数学素养及评价的水平划分
学业质量标准体系四级水平划分,解读对应的核心素养四级水平
学业质量标准体系四级水平划分，解读对应的核心素养四级水平咱今儿就来聊聊这学业质量标准体系的四级水平划分，还有那对应的核心素养四级水平。
您瞧瞧，这事儿可就像个迷宫似的，得慢慢儿捋清楚。
咱先说说这第一级水平吧。
这第一级啊，就好比是刚踏入学问这扇大门的小娃娃，啥都新鲜，啥都好奇。
就像那刚上学的孩子，眼睛瞪得溜圆，瞅着书本上的字儿，心里头满是疑惑。
这时候的核心素养呢，也就是个打基础的阶段。
就好比盖房子得先打地基一样，得把那些最基本的知识和技能给牢牢掌握住。
比如说识字、算数这些，就像学走路，得先迈稳了第一步，才能接着往前走。
我还记得我家那小外甥，刚开始上学的时候，每天晚上写作业，那小眉头皱得跟个小核桃似的，嘴里还嘟囔着：“这字咋这么难写啊！”哈哈，瞧那小样儿，可爱得很。
这就是处在第一级水平的孩子的真实写照啊，对知识充满了渴望，可又有点儿摸不着头脑。
再说说这第二级水平。
到了这一级啊，那就有点儿像小学生慢慢长大了，开始懂事了。
知识掌握得也多了一些，不再是只知道死记硬背了，还学会了思考。
这时候的核心素养呢，就要求能把学到的知识给灵活运用起来。
比如说，做数学题的时候，不再是单纯地套公式，而是能自己琢磨出解题的思路来。
我有一次去辅导我外甥做作业，就碰到这么一道题。
那小子一开始也犯愁，挠着头，笔在纸上乱画。
我正想给他讲讲呢，他突然眼睛一亮，跟我说：“舅舅，我好像有点儿思路了！”你瞧瞧，这就是进步啊！这第二级水平，就像是在知识的路上迈出了一大步，开始有了自己的想法和见解。
接着就是这第三级水平啦。
到了这一级，那就像是个中学生了，知识储备丰富了不少，思维也更加成熟了。
这时候的核心素养，要求得更高了，得学会分析问题、解决问题。
就好比是面对一团乱麻，得有条有理地把它给解开。
比如说写作文，不再是简单地堆砌词语，而是要把自己的观点表达清楚，还要有深度。
我有个朋友的孩子，上中学了，有一次参加作文比赛。
那孩子为了写好这篇作文，整天琢磨啊，饭都不好好吃。
高中数学考试等级
高中数学考试等级
高中数学考试等级是根据考试成绩来划分的，一般分为优秀、良好、及格和不及格四个等级。
1. 优秀：考试成绩在90分以上，说明学生对数学知识的掌握程度很好，能够灵活运用数学知识解决实际问题，具备了较高的数学素养和能力。
2. 良好：考试成绩在80-89分之间，说明学生对数学知识的掌握程度比较扎实，能够运用数学知识解决一些实际问题，具有一定的数学素养和能力。
3. 及格：考试成绩在60-79分之间，说明学生对数学知识的掌握程度一般，能够基本理解数学概念和公式，但可能存在一些细节问题，需要加强数学基础知识和技能的学习。
4. 不及格：考试成绩在60分以下，说明学生对数学知识的掌握程度存在很大问题，可能无法理解基本的数学概念和公式，需要加强数学基础知识和技能的学习，提高数学素养和能力。
高中数学考试等级的划分是根据学生的考试成绩进行评估的，旨在帮助学生了解自己的数学水平，发现自己的不足之处，从而更好地提高自己的数学素养和能力。
高中数学课程标准2022版
高中数学课程标准2022版《普通高中数学课程标准（2022年版）》学习体会（一）关键词1.四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动的经验2.四能：发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3.三会：学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界4.六素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象5.四主题：函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动6.五课程：A数理类课程（数学、物理、计算机、精密仪器等），B经济、社会（数理经济等）和部分理工类（化学、生物、机械等），C人文类课程（历史、语言等），D体育、艺术类课程，E拓展、生活、地方、大学先修类课程。
7.三水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，水平二是高考的要求，水平三是大学自主招生的参考8.四方面：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思9.两建议：教学建议、评价建议（二）他山之玉1.核心素养导向的学科课程标准修订实质是一场课程观、知识观、教学观和学科教育观的重建，是对“为谁培养人、培养什么人、如何培养人”这一教育根本问题的时代回应。
——福建师范大学教授余文森2.我们现在已经基本普及高中阶段教育了，与过去高中教育就是“精英教育”不一样，学生有多样化的需求，也有不同的基础。
因此，这次修订普通高中课程方案既要强化共同基础，同时也要满足学生的多样化选择需求、多样化发展需求。
——教育部基础教育课程教材专家工作委员会主任王湛。
3.新的普通高中课程方案不是推倒重来，而是在继承中前行，在改革中完善，修订后的课程方案力求反映先进的教育思想和理念，高度关注促进学生全面而有个性的发展。
——教育部部长助理、教材局局长郑富芝4.学科核心素养是知识与技能、过程与方法、情感态度价值观“三维目标”的整合与提升，是学科育人目标的认知升级，打破了学科等级化的困局，更为国际范围内解决课程建设同类问题提供了“中国方案”。
课标解读-关于《普通高中数学课程标准(2017年版)》的思考
（1）评价目的
• 评价的目的是考查学生学习的成效，进而也考查教师教学的
成效。
• 通过考查，诊断学生学习过程中的优势与不足，进而诊断教
师教学过程中的优势与不足。
• 通过诊断，改进学生的学习行为，进而改进教师的教学行为，
促进学生数学学科核心素养的达成。
（2）评价原则
• 重视学生数学学科核心素养的达成，教学评价要以数学 学科核心素养的达成作为评价的基本要素。 • 重视评价的整体性与阶段性。 • 重视过程评价。
新的课程方案和课程标准进一步强化了学科的 育人功能，体现了鲜明的育人导向，思想性、科学 性、时代性、整体性等明显增强。 普通高中数学课程标准（2017年版）与实验版 比较，新增了学科核心素养、课程结构、学业质量 三个重要的部分，同时课程标准还围绕核心素养和 教学评价给予了相关案例，帮助高中数学教师在教 学实践过程中更好地落实新课程标准。
