13，b ＝14，c ＝1515．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2 16．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．2C．7 D．817．在平面直角坐标系中，已知定点A（﹣，3）和动点P（a，a），则PA的最小值为（）A．2B．4 C．2D．418．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，则AC＝，若CD ⊥AB，则CD＝．⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，20．如图，OP＝1，过P作PP得OP＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP＝．201221．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝．22．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动米．23．某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．24．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．三．解答题25．阅读材料并解答问题：我们已经知道，如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：；（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．26．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出OA10的长．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．27．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h、h2．1（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；28．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，设EF＝x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S＝c（c+x）你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．△ABD29．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE ＝4，ED＝5，求CD的长．30．如图，梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m，梯子的底端B 距离墙角C为6m．（1）求梯子AB的长；（2）当梯子的顶端A下滑2m到点A′时，底端B向外滑动到点B′，求BB′的长．参考答案一．选择题1．解：设斜边上的高h，由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边＝＝7，则×24×7＝×25×h，解得，h＝，故选：B．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝12，AC＝9，∴AB＝＝15，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝＝7.2，故选：D．3．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据勾股定理得：c2＝a2+b2，∵S1＝c2，S2＝a2，S3＝b2，∴S1＝S2+S3，即S2+S3＝S1．故选：A．4．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝3+4+，故选：C．5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．6．解：如图所示：S＝×BC×AE＝×BD×AC，△ABC∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．7．解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；当5是斜边长时，第三边长为：＝4．故选：D．8．解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5＝6，∴a+b＝3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2＝2.52，②由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2.52∴3.52﹣2ab＝2.52ab＝3，故选：D．9．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．10．解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；②42+32＝52，故能构成直角三角形；③62+72≠82，故不能构成直角三角形；④（a﹣1）2+（a+1）2≠（4a）2，故不能构成直角三角形．∴能构成直角三角形的是①②．故选：C．11．解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．故选：D．12．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17米．故选：B．13．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．14．解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．15．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．16．解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．17．解：PA＝＝＝，∴PA的最小值为＝4，故选：B．18．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝BC＝4，AD⊥BC，由勾股定理得，AD＝＝3，故选：C．二．填空题（共6小题）19．解：∵∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即×10•CD＝×8×6，解得CD＝4.8．故答案为：8，4.8．＝＝，20．解：由勾股定理得：OP∵OP＝；得OP2＝；＝，依此类推可得OP＝，∴OP故答案为：．21．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝，故正方形EFGH的面积＝×＝10．故答案为：10．22．解：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时，梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．23．解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300∴AC＝600米．故答案为600．24．解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52＝（x+1）2，解得x＝12m．三．解答题（共6小题）25．解：（1）因为长方形面积＝（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为＝2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（2）因为正方形的面积＝c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，所以直角三角形的三边关系为：a2+b2＝c2．（3）∵a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，∴a+b＝14，∴a＝8，b＝6，∴c2＝82+62＝100，∵c＞0，∴c＝10．26．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA 10＝．（3）S+S+S+…+S＝+++…＝＝＝．27．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．28．（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）∴∠BAC＝∠EDC（全等三角形的对应角相等），∵∠AEF＝∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC＝90°（直角三角形两锐角互余），∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°．∴DE⊥AB．（2）解：由题意知：S＝S△BCE+S△ACD+S△ABE＝a2+b2+cx，△ABD∵，∴．∴a2+b2＝c2．29．解：∵AD＝3，AE＝4，ED＝5，∴AD2+AE2＝ED2．∴∠A＝90°．∴DA⊥AB．∵∠C＝90°．∴DC⊥BC．∵BD平分∠ABC，∴DC＝AD．∵AD＝3，∴CD＝3．30．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝＝＝10m；（2）∵梯子的顶端A下滑2m，∴CA′＝8﹣2＝6m，∴CB′＝＝＝8（m），∴BB′＝B′C﹣BC＝8﹣6＝2（m）．。
数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案
