分式的运算技巧

分式

概念

形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:

1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：

（A,B,C为整式，且B、C≠0）

运算法则

约分

根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：

1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约

去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：

（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为：

分式的加减法法则：

同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用字母表示为：

异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

分式的除法法则：

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:

乘方

分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：

分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法：

（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）

（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值

（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。

分式方程解法的归纳：

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

【基础精讲】

一、分式的概念

1、正确理解分式的概念： 【例1】有理式（1）

x 1； （2）2x ； （3）y

x xy

+2； （4）33y x -；（5）11－x ；（6）

π1中，属于整式的有：；属于分式的有：。.

2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.

(1) 例如，当x 为 时，分式

()()()

322-++x x x 有意义． 错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。

例如 当x____时，分式有意义？

错解：由分母

，得

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．

当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式1

1

2－x x -值为0．

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基

础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：

①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．

③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．

④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：

①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是（ ）． A ．

a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a b

a b a b

-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+-

【例4】 如果把分式

52x

x y

-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．

A.扩大3倍

B.扩大9倍

C. 扩大6倍

D.不变 2、约分

约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.

【例5】（1）化简的结果为（ ）A ． B ． C ． D ．

222a b a ab -+b a -a b a -a b

a

+b -

（2）化简

的结果（）A ．B ．C ．D ．

（3）化简的结果是（）A ．B ． C ．D ．

3、通分

通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法

确定：

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算

1、分式运算时注意：

（1）注意运算顺序．例如，计算a

a

a a +-?

+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)

1(1)1(11a a a -=-÷-=

（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算

11

---x x x

，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；

（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式． 2、分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；

(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；

(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．

3、加减的加减

1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：

运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简． 4、分式的混合运算

注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.

【例6】计算：（1）()212242-?-÷+-a a a a ； （2）22

2

---x x x ； 2244xy y x x --+2x x +2x x -2y x +2

y

x -62962-+-x x x 23+x 292+x 292-x 2

3

-x

（3）x x x x x x 2421212

-+÷??? ??-+-+ （4）已知，则代数式的值

分式运算中的技巧与方法1

在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，

常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、 整体通分法

例1．化简：-a-1

分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：-a-1=-(a+1)=-==

二、

逐项通分法

例2．计算---

分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法

解：--- =--

=--

=- =-=0 三、

先约分，后通分

例3．计算：+

分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算

11

3x y -=21422x xy y x xy y

----2

1

a a -21a a -21a a -21a a -(1)(1)1a a a -+-22(1)

1

a a a ---11a -1a

b -1a b +222b a b +3

44

4b a b -1a b -1a b +222b a b +3

444b a b -22()()a b a b a b +---222b a b +344

4b a b -222b a b -222b a b +3

444b a b -2222442()2()b a b b a b a b +---344

4b a b -3444b a b -3

44

4b a b -2262a a a a ++224

44

a a a -++

解：+=+=+==2

四、

整体代入法

例4．已知

+=5求的值 解法1：∵+=5∴x y ≠0,.所以====

解法2：由

+=5得，=5, x+y=5xy ∴

====

五、运用公式变形法

例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+

解：由已知条件可得a ≠0,∴a+

=5 ∴a 4+

=(a 2+)2

-2=[(a+)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法

例6．已知

==，计算： 解：设

===k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k

若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1 若a+b+c ≠0，则k=2

==k

3

当k=-1时，原式= -1

当k=2时，原式= 8 七、应用倒数变换法

2262a a a a ++22444a a a -++(6)(2)a a a a ++2

(2)(2)(2)a a a +-+62a a ++22a a -+242a a ++1x 1y 2522x xy y

x xy y

-+++1x 1y 2522x xy y x xy y -+++225112y

x y x -+++11

2()5

112x y x y

+-++25552?-+571x 1y x y

xy

+2522x xy y x xy y -+++2()5()2x y xy x y xy +-++25552xy xy xy xy ?-+57xy xy 5

7

41

a 1a

41a 21a 1a

b c a +a c b +a b c +()()()

a b b c c a abc

+++b c a +a c b +a b c

+()()()a b b c c a abc +++ak bk ck abc

??