2.优化课程结构，突出主线，精选内容
数学课程体现社会发展的需求、数学学科的特征和学生 的认知规律，发展学生数学学科核心素养。 优化课程结构，为学生发展提供共同基础和多样化选择； 突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法； 精选课程内容，处理好数学学科核心素养与知识技能之 间的关系，强调数学与生活以及其他学科的联系，提升学生应 用数学解决实际问题的能力，同时注重数学文化的渗透。
三、课程目标
（一）“四基”与“四能”
• 通过高中数学课程的学习,学生能获得进一步学习以及未 来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验（简称“四基”）； • 提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问 题的能力（简称“四能”）。
（二）核心素养及水平划分
1. 学生发展核心素养
基于“TPCK”理论的高中生数学运算素养的提升研究——以辅助角公式应用为例
• 24 .理科考试研究•数学版2021年1月1日数学运算素养水平划分数学运算是指在明晰运算对 象的基础上，依据运算法则解 决数学问题的素养数学运算主要表现为：理解运 算对象，掌握运算法则，探究 运算思路，求得运算结果水平1:熟悉的数学情境中的 运算水平2:关联的情境中的运算水平3:综合情境中的运算1.2提升数学运算素养的意义数学运算素养是数学六大核心素养之一,培养和 提高高中生数学运算素养具有重要意义和价值，具体 表现为:①数学运算素养与数学抽象素养、逻辑推理 素养、数学建模素养相辅相成，提高数学运算素养有 助于其他素养的提升与培养;②提高学生数学运算素 养有助于学生对物理、化学、计算机等其他学科的学 习和理解;③数学运算过程本身就是一种推理，因此 提高数学运算素养可以培养学生的逻辑推理能力;④ 提高数学运算素养可以帮助学生正确理解数学的本 质;⑤提高数学运算素养可以发展学生的数学思维， 帮助学生养成精益求精、持之以恒的科研精神.1.3高中生在数学运算素养发展中的不足基于运算素养内涵的分析，目前高中生在数学运 算素养发展中主要存在以下几点不足:①不能很好地 在情境中提出运算问题并确定运算对象，主要体现在 关联情境和综合情境中;②不能准确地掌握运算法则1数学运算素养的内涵与高中生数学运算素养的 不足1.1数学运算素养内涵与运算素养水平划分表1以及运算法则的适用范围;③不能根据问题特点及运 算的条件选择合理的运算方法;④对于一个运算问题 不能给出最合理、最简便的运算方法;⑤学生没有养 成良好的运算习惯.2 "T P C K ”理论模式P C K ( Pedagogical Content Knowledge)理论是由美 国斯坦福大学教授舒尔曼在1986年提出的.P C K 是 指教师在面对特定的教学内容，针对不同的学生，将 学科知识进行重新组织、加工与呈现，来进行有效教 学的理论.P C K 理论指导教师如何将自己的学科知识 转换成学生容易接受的知识，更直接地说，就是指导 教师教什么？怎么教？其中“教什么”主要体现在教 师的教学设计中（即学科内容、教学目标、教学重难 点、学情分析、教法分析、教学策略的选择等）；而“怎 么教”主要体现在教学课堂中，具体表现为知识的呈 现，课堂的决策、信息技术的使用等方面.“T P C K ” 理论是指 T ( Technology )辅助“P C K ” 理 论指导教师如何教学，实现信息技术与实际教学的深 度融合，提高教学的时效性.舒尔曼将“P C K ”内涵解析为四个维度：“学科内 容知识” “课程和教材知识” “学生理解知识”“教学策 略知识下面以信息技术T 为载体，“P C K 理论”为 指导，从上述四个维度出发来说明如何在三角函数辅 助角公式应用这节课中培养和提升学生的数学运算 素养•3 ‘‘三角函数辅助角公式应用”的PCK 解析3.1从“学科内容知识”维度阐释辅助角公式的意义辅助角公式是高中数学三角函数中的重要公式，基于“TPCK ”理论的高中生教学运算素养的提升研免----以辅助角公式应用为例高成龙(天津外国语学校天津300143 )摘要：随着新课程改革的不断深入推进，对高中生数学运算素养的培养和提升已成为实际教学中的重要任务之一.本文在TPCK 理论模式指导下，以三角函数辅助角公式应用为例来探究如何在教学中提升高中生的数学运算素养.关键词：数学运算;TPCK 理论;辅助角公式；应用数学运算素养作者简介：高成龙（ 1988 -)，男，甘肃人，硕士，中学一级教师，研究方向：初高中数学教学与解题研究.2021年1月1日理科考试研究•数学版• 25 •它是由两角和与差的正、余弦公式逆用推导出的重要结论，它也是将形如y = asinwA： + 6cosoa (a > 0)函数转化成；X = 4sin (m + 0)型的桥梁，并为研究y =asinaw + fccosaw (a>0)型函数的性质提供了思路和方法.3.2从“学生理解的知识”维度引入辅助角公式学习辅助角公式之前，学生已经学习并掌握了三 角函数诱导公式、正弦函数、余弦函数图象及性质、三 角函数和差公式，并能够熟练运用三角函数和差公式 求解三角函数值等问题.在以往的实际教学中发现，高一学生对辅助角公式掌握得不好，主要表现为对辅 助角公式概念模糊、思路不清、不会求解y+ 0)中的0角等问题.3.3从“课程和教材知识”维度揭示数学公式的本质“辅助角公式推导与应用”是人教A版新课改 《普通高中教科书•数学（必修第一册）》（以下简称 《教材》）第五章5. 5. 2“简单三角恒等变换”中的内 容，关于辅助角公式，《教材》是以两道例题来呈现的. 通过对例题的解答，引导学生把y = asinttw + ftcosaw:转化为J d s W w x+«p)的形式,在变换过程中对变换 现象和变换目标进行对比、分析，提升学生对解题过 程中如何根据问题的条件进行变形，以及在变换过程 中如何逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而进 一步理解变换思想，提高学生的推理能力、数学运算 素养.因此在“辅助角公式应用”教学中，应该让学生 明白辅助角公式就是正余弦和差公式的逆用，它属于 三角恒等变换.3.4从“教学策略知识”维度设计教学过程教学过程设计一般包括“公式引人”“公式推导”“公式解释”“公式应用”“课堂检测”五个环节.