平面几何模型三角函数

平面几何模型三角函数

一 填空、选择题

1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为

()f θ，则()f θ＝ 。)2

0)(6

sin(2)(π

θπ

θθ≤

≤+

=f

2 2 如图，扇形AOB 的半径为1，中心角为60 ，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出这个最大值。

如图，公园内有一块边长为2a 的等边三角形ABC 形状的三角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上。 （1） 设AD=x （a x ≥），ED=y 求用x 表示y 的函数关系式； （2） 如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，

DE 的位置又在哪里？请给与证明

如图，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。（1）求物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t(s)之间的函数关系， （2）求该物体在t=5s 时的位置

A

D

C B

C

D

C

B

C

D A B

A

D

B

C A B

A

1如图，已知C,D

两地相距

a 2

3

，隔河测得C,D 与对岸A,B 两地的夹角分别为∠ADB=30 ,∠BDC=30 ,∠DCA=60

,∠ACB=45

,求A,B 两地的距离。

2如图半⊙O 的直径为2，A 为直径MN 延长线上一点，且OA=2，B 为半圆周上任一点，以AB 为边作等边△ABC (A 、B 、C 按顺时针方向排列)问∠AOB 为多少时，四边形OACB 的面积最大？这个最大面积是多少？

1 分别为a,b,c ，已知32,3

==

a A π

。设B=x ，△ABC 的周长为y 。

（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的单调区间。 解（1）：△ABC 的内角为A+B+C=π由A=

.3

200,0,3

π

π

<

<>>B C B 得……………………2分 由正弦定得知：x x B A

BC AC sin 4sin 3

sin 3

2sin sin ===

π…………………………4分

).3

2sin(4sin sin x C A BC AB -==

π

……………………6分因为y=AB+BC+AC 所以).320(32)32sin(4sin 4π

π<<+-+=x x x y ……………………7分

（2）因为32)sin 21cos 23(sin 4+++

=x x x y 32)6sin(34++=πx 而,3

20π<

π

<

+

<∴

x 当)(,30,266x f x x 时即π

πππ≤<≤+<单调递增

当)(,323,6562x f x x 时即πππππ<≤<+≤单调递减

1 在ABC ∆中，已知内角3

A π

=

，边23BC =.设内角B x =,面积为y .

（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值.

解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=

3A π

=

203B π

∴<<

…………………1分

sin 4sin sin BC AC B x A == 2sin 4sin()sin 3BC AB C x A π∴==-……………5分

12sin 43sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<…………………7分

O D M N θ C

B A

C

B A

D

（2）

y =23143sin(

)43(sin )32

x x x x x π-=+……………9分 26sin cos 23x x x =+723)3,(2)6666

x x ππππ

=--<-<……12分

当26

2

x π

π

-

=

即3

x π

=

时，y 取得最大值33 ………………………14分

2如图，在平面四边形ABCD 中，AB=AD=1，θ=∠BAD ，而△BCD 是正三角形.

（1）将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； （2）求S 的最大值及此时角θ的值. 解（1）ABD ∆面积11

sin sin 22

S ab A θ=

=. BDC ∆是正三角形 BDC ∴∆面积23

=

而由ABD ∆及余弦定理可知222112cos 22cos BD θθ=+-=- 于是四这形ABCD 面积133sin 2cos )sin()23

S πθθθ=+-=+- 其中0θπ<<. （2）由3sin()23S πθ=

+-及0θπ<<，得3πθ-<233

ππ

-<. 在3

2π

π

θ-=

时，S 取得最大值31+

，在时5326

πππ

θ=+=.