一、选择题1．如图，等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点F 是AB 边的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且∠DFE ＝90°，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③CD +CE ＝2FA ；④AD 2+BE 2＝DE 2．其中错误结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．43．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（ ）A ．5B ．53C 53D 53 4．在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A( ) A ．一定是锐角 B ．一定是直角 C ．一定是钝角 D ．非上述答案5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1526．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )A ．(－2，23)B ．(－2，－23)C ．(－2，－2)D ．(－2，2) 7．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．40D ．48 8．下列命题中，是假命题的是( )A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）A ．3尺B ．4.2尺C ．5尺D ．4尺10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A 33B ．4cmC ．2cmD ．6cm二、填空题11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________13．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．14．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.15．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．16．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．17．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB 5AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．18．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM＝7EF，则正方形ABCD的面积为_______.三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷⎝（2）已知a、b、c满足2|2332(30)0a b c-+-=．判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．23．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．24．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．26．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；，求线段AB （3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：22，CD＝36的长．27．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).28．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．【详解】连接CF，交DE于点P，如下图所示结论①错误，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AFC≌△BFC，△AFD≌△CFE，△CFD≌△BFE．由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得△AFC≌△BFC．∵FC⊥AB，FD⊥FE，∴∠AFD=∠CFE．∴△AFD≌△CFE（ASA）．同理可证：△CFD≌△BFE．结论②正确，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴S△AFD=S△CFE，∴S四边形CDFE=S△CFD+S△CFE=S△CFD+S△AFD=S△AFC=12S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍．结论③错误，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴CE=AD ，∴FA ．结论④正确，理由如下：∵△AFD ≌△CFE ，∴AD=CE ；∵△CFD ≌△BFE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：222CD CE DE +=，∴222AD BE DE += ．故选B ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．2．B解析：B【分析】过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，由角平分线的性质得到OD=OE=OF ，根据勾股定理求出BC 的长，易得四边形ADFO 为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O 作OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵BO,CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，所以OD=OE=OF ，又BO=BO,∴△BDO ≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE 为矩形，∴四边形ADOE 为正方形.∴AD=AF.∵在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH22BC BH53．即BE 53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．4．A解析：A【解析】【分析】根据211a b c=+以及三角形三边关系可得2bc＞a 2，再根据（b-c）2≥0，可推导得出b 2 +c 2＞a 2，据此进行判断即可得.【详解】∵211a b c =+，∴2b ca bc+ =，∴2bc=a（b+c），∵a、b、c是三角形的三条边，∴b+c＞a，∴2bc＞a·a，即2bc＞a 2，∵（b-c）2≥0，∴b 2 +c 2 -2bc≥0，b 2 +c 2≥2bc，∴b 2 +c 2＞a 2，∴一定为锐角，故选A．【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2＞a 2是解题的关键.5．C解析：C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．6．B解析：B【解析】根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.7．A解析：A【解析】已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC的面积为12×6×8=24，故选A．8．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．9．B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．解得： 4.2x =，∴折断处离地面的高度为4.2尺，故选：B ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．10．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.【详解】∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，由AD ＝AD ，所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，所以，AC=AE.∵E 为AB 中点，∴AC=AE=12AB ， 所以，∠B=30° .∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32,∴= 故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题二、填空题11．210或213或32 【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，∴25AB =， 情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即45AE =，145DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即55BE =，55DE = ∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴45BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 12．1010【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴BC=310；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴10 ；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键． 13．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 14．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．15．258 【分析】 先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB +BC =3+4=5；∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，∴△AFD ∽△CBA ，∴AD AC =FA BC ，即AD 5=2.54，解得AD=258；故答案为258． 【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．16．2或18【分析】分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：①如图点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，∴△A ′BE ≌△ABE,∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,在△ECD 与△CB A′中，{CD A BD BA C DEC ECB='∠=∠'∠=∠,∴△ECD ≌△C B A′,∴CE=BC=10,在RT △CB A′中，22BC BA -'22106-=8,∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;②如图点E为AD延长线上,由题意得：∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o ∴∠A"BC=∠DCE,在△A"BC与△DCE中，"={""A CDE CD A BA BC DCE ∠∠=∠=∠∴△A"BC≌△DCE,DE= A"C,在RT△ A"BC中，22"BC BA-22106-∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.1725【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即25.25点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．