对于 公式的推导过程，《教材》并没有给出辅助角公式转化 的方法，也没有给出它的证明.这就要求教师在教学 中应该引领学生去探究辅助角公式的证明以及它的 几何解释.3.4. 1公式引入问题1如图1所示，在水平面上有一个质量为 2k g的木块，它与水平面的滑动摩擦系数为/x=0. 75, 当用一个与水平方向夹0角斜向右上的力F拉木块 水平向右移动时，求0角为多少时最省力或^最小. (重力加速度g = 10)问题2你能利用三角和差公式将下列函数转化图1成y = asin* + 6cos：*的形式吗？(1)j=2sin(* + (2)y=2sin(x-晋）设计意图通过具体实例来复习学生已经学习的三角函数和差公式，让学生知道y = /l Si n U+0)的展开结构为y = asinx + 6COS*型.根据等式的性质可以知道，y = asinx + 6cosx型函数也可以转化为；y = 形式，让学生知道辅助角公式的可行性.问题3你能求函数y =3sinx+4cosx的周期和 最值吗？你能将其化成+ 形式吗？设计意图教学中让学生从“形”和“数”两方面 来讨论如何将y =3simr +4cos*化成y =/4sin(;t + 0)的 形式.从“形”的角度利用Geogebra软件作出;y=3sinx + 4c〇s x的图象，先借助图象猜想出函数解析式为y = 5Si n U+0)的形式,然后引领学生从“数”的角度给出 严格证明，从而实现信息技术与实际教学的深度融合，提高了教学的时效性，也突出了 “T P C K理论”的主 旨：T辅助“P C K”理论指导教师如何教学.“形”的角度：利用Geogebra软件作出;y = 3sim: + 4 c os*的图象.图2“数”的角度:将y = + 0)的展开式与y = 3sim:+4cosx进行对比，在差异中建立联系，确定对y =3sim: + 4cos;«怎样进行变形，最后对y = 3siru: + 4cosac进行变形、化简.证明设3sinx +4cosx =/lsin(；»: + 0)，贝[J3sin*+• 26 •理科考试研究•数学版2021年1月1日4cosx =/4cos^siru; +y4sin^cos%.{A_…YAsmd =4.3.44所以 4 = 5，cos汐=，sin汐=j，tan汐二所以3s i n;c + 4cos工= 5sin(x +沒），其中沒满足4tan^ =—.3.4. 2公式推导问题4你能用问题3的思路和方法把y = asina + 6cosa(a>0,6 >0)化成;y = /4sin(〇: + 0) (A >0)的形式吗？设计意图通过对例题的解答，引导学生把y = a s i n c t w c+ 6cos祕转化为y =/4sin(aa + ^)的形式，在变 换过程中对变换现象和变换目标进行对比、分析，提 升学生对解题过程中如何根据问题的条件进行变形，以及在变换过程中如何逆向使用公式等数学思想方 法的认识，从而进一步理解变换思想，提高学生的推 理能力、数学运算素养.学生如果能给出问题4的简 答，基本上达到了数学运算素养水平二的要求.证明 由 y = asina + 6cosa = Asin (a + 0 )={AcosO = a,AsinO = b.利用cos2汐+ sin2汐=1，得4 = \/a2 +b29汐满足tan^ =—.a所以:K= asina + 6cosa :=a2+ b2 sin (a+ 汐），其中汐满足tan沒=上•a类比上述推理，便有y = asina - 6cosa = \/a1 +b2• sin (a - 0) (a > 0，6 > 0 )•3.4.3建立模型，几何解释问题5你能给出辅助角公式更一般的模型吗？设计意图让学生从问题4中凝练出更具一般 的辅助角公式模型：asina ± 6coso: = ^a+ sin(a±沒）（a>0,6>0)，其中0满足tan0 =上,这一过程可以a培养学生的“数学建模素养问题6我们在学习三角函数和差公式推导时，可以借助常见的几何模型来解释正弦、余弦加法公式，你能构造几何图形来解释辅助角公式模型吗？形的解释 1:asina + 6cosa = \/a + b2sin (a + 0)(a >0,6 >0).已知如图 3,在 RtA/lBC 中，乙4C B=90〇，C>1=6, 直角顶点C在直线/上，设4C与直线/的夹 角为 a.由图 3 可知，asina + 6cosa = Z)C + C£ =另一方面，Z^：=/l// = /^sin 乙^a1 + b2•sin(a + 汐）•所以 asina + 6cosa = J a+ b2s i n(a+沒），其中 0满足tan汐=—.a图3图4形的解释 2:asina - 6cosa = v^2 + 办2sin (a -6)(a >0,6 >0).已知如图 4,在 RtA/lBC 中，乙=6, C5=a，直角顶点C在直线/上，设X C与直线/的夹 角为 a. —•方面，asina - bcosa = CE - CD = DE.= AH = ABsin ^ABH =y V+ 62•sin(a - 6).所以 asina- 6cosa = Va2 + b2sin(a-沒），其中汐满足tan沒=a设计意图在构造学生熟悉的直角三角形中遇到直线这一几何模型，从“形”的角度来解释“数”有 助于学生更好地认识和理解辅助角公式的结构和本 质.同时这样的设计也能突出代数运算与几何直观之 间的融合，通过形与数的结合，能让学生感悟数学知 识之间的关联，加强对数学整体性的理解，这也是《数 学课程标准》对代数与几何部分的要求.2021年1月1日理科考试研究•数学版• 27 •3.4.4公式应用，知识巩固曹才翰在《中国中学教学•百科全书》中指出“数 学运算能力主要是通过解题而逐步发展起来的”，因此在实际教学中要想提升学生的数学运算素养，教师 还需从教学解题活动中对其进行分析和研究.问题7你能求y= - V5"sin2；»： + 3cos2x的最小正 周期、对称轴、对称中心、零点吗？设计意图该题目难度适中，适合学生已有的基 础，且人手角度较多，解题方法多样，能让学生一题多 解，另外该题目把多个知识点综合起来，能达到完善 知识结构，培养思维灵活性的作用.