【免费下载】常微分方程的数值解法实验报告

改进的欧拉公式可以改写为：
f x, y的值两次，截断误差为 o h3 。
yi1
k1

yi
hf xi
yi1
k1 , yi

，它每一步计算
yi

k1 hf xi , yi
k2 hf xi h, yi k1

改进的欧拉方法之所以比欧拉方法具有更高的精度，是因为在每一步它都
（4）利用四阶标准 R- K 方法求二阶方程初值问题的数值解
（I）
(II)
y 3y 2 y 0

y0

0,
y0
y 0.1(1 y 2 ) y y 0

y0
y


1,
y ex 1
(III) y0 1, y0 0
1 2
k1

k2

f
x,
y 的值一次，
，它每一步要计算
(6-4)
科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用 Euler 法，改进 Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：

（1） y0 0
y 4x y

xy
分别取 h=0.1,0.2,0.4 时数值解。
比欧拉方法多计算了一次 f x, y的值。因此，要进一步提高精度，可以考虑在 每一步增加计算 f x, y的次数。
如果考虑在每一步计算 f x, y的值四次，则可以推得如下公式：
yi1



k1
k2
k3




hf
hf
hf
yi

xi ,


xi

y'(x0 )
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
yb=y(M+1); yy=((t.^2+2)./3).^1.5; det=yy-y; plot(t,y,'r-',t,yy,'b:',t,det);
y(1)=y0;
for k=1:M
end
y(k+1)=y(k)+h*t(k)*y(k)^(1/3);
1,
y0 0
y0
1
0
0 x 1
h 0.02
0 x 1, h 0.1
0 x 1
0 x 2, h 0.1 0 x 4, h 0.2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

f (x0 , y0 )
学号：
(6-1)
(6-2)
(6-3)
一般地，在任意点 xn1 n 1h 处 y(x) 的近似值由下式给出
yn1 yn hf (xn , yn ) 这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。
（2）四阶龙格-库塔法算法设计：
欧拉公式可以改写为：
截断误差为 o h2 。
三、实验原理与理论基础
（一） 欧拉法算法设计
对常微分方程初始问题
d y f (x, y) d x
y(x0 ) y0
用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。
欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从(6-2)式由于 y (x0) = y0 已给定， 因而可以算出 y'(x0 ) f (x0 , y0 ) 。
设 x1 = h 充分小，则近似地有：
y(x1 ) h
y(x0 )
记 yi y(xi ) i 0,1,,n 从而我们可以取
y1 y0 hf (x0 , y0 ) 作为 y(x1 ) 的近似值。利用 y 1 及 f (x1, y1)又可以算出 y(x2 ) 的近似值：
y2 y1 hf (x1, y1 )
专业班级：信息软件
120108010002
常微分方程的数值解法
姓名：吴中原
一、实验目的
1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序； 2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各 种
算法的优越性。
二、实验题目
1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算； 2、试分别取不同步长，考察某节点 x j 处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。
这里由于龙格-库塔方法的步长增大了一倍，因而两种方法总的计算量相同，但
龙格-库塔方法精确度更高。所以龙格-库塔公式兼顾了精度和计算工作量的较
为理想的公式，在实际计算中最为常用。
四、实验内容
（一）问题重述：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
y1 y2 y2 y1
y3 y3
y1 0 1 y2 0 0
y3 0 1
取步长 h 0.01,计算 y0.05, y0.10, y0.15数值解，参考结果
y10.15 0.9880787, y2 0.15 0.1493359, y3 0.15 0.8613125
(IV)
(二)实验代码：
1、欧拉法程序
y sin y 0

function y=Euler(a,b,M,y0)
y0
%a=1,b=2,M=10,f=t*y^(1/3),y0=1;
h=(b-a)/M;
t=zeros(1,M+1);
t=a:h:b;
y=zeros(1,M+1);
yy=zeros(1,M+1);
xi
1 6
k4 hf xi h, yi k3
k1
yi


h, 2
h, 2
2k2
yi
yi


1 2
1 2
2k3
k1
k2


k4
此公式称为标准四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)公式，它的截断误差为 o h5 。
虽然用龙格-库塔方法每一步需要四次调用 f ，计算量较改进的欧拉方法大一倍，
初值问题的精确解 y 4 5ex2 。
（2）用 r=3 的 Adams 显式和预 - 校式求解
y x 2 y 2
y10
0 < x1
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1 x 0
取步长 h=0.1，用四阶标准 R-K 方法求值。
（3）用改进 Euler 法或四阶标准 R-K 方法求解