18．5【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.19．17，144，145【分析】由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．【详解】解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，所以有22217(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.故答案为17，144，145.【点睛】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．20．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM EF ，2,,a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，∴24b =，∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）如图2，连结BE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝3，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD 5．（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：解法一：如图3，连结BE ．∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠D ＝∠AED ＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．23．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．24．（1）2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒 【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=； （2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形； （3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． 25．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，故答案为：90°；（2）∵AD=DE=DF ，∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DEA+∠DFA=60°，∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，∴∠EDB=∠DFA ，∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，∴∠CDF=∠DEA ，在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△CFD （ASA ）（3）∵△BDE ≌△CFD ，∴BE=CD ，∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，当D 点在C 或B 点时，AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当D 点在BC 的中点时，∵AB=AC ，∴BD=112BC =，AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．26．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.27．（1）见解析；（2）26；（3）33a +3 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出3，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH 和△BEH 中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH ，而∠CAH=∠EBH ，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE 为直角三角形由勾股定理得2222AB=AE BE =2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ，∵△ACB ，△DCE 都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM ⊥DE ，∴∠CMD=90°，DM=EM ，∴CD=CE=2CM ，CM∴∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°， ∴∠NBE=30°，∴BE=2EN ，EN∵BN=a∴=AD∴+ 【点睛】 本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.28．（1）1(491)2-；1(491)2+；（2）21(1)2n -；21(1)2n +；（3）21m -；21m +；（4）10；26； 12；35；【解析】【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-， 弦25=1(491)2+； （2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -， 弦=21(1)2n +； （3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35．【详解】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-， 弦25=1(491)2+； 故答案为：1(491)2-；1(491)2+；（2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -， 弦=21(1)2n +； 故答案为：21(1)2n -；21(1)2n +； （3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；故答案为：m 2-1，m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35；故答案为：10、26；12、35．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．29．(1)45°；(2)GF=AG+CF ，证明见解析；(3)①6； ②s ab =，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图1中，连接BE ．利用全等三角形的性质证明EB=ED ，再利用等角对等边证明EB=EF 即可解决问题．（2）猜想：GF=AG+CF ．如图2中，将△CDF 绕点D 旋转90°，得△ADH ，证明△GDH ≌△GDF （SAS ）即可解决问题．（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可． ②设正方形边长为x ，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，连接BE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠ECD=∠ECB=45°，∵EC=EC ，∴△ECB ≌△ECD （SAS ），∴EB=ED ，∠EBC=∠EDC ，∵∠DEF=∠DCF=90°，。
数学数学勾股定理的专项培优练习题(含答案
一、选择题1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m2．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．254cmB ．152cmC ．7cmD ．132cm 3．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )A ．2n ﹣2B ．2n ﹣1C ．2nD ．2n+14．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A ．25394+B ．25392+C ．18253+D ．253182+ 5．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）A ．22B ．32C ．62D ．826．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）A ．200mB ．300mC ．400mD ．500m 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．1、2、3B ．2、3、4C ．1、2、3D ．4、5、6 8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( ) A ．5 B ．4 C ．34 D ．4或349．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ）A ．72B ．74C ．254D ．15410．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D 235二、填空题11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.14．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．15．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°16．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．17．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．18．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．19．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．28．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD : AD : CD ＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以每秒1cm 速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M 运动的时间为t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图29．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．