将asina ± 6c〇S a (a<0)转化为asina±6co sa(a>0)的形式，即可以培 养学生的化归转化思想,也可以提醒学生在遇到未知 模型或问题时想到通过等价变形将其转化为已知知 识或模型来求解.进一步培养学生“准确地掌握运算 法则以及分析运算法则的适用条件”的能力.思路1学生通过观察辅助角公式的结构特点，将原函数先提取符号，然后再运用辅助角公式化简，具体为=-v^"sin2a: + 3cos2«: =—d s i n2;c -3cos2*) --2/5^sin(2x _ "g") •思路2学生可以类比辅助角公式的推导过程，=1建立面积s与X的函数模型:/(：〇/T V -，高一学生暂时无法研究函数/(幻的单调性和最大值.《课程标准》指出：“在“互联网+ ”时代，信息技 术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响.在数学 教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助 手段，教师应重视信息技术的运用，优化课堂教学，转 变传统的教学方式因此,在实际教学中先借助GGB 软件从“形”的角度给出S的最大值，然后再利用换元 法从“数”的角度求出/(幻的最值.从而实现信息技术与实际教学的深度融合，提高了教学的时效性.〇 GeoG«bra/I/ .A/J r>004\以回B A〇••f(x) = x-穿 x2•E = I n t e r s e c t(f,y轴,(0,0))—(0•0)• |F-(。
考生数学核心素养发展水平评价——以2020年高考数学天津卷为例
考试研究EXAMINATIONS RESEARCH2021年第2期（总第85期）No. 2,2021General 5。
. 0(考生数学核心素养发展水平评价——以2020年高考数学天津卷为例王洪亮沈婕刘勇于川傅剑［摘要］以2020年高考数学天津卷实测数据为依据，基于核心素养水平评价标准，通过分析考生表现, 发现考生直观想象素养和数学运算素养发展水平较好，但不同水平组考生差异明显；逻辑推理素养发展水平 一般，部分考生差异明显。
建议教师教学要重视基础知识的再认识，重视思想方法的再提炼，重视活动经验的 再积累，重视数学素养的再提升。
［关键词］水平标准；数学核心素养；发展;评价；教学建议［中图分类号］G424.74［文献标识码］A［文章编号］1673—1654（2021）02—027—0102020年是天津市高考综合改革的第一年，普通 高等学校招生全国统一考试（天津卷#数学学科（以下简称“高考数学天津卷”）命题组遵循《中国高考评 价体系》的要求，以新、旧高考过渡时期的《普通高中2017级数学学科教学指导意见》和《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称“《课程标准》”）为依据, 命制了 2020年的高考数学天津卷。
试卷第I 卷为选择题,9小题，每小题5分,共45分；第"卷为填空题和解答题,其中填空题6小题，共30分;解答题5小题,共75分；全卷满分150 分+试卷坚持基础性和综合性的考查，试题突出基础、回归课本、注重能力、聚焦素养，较全面地考查了 学生数学 的发展水平，这必将对中学数学教学生较好的+考后数据表明,2020年高考数学天津卷全卷难度为0.74，区分度为0.35,ALF 信度系数为0.88，标准差为24.90，显示试卷 高的信度和区分，能够作为考生水平评价和教学质量评价的依据。
一、基于核心素养的考生水平评价标准2020 年高考数学天津卷对考生数学的考查主要聚焦于“数学运算”、“逻辑推理”和“直观想象”三种素养。
2023年南宁市中考等级划分标准表
2023年南宁市中考等级划分标准表一、总则1. 为了贯彻落实国家中小学教育课程改革要求，深化素质教育理念，南宁市教育局制定了2023年中考等级划分标准，旨在客观、科学地评价学生的学业水平和综合素质。
二、考试科目及等级划分2. 中考考试科目包括语文、数学、英语和综合素质素养测试。
3. 等级划分分为优秀、良好、合格和不合格四个等级。
三、每科具体划分标准4. 语文优秀：90分及以上良好：80-89分合格：60-79分不合格：60分以下5. 数学优秀：85分及以上良好：75-84分合格：60-74分不合格：60分以下6. 英语优秀：80分及以上良好：70-79分合格：60-69分不合格：60分以下7. 综合素质素养测试优秀：80分及以上良好：70-79分合格：60-69分不合格：60分以下四、结果综合评定8. 对于每个学生，将其各科成绩按照一定权重进行综合评定，形成一个综合等级，从而为学生评定中考等级。
五、履行的方式9. 根据上述标准，学校将对学生进行考试成绩的评定和等级划分，以及综合等级的评定工作，并将等级划分结果公示，确保公开、公平、公正。
六、注意事项10. 学生在参加中考时应严格遵守考场纪律，不得作弊，否则将按照相关规定进行处理。
11. 本标准仅适用于2023年南宁市中考，不得用于其他考试或其他地区的中考。
七、结语12. 本标准的制定旨在客观、科学地评价学生的学业水平和综合素质，为学生的个性发展和多元评价提供依据，是中小学教育改革的重要举措，希望广大教师、学生和家长共同遵守，保证考试的公正、公平和公开。
南宁市2023年中考等级划分标准实施细则随着教育改革的不断深化，为了更好地贯彻国家教育政策，更好地评价和引导学生的学业水平和综合素质，南宁市教育局于2023年制定了中考等级划分标准。
为了进一步明确和细化标准的实施细则，教育局特制定了以下实施细则，以便广大师生及家长更深入地了解中考等级划分标准的具体要求和操作流程。
数学建模素养评价模型与案例分析