例7．已知=7，求的值

解：由条件知a ≠0,∴=,即a+=

∴=a 2++1=(a+)2-1= ∴= 八、取常数值法

例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算++ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2. 则

++=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。 九、把未知数当成已知数法

例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:

解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c

∴==. 十、巧用因式分解法

例10．已知a+b+c=0，计算++

解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b ∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2

+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)

同理可得2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c 2

+ab=(c-a)(c-b)

++=++ =-+= ==

21a a a -+2

421a a a ++21a a a -+1

71a 87422

1a a a ++21

a 1a 15492

421a a a ++4915

y z x +x z y

+x y

z +y z x +x z y

+x y

z +222a b c ab bc ac

++++222a b c ab bc ac ++++22

1411c c

1411222a a bc +222b b ac +2

22c c ab

+22

2a a bc +222b b ac +2

22c c ab +2a (a-b)(a-c)2b (b-c)(b-a)2c (c-a)(c-b)2a (a-b)(a-c)2b (a-b)(b-c)2c (c-a)(c-b)222a ()()()()()()b c b a c c a b a b a c b c ---+----22222a ()()()()b c b a b c c a c b a b a c b c --++----2a ()()()()()()()

b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+----

===1

分式运算的几种技巧(二）

1、先约分后通分技巧例1 计算2312+++x x x +4222--x x x

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

解：原式=)2)(1(1

+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x

=21

+x +2+x x =21++x x

2、分离整数技巧例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -341

2+-x x

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

解：原式=

231

)23(22+-++-x x x x -

6

51

)65(22+-++-x x x x -341

2+-x x

=1+2312+-x x -1-651

2+-x x -3412+-x x =)2)(1(1

--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x

=)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x

3、裂项相消技巧例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2

++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1

）裂项相消计算。 解：原式=（x 1-11+x ）+22

（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）

=x 1

-61+x =)6(6+x x

4、分组计算技巧例4 计算21-a +12

+a -12-a -21+a

2()()()()()b c a ab ac bc a b a c b c ---+---()()()()()()

a b a c b c a b a c b c ------

分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2

-1，采取分组计算简捷。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12

+a -12-a ）

=44

2-a +142--a =)1)(4(1222--a a

5、变形技巧例5 已知x 2

-3x+1=0，求x 2

+21

x 的值。

分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x 1

，然后利用完全平方公式的逆用可求出x 2

+

21

x 的值。

解：由x 2

-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得

x-3+x 1=0，即x+x 1=3

所以x 2

+21x =（x+x 1

）2-2=32

-2=7

二、分式求值中的整体思想 例1 若分式

7

322

2++y y 的值为41，则21461y y +-的值为（ ）

A 、1

B 、-1

C 、-

71 D 、5

1 解：由已知

7

3222

++y y =41得2y 2

+3y+7=8 2y 2

+3y=1，4y 2

+6y=2所以

1641

2-+y y =1

21-=1，故选A 。

例2 已知

a 1+

b 1=4，则b

ab a b ab a 323434-+-++=。 分析：由已知可得到a+b 与ab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b 与ab 的

表达式，然后将a+b 用ab 代换即可求出所求式的值。

解：由已知得

ab

b

a +=4 ∴a+b=4a

b b ab a b ab a 323434-+-++=ab b a ab

b a 2)(33)(4++-++=ab ab ab ab 243344+?-+?=-10

19

点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到

233344+--++a b a b =2)11(3)11(4++-++b

a b a 然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。

例3 已知a 2

-3a+1=0，求1

42

+a a 的值。

解：由已知a 2

-3a+1=0知a ≠0，将已知等式两边同除以a 得a-3+

a 1=0，∴a+a

1=3 所以241a a +=a 2+21a =（a+a 1）2-2=32

-2=7∴14

2+a a =7

1 点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。

②a 2

±

2

1a =（a ±

a 1

）2

2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。 例4 已知a 1+b 1=61，

b

1

+

c 1=91，a 1+c 1=151，求bc

ac ab abc ++的值。 分析：将所求式分子、分母同除以abc 可得到

c

b a 1111

++，只要将已知式变换出a 1+

b 1+

c

1

即可。 解：因为a 1+b 1=61①，b 1+c 1=91②，a 1+c 1=151

③，将①、②、③左、右分别相加，得

2（a 1+b 1+c 1）=61+91+15

1

∴

a 1+

b 1+

c 1=18031 所以bc

ac ab abc ++=a

b c 1111++=31180

例5 有一道题：“先化简再求值：

22x 12x 1

)x 1x 1x 1

-+÷+--（

，其中x=

题时把“x=

算解释这是怎么回事？

解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.

22x 12x 1)x 1x 1x 1-+÷+--（)1()

1)(1(2)1(22-?-++-=x x x x x 12)1(22+=+-=x x x . 因为当2008-=x 和2008=

x 时, 12+x 的值都是2009,所以小明把

“x=

,计算结果也是正确的.

例6 已知x 2

-3x+1=0，求x 2

+21

x 的值。

分析：将已知两边同除以x （x ≠0）可变出x+x 1

，然后利用完全平方公式的逆用可求出x 2

+

21

x 的值。

解：由x 2

-3x+1=0，两边同除以x （x ≠0），得

x-3+x 1=0，即x+x 1=3所以x 2+21x =（x+x 1）2-2=32

-2=7

三、分式运算新型题

例 2 请利用

31-m 、3+m m 和9

3

2-m 这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.