30．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC=22AB BC=500m，∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．2．A解析：A【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.【详解】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ， 222(8)6x x =-+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.3．A解析：A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.【详解】解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形121111222ABC S -∆∴=⨯⨯== ，∴AC 2====2232112:2122122AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ，故答案为A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.4．A解析：A【解析】分析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长BP ，作AF ⊥BP 于点F ．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是34•AB2=34•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．5．B解析：B【解析】由题可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当b=8时，4b=32，故选B．6．D解析：D【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，22500+=AB BC m∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．7．A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A、12+2）2=32∴以123,故本选项正确;B、22+32≠42∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、12+22≠32∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D、42+52≠62∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A..【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.8．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x故选：D9．C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8-x，再在Rt△BCE中利用勾股定理即可求出BE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE＝BE，设AE＝x，则BE＝x，CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得，x＝254，∴BE＝254．故选：C．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．10．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、()()()222235+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．二、填空题11．5【详解】解：如图，延长AE 交BC 于点F ，∵点E 是CD 的中点,∴DE=CE ，,∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,∴AD ∥BC,∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,∴△AED ≌△FEC （ASA ）,∴AD=FC=5，AE=EF,∴BF=BC-FC=5,∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=,6.52AF AE == 故答案为：6.5． 12．【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.13．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．147【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD＝332，∴CM2237 2CD MD+=∴CN＝43727 32=．∵BM+MN＝CN，∴BM+MN的最小值为7．故答案是：7【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．15．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.16．6【解析】∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，则CQ=BP+PQ 的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.17．78【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78．18．9或9【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =+=+， 45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+， 综上所述，DGF △的面积为639-或639+．故答案为：639-或639+．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 19．5【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋1【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 20．【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）()23y x =-【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM ＝3BM ，进而可得BE +CF ＝3（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D 是线段BC 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°，∴BE ＝12BD ＝1；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF ＝120°，∴∠MDE ＝∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ，∴△MBD ≌△NCD （AAS ），∴BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，∴△EMD ≌△FND （ASA ），∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12AB ；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE -222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．23．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）如图2，连结BE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝3，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD 22BE DE +2234+5．（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=12BC CG⋅，而BC和CG可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，当D、E两点重合时，则AD=CD，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CF CD=，∴∠F=∠CDF，∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBD=∠F，∴BD DF=；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，∵AE CD=，CD=CF，∴EH=CF，又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE =23， ∴BF =226BE =，232GF =-，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===，∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=-， ∴()26231CN FN ==⨯-=-，∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，∴62CG CF ==-，∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD-=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．28．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=49 12．综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本。
数学数学勾股定理的专项培优练习题(及解析