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）明确指出，数学课程的重要目标之一是在学习数学和应用数学的过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析数学学科核心素养.在《标准》的学业质量评价中，重点是核心素养评价，将每个核心素养划分为三个水平，每个水平有相关描述以及实例说明.仔细分析这些水平描述，感觉比较笼统、可操作性不够强，对实际教学缺乏有效的指导，尤其是作为六大数学核心素养之一的数学建模素养的评价，更是感觉不便操作.而考试评价对高中教师的导向功能是不得不重视的.也正是基于这样的现实，要想落实数学建模素养培养，首先要做的工作应该是让教师弄清楚管理部门或高考是如何评价和考查这种核心素养的，以此来引导教师重视数学建模素养的培养.为此，本文试以数学建模素养评价为例，探讨学业质量评价中如何对数学建模素养水平进行评价.一、数学建模素养的内涵一般认为，数学模型是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征和主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构.数学建模是把现实世界中的实际问题进行提炼，抽象为数学模型，求出数学模型的解，验证数学模型的合理性，并用数学模型提供的结论再来解释实际问题的一种应用过程.这个过程可以具体表示为：理解问题—简化问题—建立模型—计算求解—解释结果—修改模型—得出结论.数学建模过程结构图如图1所示.1.理解问题2.简化问题3.建立模型4.计算求解5.解释结果6.修改模型7.得出结论数学建模过程结构图图1收稿日期：2020-02-24基金项目：宁波市教育规划重点课题——基于学生视角的新高考改革的调查与思考（2018YZD002）.作者简介：邵光华（1964—），男，教授，主要从事数学教育研究.数学建模素养评价模型与案例分析邵光华摘要：已有数学建模素养评价模式有三种：横向评价、纵向评价和模型创新性评价.《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模素养划分为三个水平，用“情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思”四个维度加以区分与体现.分析了数学建模素养教学与评价案例中并未按照数学建模素养划分的三个水平的四个维度进行说明而导致的理论划分与案例例说不一致的冲突.基于数学建模素养的三个水平的划分维度以及每个水平的表现，结合已有数学建模能力评价模式，重新构建了与数学建模素养划分水平具体要求与表现相一致的数学建模素养评价模型，并举案例说明，合理解决了数学建模素养科学评价问题.关键词：数学建模；素养水平；评价··3《标准》将数学建模提升为数学核心素养之一.素养是一种稳定的内在心理品质，是知识、能力、行为习惯等人格化特征的综合集中反映.数学建模素养被看成是“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养”.具体而言，数学建模素养可以理解为以下四个方面的综合体现：建立模型解决问题时必备的数学基础知识与方法等建模知识；相关的诸如阅读理解、抽象概括、数学运算、逻辑推理、数学应用等数学能力；抽象和转化等重要建模思想；在建模过程中体现的情感、态度与价值观.二、《标准》中数学建模素养的评价指南1.数学核心素养水平划分维度《标准》将每一种数学学科核心素养都划分为三个水平，并对每一个水平通过数学学科核心素养的具体体现和体现数学学科核心素养的四个维度给予表述.这四个维度为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，具体说明如表1所示.表1：反映数学学科核心素养的四个维度维度情境与问题知识与技能思维与表达交流与反思说明情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境；问题是指在情境中提出的数学问题，分为简单问题、较复杂问题、复杂问题能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能数学活动过程中反映的思维品质，表述的严谨性与准确性能够用数学语言直观地解释与交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展2.《标准》中数学建模素养的评价模型《标准》通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个维度对数学建模素养的三个水平进行区分与体现.数学建模素养的评价模型如表2所示.表2：数学建模素养的评价模型维度情境与问题知识与技能思维与表达交流与反思水平一了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义知道数学建模过程包括提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型.能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题对于学过的数学模型，能够举例说明数学建模的意义，体会其蕴涵的数学思想；感悟数学表达对数学建模的重要性在交流的过程中，能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题水平二能够在熟悉的现实情境中，发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题，理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题能够在关联情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义，能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果在交流的过程中，能够用模型思想说明问题水平三能够在综合的科学情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型，解决问题能够理解数学建模的意义和作用，能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象··4可以看出，“情境与问题”维度涉及的是数学建模问题的层次，情境由熟悉到综合，问题由简单到复杂.“知识与技能”维度涉及的是数学建模的过程与模型创新性层次，先模仿学过的模型解决问题，然后选择已知的模型解决问题，最后创造性地建立模型解决问题.“思维与表达”维度涉及的是模型评价与报告撰写水平，由要求举例说明学过的模型的意义，到要求用数学语言表述数学建模的过程，形成研究报告，再到强调学生真正理解数学建模的作用，得出问题的结论.“交流与反思”维度是对数学建模素养的本质的要求程度，由简单的借助模型结果说明问题，到能用模型思想说明问题，再到运用模型思想解决社会现实问题.从数学教育的角度来讲，数学思想是更高层次的理性认识，关于数学内容和方法的本质的认识是对数学内容和方法的本质的进一步概括.