解析:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.

如,

932

-m ÷3+m m -31-m =-+?-+m

m m m 3

)3)(3(331-m =

)3(3-m m 31--m =

m

m m m 1

)3(3-=--,等等. 温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热

点,但所考查的知识却是我们所熟悉的. 例3 先化简代数式???

??-++222a a a

÷4

12-a ,然后选取一个合适．．

的a 值,代入求值. 解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的a 的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.

原式=

)4()

2)(2()

2(2)2(2-?-+++-a a a a a a

=4)2(2)2(2

+=++-a a a a .

由题意知,a 的值不能取2和-2,所以当a =0时,原式=4.

温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.

一、开放性问题

例1在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组

成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.

分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.

解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.

（1）x x ,x x x 224

22+--；（2）

2

2

444

22-++--x x ,

x x x ; （3）244222-+--x x ,x x x

x ； （4）

24222+--x x ,x x x ;

（5）

22

4

4422+--+-x x ,x x x ;(6)

x x ,x

x x x 2

24422--+-. 说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需

要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.

二、探索运算程序

例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）

A ．

B ．

C ．+1

D ．-1

分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.

解：计算程序可表示为：

22+-m

m

m ，化简：原式= )(21+-m m m =m-1+2=m+1，故选C.

说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案. 三、自选数值求解 例3化简2

1

11x x x x

?

?-

÷ ?--??，并选择你最喜欢的数代入求值． 分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x 的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.

解：原式11

1(1)x x x x x --=

÷--1(1)1

1x x x --=?-x =-，当x=2时，原式=-2.

说明：这里的x 不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了.

四、运算说理题

例4在解题目：“当1949x =时，求代数式222

4421

142x x x x x x x

-+-÷-+-+的值”时，聪聪认为x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说

明理由．

分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.

解：聪聪说的有理．

m m m

2

m m

222

4421142x x x x x x x -+-÷-+-+ 2(2)21

1(2)(2)(2)x x x x x x x

-+=?-++--111x x =-+1= ∴只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1．

说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

┅┅ (1) 计算

． （2）探究

．（用含有的式子表示） （3）若

的值为，求的值．

解：（1）

（2） （3）

=

+ ┄ + =

= 由

= 解得 经检验是方程的根，∴

【精练】计算：

111122=-?111

2323

=-?1113434

=-?111111223344556

++++=?????1111......122334(1)

n n ++++=???+n 1111......133557(21)(21)n n ++++???-+1735n 561

+n n

1111......133557(21)(21)

n n ++++???-+)71

51(21)5131(21)311(21-+-+-)121121(

21+--n n )1211(21+-n 1

2+n n

12+n n

35

1717=n 17=n 17=n

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.

【解】=

=

=

1．顺次相加法例1：计算：

【分析】本题的解法与例1完全一样.

【解】=

=

=

2．整体通分法【例2】计算：

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.

【解】==.

3．化简后通分

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．

4．巧用拆项法

例4计算：.

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续

整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.

解：原式=

=

==

5．分组运算法

例5：计算：

分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.

解：

=

=

=

=

=

【错题警示】

一、错用分式的基本性质

例1化简

错解：原式

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、错在颠倒运算顺序

例2计算

错解：原式

分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.

正解：原式

三、错在约分

例1 当为何值时，分式有意义？

[错解]原式.

由得.

∴时，分式有意义.

[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.

[正解]由得且.

∴当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

例2 为何值时，分式有意义？

[错解]当，得.

∴当，原分式有意义.

[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.

[正解] ，得，

由，得.

∴当且时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3 计算.

[错解]原式

=.

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

[正解]原式

.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当为何值时，分式的值为零.

[错解]由，得.

∴当或时，原分式的值为零.

[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

[正解]由由，得.

由，得且.

∴当时，原分式的值为零.

二、经典例题透析

类型一：分式及其基本性质

1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）

A. B. C. D.

2．若分式的值等于零，则x＝_______；

3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）

A．－1B．0C．1D．±１

（2）当x________时，分式没有意义．

【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）

A．B．

C．D．

类型二：分式的运算技巧

(一) 通分约分

4．化简分式:

【变式1】顺次相加法计算：

【变式2】整体通分法计算：

（二）裂项或拆项或分组运算

5．巧用裂项法

计算：

【变式1】分组通分法

计算：

【变式2】巧用拆项法计算：

类型三：条件分式求值的常用技巧

6．参数法已知，求的值．

【变式1】整体代入法已知，求的值.

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．

已知：，求的值．