一、选择题1．如图，点A的坐标是(2)2，，若点P在x轴上，且APO△是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（－22，0）D．（3，0）2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．123．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（3﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．3小时B．23小时C．22小时D．232小时4．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A ．5B ．8C ．10D ．12 5．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．40D ．486．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）A ．6B ．42C ．8D ．107．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===8．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A ．0.6米 B ．0.7米 C ．0.8米 D ．0.9米9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，510．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．15．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.18．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．19．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．20．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③；④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+. 26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22，∴OA=AP=22∴P的坐标是（-22，0）．故选D．2．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．3．C解析：C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，BC=2x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD=3CDAD=即320(31)x=-+，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，∵∠CDB=45°，CD⊥BD，∴BD=CD，设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，∵tan∠CAD=3CDAD=，AD=AB+BD，∴3320(31)x=-+，得x=20（海里），∴BC=2BD=202（海里），∴t=202=22（小时），故选C.【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 4．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP ⊥BP ，AC 为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB 为矩形，∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x..在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 5．A解析：A【解析】已知△ABC 的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC 是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC 的面积为12×6×8=24，故选A ． 6．A解析：A【分析】设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x ，则AC=x+2，∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x ，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A ．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．7．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 8．B解析：B【解析】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定（米）．故选B ．9．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、222+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：22+＝5，43当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．7【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．【详解】连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，∴DE＝AD−AE＝1，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，22OC CF OF3∴=-=，22BC=OB+OC=7∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．12．82【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE22228882AE AD++=即PA+PD的最小值为2．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ， 在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.1510【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33即BM+MN3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．18．4或25或10【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210 BC CD=+=+=（）（）．故BD 的长等于4或．故答案为4或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，19．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．20．78． 【解析】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC ．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78． 三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度22257-米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴BD+BE=DE=22CD CE -=222520-=15，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．23．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个， 故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==，∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =，∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．24．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==， ∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 4532HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+ 1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==， ∴622AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称，∴523AB BC ==+∴225231043AC BC ==+=+∴ min PC AC AP =-，10432=+⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=D C=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于。
勾股定理经典培优题及答案
勾股定理经典培优题类型之一勾股定理的验证1．小明利用如图17－X －1①所示的图形(三个正方形和一个直角三角形)验证勾股定理验证勾股定理，，他的方法如下：过点D 作直线FG ∥AC ，过点E 作直线GH ∥BC ，直线FG 与直线GH 交于点G ，与直线BC 交于点F ，直线GH 与直线AC 交于点H ，如图②所示．请你回答：(1)△ABC 与△BDF ，△DEG ，△EAH 有什么关系？为什么？(2)用含a ，b 的代数式表示正方形CFGH 的面积；(3)你能否根据图形面积之间的关系找到a ，b ，c 之间的数量关系？(4)你能得到什么结论？图17－X －1 2．勾股定理神秘而美妙勾股定理神秘而美妙，，它的证法多样它的证法多样，，其巧妙各有不同其巧妙各有不同，，其中的“面积法”给了小明灵感其中的“面积法”给了小明灵感，，他惊喜地发现他惊喜地发现，，当四个全等的直角三角形如图17－X －2摆放时摆放时，，可以用“面积法”来证明a 2＋b 2＝c 2.(请你写出证明过程) 图17－X －2 类型之二勾股定理及其应用3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为() A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，，创制了一幅“弦图”创制了一幅“弦图”，，后人称其为“赵爽弦图”．如图17－X －3是由弦图变化得到的是由弦图变化得到的，，它由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________. 图17－X －3 图17－X －4 5．图17－X －4①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍的直角边分别向外延长一倍，，得到图②所示的数学“风车”得到图②所示的数学“风车”，，则这个数学“风车”的外围周长是________．6．知识回顾：在学习《二次根式》时知识回顾：在学习《二次根式》时，，我们知道：2＋3≠5； 在学习《勾股定理》时在学习《勾股定理》时，，由于2，3，5满足(2)2＋(3)2＝(5)2，因此以2，3，5为三边长能构成直角三角形．