数学模型作为一种重要思想被学生理解是非常有意义的.评价模型中，“情境与问题”维度针对的是问题的难易程度与情境的复杂程度，是教师设置考查学生数学建模素养的试题的参考依据.但是，“数学模型的实际背景、熟悉的现实情境、综合的科学情境”三类情境的定义却未明确，“简单问题、复杂问题、较复杂问题”的区分标准也未提及，以及情境、问题两者有何关联，这些都可能增加教师设置测试问题的难度.“知识与技能”维度以考查学生数学建模知识与数学建模过程为主，量化评价的可操作性较弱，应该增加对该维度的量化评价细节.“思维与表达”与“知识与技能”两个维度相辅相成，“思维与表达”是对“知识与技能”的成果的呈现形式予以说明，因此评价时也采用量化评价方式.“交流与反思”维度是数学建模完成之后的交流、反思活动，考查形式可以采用生生、师生交流或组织学生公开答辩，亦可以采用具体量化评价方式.3.《标准》中用于评价的满意原则和加分原则的说明《标准》列举了“鞋号问题、包装彩绳问题、体重与脉搏问题、估计考生总数问题”四个案例用来说明如何评价数学建模素养水平，目的是想通过这些案例给学业水平考试与高考命题以指导.这些案例都是应用问题、开放性问题或探究性问题，可以同时考查学生的思维过程、实践能力和创新意识.《标准》同时指出，在具体评价数学建模素养水平层次时，除了按照前面的评价模型标准外，还需要遵循满意原则和加分原则.所谓“满意原则”就是不一定追求真正的“最优”，只要教师认可就行了，这种寻求“满意性”的系统方案的方法，虽然不如找“最优化”方案方法那么严格、精确，但是它比较灵活.而“加分原则”可以理解为针对数学建模过程的完整性、数学建模方法的创新性、模型的创新性、语言表达的准确性等方面进行加分.结合满意原则和加分原则，四个案例水平综合评价结果如表3所示.表3：四个案例的水平层次判定及评判根据案例鞋号包装彩绳体重与脉搏估计考生总数素养水平水平一水平二水平二水平一水平二水平二水平二水平三水平一水平二评价缘由得出简单模型模型创新数学建模过程完整提出猜想得出模型语言表达准确情境复杂，表达准确方法创新，模型创新体现统计思想过程表述清楚满意原则加分原则加分原则满意原则满意原则加分原则满意原则满意原则加分原则满意原则满意原则4.《标准》中数学建模素养评价模式不足的细化分析通过分析《标准》中案例的评价方式，不难发现，它是横向评价、纵向评价，以及“满意原则”和“加分原则”三个方面相结合的综合评价模式.“横向评价模式”是根据学生解决的不同水平的数学建模问题的情况来裁定其数学建模素养的层次.“纵向评价模式”是将数学建模素养分解为过程要素，具体过程为确定变量、探索关系、建立模型、计算系数、分析结论，根据学生解决问题达到过程中的哪一步来判断其数学建模素养水平.对于“满意原则”和“加分原则”，若学生已经完成数学建模过程中的某一步，根据满意原则直接判定其达到该步骤对应的数学建模素养水平；若学生未完整完成数学建模过程中的某一步，根据加分原则适当加分.例如，对于水平一的数学建模问题，··5数学建模过程完整、模型有创新，根据加分原则，评定为水平二.水平二的数学建模问题，模型合理，数学建模过程不完整，根据满意原则，评定为水平一；模型创新，过程完整，根据加分原则，评定为水平三.水平三的建模问题，提出问题，有思路，根据满意原则，评定为水平一；模型合理，数学建模过程不完整，根据满意原则，评定为水平二.综合起来，可以得出如图2所示的数学建模素养水平评价模型.数学建模素养水平评价模型数学建模素养水平水平一水平二水平三简单问题较复杂问题复杂问题图2根据该评价模型，《标准》提供的数学建模素养案例中，“鞋号问题”“彩绳包装问题”“估计考生总数问题”是数学建模素养水平一、水平二的评定案例，“体重与脉搏问题”是数学建模素养水平二、水平三的评定案例.仔细分析这些数学建模素养水平评定案例，发现似乎存在需要完善的地方.一是评定没有遵循数学建模问题与数学建模水平呈一一对应原则，案例是通过一个数学建模问题评定两个乃至三个数学建模素养水平.二是在评价数学建模素养水平的过程中未对数学建模素养的相关维度的具体表现进行表述.三是通过对数学建模素养划分为过程要素来评价.一方面，破坏了数学建模过程的整体性，难以凸显学生的数学建模素养.因为数学建模是问题解决的一部分，学生用数学建模的思想与方法去解决问题的根本点是是否真正解决了问题，解决问题的过程与问题的结果同等重要，而得出结果则需要经历完整的数学建模过程.因此，根据数学建模过程要素评定不合理.另一方面，忽略高中生认知水平的差异性.例如，数学建模素养达到水平一的学生未能完成关于水平二的问题的任何数学建模步骤，按照过程要素评价方式，将评定该学生的数学建模素养不能达到数学建模素养水平一.事实上，按照过程要素得出的评价结果与学生真实的素养水平会大相径庭.三、基于四个维度的数学建模素养评价模型的构建鉴于《标准》中关于数学建模素养评价的操作不甚明晰，下面，笔者重新构建更具操作性的评定设计方案，并通过案例给予说明.1.数学建模核心素养评价应该坚持两个原则针对《标准》中数学建模素养水平评价方案的不足，我们提出评价学生数学建模素养水平应该遵循的两个基本原则.原则1：基于数学建模情境与问题维度.为方便教师编制对应的数学建模素养水平测试题，数学建模问题与数学建模素养水平需要呈一一对应关系.事实上，能够通过数学建模解决的实际问题的难度水平在一定意义上能够显示一个人的数学建模素养水平的高低.基于此，我们提出数学建模素养水平与数学建模问题的难度应该呈一一对应关系.简单问题对应数学建模素养水平一，较复杂问题对应数学建模素养水平二，复杂问题对应数学建模素养水平三.简单问题包括一般的应用题，以及数量关系较明显的实际问题.该类问题较易入手，容易找到量与量之间的··6关系，结果也比较简单，不需要过多的分析、整理.较复杂问题主要指从社会生产、生活的实际中来的问题，背景较为复杂，不容易切入，较难下手，需要经过分析与判断做出适当假设，量与量之间的关系也较容易发现，得到的结果并不要求精确，但是需要做出一定的分析、说明，进行简单评价.复杂问题指从实际生活中来而且未经数学化的问题，解决它不仅需要相应的数学知识，还需要了解非数学领域的知识，这类问题难以切入，不容易发现其中的量与量之间的关系，在求解中除了应用数学知识外，还需要运用计算机进行模拟、试算、检验，并需要对模型进行分析与评价，结果要求是最优解，没有标准答案，需要以科技论文呈现.