矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘积的运算法则

1 乘法结合律：若n m C A ⨯∈,p n C B ⨯∈ , q p C C ⨯∈，则C AB BC A )()(=.

2 乘法左分配律：若A 和B 是两个n m ⨯矩阵，且C 是一个p n ⨯矩阵，则BC AC C B A +=+)(.

3 乘法右分配律：若A 是一个n m ⨯矩阵，并且B 和C 是两个p n ⨯矩阵，则BC AC C B A +=+)(.

4 若α是一个标量，并且A 和B 是两个m n ⨯矩阵，则B A B A ααα+=+)(. 证明 1

①先设n 阶矩阵为)(ij a A =,)(ij b B =, )(ij c C =,)(ij d AB =,)(ij e BC = )(ij f ABC =,)()(ij g BC A =,有矩阵的乘法得：

故对任意n j i 2,1,=有：

=ij g

故)()(BC A C AB =

②再看 mn ik a A )(= ,np kj b B )(=,pq jt c C )(=, mp ij d AB )(= , nq kt e BC )(= , mq it g BC A )()(=,

有矩阵的乘法得：

故对任意的,2,1m i = ,2,1p j = ,2,1n k = q t 2,1=有：

6nt in t i t i e a e a e a +++= 2211

=ij g

故)()(BC A C AB =

证明

2

设ij A 表示矩阵A 的第i 行，第j 列上的元素，则有

=ij ij BC AC )()(+

故证出矩阵乘法左分配律.

证明

3

同理矩阵乘法左分配律可得

= []ij C B A )(+

故证出矩阵乘法左分配律.

证明 4 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m n n mn ij a a a a a a a a a a A 2122221

11211)(，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m n n mn ij b b b b b b b b b b B 2

12222111211)(， 可得=+B A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a

221

12222

2221211112

121111， =A α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ααααααααα 212222111211，B α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b ααααααααα 21

2222111211， B A αα+⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡+++++++++=)()()()()()()()()(221122222221211112121111mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ααααααααα ， 所以)(B A +α=B A αα+.