三角形．探索思考：请通过构造图形来说明：a ＋b ≠a ＋b (a ＞0，b ＞0)．(画出图形并进行解释) 7．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝20，D 是直线BC 上的一个动点上的一个动点，，连接AD ，如果线段AD 的长度最短是12，请你求△ABC 的面积．的面积．类型之三 勾股定理的逆定理及其应用8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，，能构成直角三角形的有( ) A ．②B ．①②．①②C ．①③．①③D ．②③．②③ 9．如果△ABC 的三边长分别是m 2－1，m 2＋1，2m (m >1)，那么下列说法中正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2＋1 B ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为2m C ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2－1 D ．△ABC 不是直角三角形不是直角三角形10．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式(a ＋2b －60)2＋|b －18|＋c －30＝0，则△ABC 是________三角形．类型之四 勾股定理及其逆定理的综合应用图17－X －5 11．如图17－X －5，E 是正方形ABCD 内的一点内的一点，，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE ′C ＝________°. 12．如图17－X －6，在4×3的正方形网格中有从点A 出发的四条线段AB ，AC ，AD ，AE ，它们的另一个端点B ，C ，D ，E 均在格点上(正方形网格的交点)．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB ，AC ，AD ，AE 的长度(结果可以保留根号)；(2)在AB ，AC ，AD ，AE 四条线段中四条线段中，，是否存在三条线段是否存在三条线段，，它们能构成直角三角形？如果存在它们能构成直角三角形？如果存在，，请指出是哪三条线段条线段，，并说明理由．并说明理由．图17－X －6 类型之五 勾股定理在实际生活中的应用图17－X －7 13．如图17－X －7是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．14．如图17－X －8，A ，B 两地之间有一座山两地之间有一座山，，汽车原来从A 地到B 地需经过C 地沿折线ACB 行驶行驶，，现开通隧道后隧道后，，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10千米千米，，∠A ＝30°，∠B ＝45°则隧道开通后则隧道开通后，，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 图17－X －8 。
勾股定理培优练习题
勾股定理培优练习题1. 已知直角三角形的直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
设斜边长度为x，则有3^2 + 4^2 = x^2。
计算可得5^2 = x^2，因此x = 5。
所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知直角三角形的斜边为13cm，一直角边为5cm，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设另一直角边的长度为x，则有x^2 + 5^2 = 13^2。
计算可得x^2 + 25 = 169，即x^2 = 144。
所以，x = 12。
因此，另一直角边的长度为12cm。
3. 一座直角梯形的短边长度分别为6cm和8cm，斜边长度为10cm，求长边的长度。
解答：根据勾股定理，直角梯形斜边的平方等于长边的平方减去短边的平方。
设长边的长度为x，则有10^2 = x^2 - 8^2。
计算可得100 =x^2 - 64，即x^2 = 164。
所以，x = √164。
因此，长边的长度为√164cm。
4. 已知直角三角形某直角边的长度为9cm，斜边长度为15cm，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形一直角边的平方和等于斜边的平方。
设另一直角边的长度为x，则有9^2 + x^2 = 15^2。
计算可得81 +x^2 = 225，即x^2 = 144。
所以，x = 12。
因此，另一直角边的长度为12cm。
5. 一直角三角形的两直角边的长度之比为3:4，斜边长度为10cm，求两直角边的长度。
解答：设两直角边的长度分别为3x和4x。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以，有(3x)^2 + (4x)^2 =10^2。
计算可得9x^2 + 16x^2 = 100，即25x^2 = 100。
解方程得x^2 = 4，所以x = 2。
因此，两直角边的长度分别为3x = 6cm和4x = 8cm。
人教版八下数学勾股定理专题培优
第十七章 勾股定理 7.勾股定理（一）基础题训练01.在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝3,b ＝4,则c =______. 【解答】：c =502. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =6, c =10,则b =______. 【解答】：b =803. 在△ABC 中, ∠C =90°, ∠A=30°，则其三边a ：b ：c =__________ 【解答】：a ：b ：c =1:3:204. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B , ∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的是（ ） A.222a cb =+ B. 222c b a =- C. 222b c a -= D. 222b c a =- 【解答】：C05.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边分别为（ ）A.2、4、6B.4、6、8C.6、8、10D.3、4、5 【解答】：C06.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ） A.2 B. 22 C.1 D.2【解答】：B07.已知等边三角形的边长为2cm,则等边三角形的面积为（）A. 32B.3 C.1 D. 2【解答】：B08.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =15，则两个正方形面积的和为（）A.150B.200C.225D.350【解答】：C09. 在△ABC 中, ∠C =90°,c =20, a ：b =3:4，则a =_____. 【解答】：12ABC10. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10cm ，高AD =8cm ，求BC 的长及S △ABC .【解答】：BC =12，S △ABC =48. 11.（2013·资阳）如图，点E 在正方形内，∠AEB = 90°，AE =6，BE =8，求阴影部分的面积.【解答】：S 阴 = 76.12. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 的长.【解答】：AC=6.中档题训练13．已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为 【解答】（答案13或5）14．如图，已知直角△ABC 中，∠C =90°，3BC =，4AC =，CD ⊥AB 于D ．()1求AB 的长；()2 求CD 的长．DCBAABCDECBDA[解析] （1）5AB =；(2) 由面积法可求 125CD =15．已知直角△ABC 的周长为12cm ，一直角边的长为4cm ，求斜边的长？ [解析] 设另一直角边为x ，则斜边为8-x ，在Rt △ABC 中，2224(8x x +=-） ∴ 3x =， ∴ 斜边为835-= 16．如图在△ABC 中，AB BC =,∠ABC =90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ,DE 交AB 于E ,DF BC 交于F1（） 求证：BE CF =；(2) 若3AE =，1CF =，求EF 的长[解析] 1（） 证△BED ≌△CFD (2) 10EF =综合题训练17．如图CA CB =，CD CE = ，∠ACB =∠ECD 90=°，D 为AB 边上一点．若1AD =，3BD =，求CD 的长．[解析] 由△ACE ≌△BCD 可得，∠EAC =∠45B =°，∠90EAD =°，2222210DE AD AE AD BD =+=+=，10DE =5CD =8. 勾股定理（二）基础训练01.在直角坐标系中，点P（－2,3）到原点的距离为【解答】：1302.如图，∠ACB＝∠ABD＝90，AC＝2，BC＝1，AD＝14,则BD＝【解答】303.已知△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高，CD＝2，则BD为（）A.4B.6C.8D.210【解答】B04.如图，每个小正方形的边长为1，ABC中边长为无理数的边共有（)条A.0B.1C.2D.3【解答】C05.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（)A.12米B.13米C.14米D.15米【解答】A06.把三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【解答】B07.如图，在水塔的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B,在A,B间建一条水管，则水管AB的长为（)A.45mB.40mC.50mD.60m【解答】B08.一直角三角形的斜边长比一直角边的长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（)A.4B.8C.10D.12【解答】C09.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵树高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ )A.8米B.10米C.12米D.14米 【解答】B10.如图，将一个有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板最大边AB 的长。
培优专题11 勾股定理与折叠问题
（2）设 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c .请写出一个 a ， b ， c 三者之间的数量关系式.