原则2：数学建模素养水平评价需要体现情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个维度.《标准》中给出的这四个维度能够切实综合反映学生的数学建模素养水平，为了更准确地反映水平层次，需要将这四个维度量化.2.基于四个维度的数学建模核心素养评价模型的方案设计结合每个水平的具体表现，我们将这四个维度划分为相应的子维度，记分法则参照文献［11］中的“数学建模能力评价量表”.由此设计并构建了数学建模核心素养评定方案，如表4所示.可以规定，获得相应数学建模素养水平问题总分的60%，就可以认定学生达到了该水平.表4：基于四个维度的数学建模素养评价方案维度情境与问题知识与技能思维与表达交流与反思子维度提出问题做出假设定义变量、参数使用的数学方法问题结果模型分析与评价写作与组织结果报告理想情况简洁、确切地表明该模型的问题是什么.（3分）主要的假设确切、合理且易于理解.（3分）合理列出重要的参数和变量，并做出相关解释.（3分）呈现了合理的数学方法和数学结果，提供了合理的解释.（4分）清晰地提出解决方案，还包含有用的可视化辅助（表格、图形），并进行解释.（4分）提供了解决方案的可行性和可靠性.例如，与其他解决方案相比，本模型怎样？（3分）论文格式很好，可顺利地阅读，选择最佳可视化辅助且易于理解.（5分或4分）语言表达流畅，易于理解，针对听众的疑问给予合理解释.（5分或4分）符合要求问题的陈述很容易识别，但是不够精确.（2分）指出主要假设，但是缺乏合理性或可读性.（2分）合理列出重要参数和变量，没有确切的解释.（2分）陈述了数学方法，但是难以令人理解.（3分或2分）陈述了答案，但是解决方案的各个方面难以理解或不完整.（3分或2分）分析缺乏适当的维度.例如，忽略了所述结果的明显后果.（2分）格式符合要求，行文流畅，缺乏可视化辅助说明，不易理解.（3分或2分）语言表达流畅，未对听众的疑问给予合理解释.（3分或2分）需要改进问题的陈述难以理解或被隐藏在原文中.（1分）给出假设并说明其合理性，但是与问题不贴切.（1分）设置了部分变量、参数.（1分）陈述了数学方法，但是包含可以解决的数学错误.（1分）给出了答案，但是没有给出适当的图形、恰当的单位等.（1分）提供了一些分析，但是没有任何从整体出发看问题的意识.（1分）论文格式符合要求，行文不流畅.（1分）用自然语言流畅表达，但是听众难以理解.（1分）未完成没有给出问题陈述.（0分）没有假设，或缺乏假设的理由.（0分）没有确定变量或参数.（0分）没有提出模型，或提出的模型包含重大错误.（0分）未提供解决方案.（0分）文章中不包含任何的模型分析或评估.（0分）论文格式不符合要求.（0分）无法用自然语言流畅表述模型.（0分）··7四、基于四个维度数学建模核心素养评价模型的案例分析有关数学建模素养水平评价的问题编制或选取与“情境与问题”“知识与技能”两个维度的要求密切相关.下面我们主要根据这两个维度进行分析说明.说明的形式是先解析《标准》的要求，再解释本文选择的问题为何符合要求.1.数学建模核心素养水平一案例分析情境与问题维度要求：教师可以将教材中涉及的数学模型作为原材，选取适时的背景编制问题.可以为一般的应用问题或数量关系较明显的实际问题.知识与技能维度要求：问题需要设置参数或条件假设.水平一的问题是已经适度数学化的问题，学生经历从学过的数学模型中选取合适的模型，求解模型、检验模型、完善模型.情境：人社部拿出延迟退休方案，采取渐进式延迟退休年龄政策，采取小步慢走，渐进到位.男性延迟退休年龄的具体方案如表5所示.表5：男性延迟退休年龄方案出生年份退休年龄出生年份退休年龄出生年份退休年龄196160.00196861.75197563.50196260.25196962.00197663.75196360.50197062.25197764.00196460.75197162.50197864.25196561.00197262.75197964.50196661.25197363.00198064.75196761.50197463.25198165.00问题：男性的退休年龄随出生年份逐步调整的计算模型是什么？在情境与问题层面，该情境是学生熟悉的情境，问题是已经数学化的问题.从表格里的数据可知，调整过程中男性的出生年份与退休年龄均成等差数列，等差数列模型是学生学过的数学模型.在知识与技能层面，学生只需要通过模仿等差数列模型，设置模型相关参数，建立男性的退休年龄随出生年份逐步调整的计算模型，经历建立模型的过程.具体建模过程如下.由表5中的数据不难看出，数据呈等差数列特征.假设调整过程中的男性的出生年份为数列{}y n，退休年龄为数列{}a n，模型分别设为y n=y0+nd1，a n=a0+nd2.在2021年年龄为60岁的男性出生年份y0=1961，d1=1；目前的退休年龄a0=60，d2=0.25；从表5中可知，数列的长度n为从开始调整年龄到预定的退休年龄65岁的年龄跨度是20年，且作为连接男性出生年份与退休年龄数学关系的桥梁，即an-a0d2=y n-y0d1，再结合a0，d2，y0，d1的值，得到男性的退休年龄随出生年份逐步调整的计算模型an=60+0.25()y n-1961.2.数学建模核心素养水平二案例分析情境与问题维度要求：这种问题从社会的生产、生活实际中来，不容易切入，难以下手，需要学生将现实问题数学化，知道问题的价值与作用.知识与技能维度要求：该类问题需要经过分析与判断，量与量之间的关系容易被发现；可以跨学科寻找与解决此问题类似的模型；仍然需要在数学建模之前，做出适当假设，且理解设置参数的意义；得到的结果不一定精确，需要进行一定的分析、说明，简单评价，解决问题.情境：一辆小汽车在普通路面上行驶，得九组关于车速、反应距离、刹车距离的数据，如表6所示.反应距离即驾驶员做出反应动作到刹车制动开始起作用汽车行驶的距离.刹车距离即从刹车制动开始起作用到汽车完全停止这段时间内汽车行驶的距离.表6：车速与反应距离、刹车距离对应数据表车速/km·h-1324048566472808895反应距离/m6.78.510.111.913.415.216.818.620.1刹车距离/m6.18.512.31621.928.23645.355.5问题：对于这辆小汽车与这位驾驶员，分别建立反应距离关于车速的函数模型、刹车距离关于车速的函数模型.··8在情境与问题层面，该情境是学生熟悉的现实情境，是跨学科的问题，需要学生将问题数学化.