北师大版中考数学专题复习一-实数

中考数学专题复习（一）实数

【知识结构图】

正整数

整数零

有理数负整数有限小数或无限循环小数

正分数

实数的分类分数

负分数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

实数数轴，相反数，倒数，非负数，绝对值

实数的意义

平方根、算术平方根、立方根

近似数和有效数字，

实数的大小比较

实数的运算运算律

加，减，乘，除，乘方，开方

运算顺序

【中考目标要求】

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.

【中考知识点】

（一）．实数的有关概念

1．数轴

①定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，

缺一不可。

②用途：任何一个实数都可以用数轴上的点来表示，正实数位于原点的右侧，负实数位于远点的左侧，

零位于原点处。

2. 相反数

①定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中的的一个数是另一个数的相反数。

②相反数的几何意义：在数轴上位于远点的两侧，并且与原点的距离相等的两点所表示的两个数，称

为互为相反数

③相反数的性质：

（1）任何数都有相反数，并且只有一个相反数；

（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别的，0的相反数是0；

（3）互为相反数的两个数之和为0，反之，和为0的两个数互为相反数.

④相反数的表示法.

一般的对任意一个数a，它的相反数为-a，这里的a表示任意的数，可以是正数、负数、也可以是0.

⑤求一个数的相反数只需在这个数的前面加上一个负号就可以了.

3.绝对值

在数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

用式子表示为;

a (a>0)

｜a｜= 0 (a=0)

-a (a<0)

重点提示①无论是绝对值得几何意义还是绝对值的代数意义都揭示了绝对值得一个重要性质——非负性。也就是说任何一个实数的绝对值都是非负数，即对任意实数a，都有｜a｜>0.

②当a<0时，-a>0.即当a<0时｜a｜=-a也是一个正数。

4.倒数

①倒数与负倒数的定义.

乘积为1的两个数互为倒数. 乘积为-1的两个数互为负倒数.

②倒数的求法: 数a的倒数就是1/a (a≠0)

5.科学记数法

把一个大于10的数表示为a×10N 的形式（其中a是整数位只有一位数，n是正整数），这种方法称为科学记数法。

6.近似数和有效数字

①近似数就是准确值接近的数

近似数与准确值的接近程度可以用精确来表示。

②从一个数左边第一个非零的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个数的有效数字。

重点提示：①取一个数精确到某一个位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；

②用科学计数法表示的近似数，乘号前面的数（即a）的有效数字即为该近似数的有效数字；

而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后

一个有效数字处于哪一个数位上。

7．平方根

（1）平方根的概念

一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。

（2）平方根的性质

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

② 0有一个平方根，它是0本身；

③负数没有平方根.

（3）一个正数a的正，负平方根分别用，-分别读作“正根号a”,“负根号a”.

（4）一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。

8.立方根

（1）立方根的概念

一般地，如果一个数的立方根等于a，那么这个数叫做a的立方根（或是三次方根），这就是说，如果x3 =a，那么x叫做a的立方根，数a的立方根记作

（2）立方根的性质

①正数有一个立方根，为正数；

②负数有一个立方根，为负数；

③ 0有一个立方根，就是0本身；

④ = -a

（3）开立方

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.和开平方与平方互为逆过程一样，开立方与立方互为

逆过程.

9.实数的概念

有理数：整数和分数统称为有理数；正整数和正分数统称为正有理数；负整数和负分数统称为负

有理数

无理数：无限不循环小数叫无理数

实数：有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。

（二）．实数的大小比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值大的那个正数大；两个负数，绝对值大的反而小.

3.对于实数a 、b ，若a-b>0a>b ； a-b=0

a=b ； a-b<0ab ，b>c ，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a 2>b 2a>b ；

或利用倒数转化：如比较与. （三）．实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍为这个数。

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数

3.乘法

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

4.除法

除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

(1)an 所表示的意义是n 个a 相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． (3)零指数与负指数

6.实数的六种运算关系

加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.

7.实数运算顺序

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如