◉答案 解：（2） a ， b ， c 三者之间的数量关系式为 a2＝ b2＋ c2.理
由：由（1）得 CE ＝ AE . 因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠ D ＝
A. 1cm
A ）
B. 1.5cm
C. 2cm
D. 3cm
第1题图
2. （烟台莱州期中）如图，Rt△ ABC 中， AB ＝9， BC ＝6，∠ B ＝90°，将△
ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN ，则线段 BN 的长为 4
第2题图
.
3. 如图，在边长为6的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至
90°.因为 AE ＝ a ， ED ＝ b ， DC ＝ c ，所以 CE ＝ AE ＝ a .在Rt△
DCE 中， CE2＝ ED2＋ DC2，所以 a ， b ， c 三者之间的数量关系式
为 a2＝ b2＋ c2.
FG ＝ x ，则 GC ＝6－ x .因为 E 为 CD 的中点，所以 CE ＝ DE ＝ EF
＝3，所以 EG ＝3＋ x .在Rt△ CEG 中，32＋（6－ x ）2＝（3＋ x ）2，
解得 x ＝2，所以 BG 的长为2.
类型二：巧用折叠求图形面积
4. （威海文登区期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AB ＝4cm， AD ＝
第三章 勾股定理
培 优 专 题 11 ： 勾 股 定 理 与 折 叠 问 题
类型一：巧用折叠求线段长
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勾股定理
一、知识要点
1、勾股定理
勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .
勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.
勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.
二、基本知识过关测试
1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .
2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S A= .
3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .
4.如图.在△ABC中，CD⊥AB于D，AB=5，CD
=BCD=30°，则AC= .
5.
的线段.
6.在下列各组数中①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a；⑤a2+1，a2-1，2a(a＞1)；⑥m2-n2，2mn，m2+n2(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组.
7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是 .
B A
D
C
B A D
C
B
A
第2题图 第3题图 第4题图 第7题图
8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =
1
4
BC ，试判断△ AEF 的形状. F
E D
C
B A
三、综合.提高.创新
【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少
E
D
C B
A
（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.
F
E
D
C
B
A
（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别
记作S 和T ，求S 2-T 2
的值.
P
M
C
B
A
【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .
D '
E
D
C
B A
【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.
C
B
A
（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.
D
C
B
A
【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BC
AC 的长.
C
B
A
【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .
D
C
B
A
（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE
=，求AB .
E
D
C B
A
【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证： （1）
222
1
11a b h ； （2）a +b ＜c +h ；
（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.
D C
B
A
【例5】（1）如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2 -PC2.
P
D
C
B
A
（2）锐角△ABC中，AD⊥BC于D，若∠B=2∠C，求证：AC 2=AB 2+AB·BC.
D C
B
A
变式：如图，AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).
B
A （3）如图，△ABC中，AB=AC，P为线段BC上一动点，试猜想A
B 2，AP2，PB，PC有何关系，并加以证明.
P C
B
变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立并证明.
P
C B
A
（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2
+BP 2
，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2
的大小关系，并证明.
P
C
B
A
变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立并证明.
P B
A
【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且
BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.
F
E
D C
A
（2）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明.
F
E A
B
C
变式一:将（2）中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立试证明.
E A
变式二：如图，△AEF 中∠EAF =45°，AG ⊥EF 于G ，且GF =2，GE =3，求S △AEF .
G F
E A
【例7】（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内一点，且PA =3，PB =1，PC =2，求∠BPC 的度数.
P
C
B
A
（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2
=AB 2
+BC 2
.
D
C
B
A
【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;
D
C
B A
（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m ，使2AE BE
，
若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.
E D
C
B
A
【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA =15，求点P 的坐标；
（2）已知直角坐标平面内的△ABC 三个顶点的坐标分别为A （-1，4），B （-4，-2），C （2，-2），试判断△ABC 的形状；
（3221(3)4x 的最小值；
（4）已知a ＞0，b ＞0.。