将汽车运动问题转化为具体的路程与速度问题.在知识与技能层面，该问题是物理学科的匀速与减速问题，在物理学科中有类似的模型.通过观察数据并分析量与量之间的关系，学生选择路程与速度模型：匀速运动模型s=vt，匀减速运动模型s=v 22a.学生需要经历模型参数的假设，并且对结果进行分析.（1）假设驾驶员的反应时间为t，反应距离为s1，刹车距离为s2，车速为v.选取匀速运动模型s1=vt，计算驾驶员做出反应动作到刹车制动开始起作用汽车行驶的时间.将九组车速与反应距离的数据代入匀速运动模型，通过计算发现九组反应时间t非常接近，t的均值tˉ=0.7584，t的方差为2.0927×10-5，驾驶员的反应时间可以设定为定值0.7584，对于这辆小汽车与这位驾驶员，反应距离关于车速的函数模型为s1= 0.7584t.（2）假设这辆小汽车的减速度为a，选取匀减速运动模型s2=v22a.将九组车速与刹车距离数据代入匀减速运动模型，通过计算发现九个12a的值非常接近，12a的均值是0.072，12a的方差是1.7617×10-5，12a可以设定为定值0.072.对于这辆小汽车与这位驾驶员，刹车距离关于车速的函数模型s2=0.072v2.3.数学建模核心素养水平三案例分析情境与问题维度要求：情境是综合的科学情境，问题是现实生活中未经过数学化的问题.难以切入问题，不容易发现量与量之间的关系.知识与技能维度要求：这类问题没有能运用或者模仿的模型.学生在理解题意，将现实问题数学化的基础上，运用学习过的数学知识创造性地建立数学模型.在求解步骤中除了数学知识，还需要运用计算机进行模拟、试算、检验，解决问题.情境：储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板.每一层称为一个储药槽，每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格，一个储药槽内只能摆放同一种药品，如图3所示.图3问题：为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送的过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转.表7给出了20种药盒的尺寸规格，给出能够存放这些药盒且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案.表7：药盒规格表药盒编号长度/mm宽度/mm厚度/mm药盒编号长度/mm宽度/mm厚度/mm112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738在情境与问题层面：问题从实际生活中来，未经过数学化处理，难以切入问题，不容易发现量与量之间的关系，是综合情境复杂问题.在数学建模过程中，实际问题抽象为数学问题，需要借助于几何直观.模型求解运用不等式，通过解不等式寻找储药格宽度与存储药盒厚度的关系，划分药盒的厚度间隔.在知识层面上，学生遇到的困难大.在知识与技能层面，该问题无已知的模型可以直接运用，需要学生有数学建模素养水平三的能力，建立模型，解决问题.问题数学化分析如下.（1）药盒在储药槽内推送的过程中不会出现并排重叠，即药槽的宽度小于药盒宽度的两倍.··9。
数学素养及评价的水平划分
一、数学学科核心素养的水平划分二、学业质量（一）学业质量内涵学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。
学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维度（参见附录1），结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画。
依据不同水平学业或就表现的关键特征，学业质量标准明确将学业质量划分为不同水平，并描述了不同水平学习结果的具体表现。
数学学科学业质量是应该达成的数学学科核心素养的目标，是数学学科核心素养水平与课程内容的有机结合。
学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据。
（二）学业质量水平数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现。
每一个数学学科核心素养划分为三个水平（详述参见附录1)，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的几个方面进行表述的。
数学学科核心素养的具体表现参见“学科核心素养与课程目标”，体现数学学科核心素养的四个方面知下：情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境。
问题是指在情境中提出的数学问题；知识与技能主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；思维与表达主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；交流与反思主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展。
（三）学业质量水平与考试评价的关系数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考。
关于教学与评价的具体要求可参照“教学与评价建议”，关于学业水平考试与高考命题的具体要求可参照“学业水平考试与高考命题建议”，关于教材编写的具体要求可参照“教材编写建议”。
小学数学核心素养与关键能力的测评
小学数学核心素养与关键能力的测评对学生数学核心素养与关键能力的测评，理应兼顾多种测评方式，但限于大规模测试条件的限制，2016年江苏省义务教育学业质量监测项目小学数学测试主要还是采取了纸笔测试的方式。
测试试卷的编制既注意了学习内容的覆盖面，同时又重点关注了各个数学核心素养的考查。
一、基于核心素养的测试卷结构（一）测试试卷框架结构根据前述对核心素养的关键能力分解与水平划分，以及《标准（2011年版）》中第一学段的内容安排，测试试卷命题主要基于三个维度：内容领域、核心素养和水平层次，形成了如下的测试试卷基本框架（图2-2-1）。
图2-2-1基于核心素养的小学数学学业质量评价试卷基本框架1.内容领域依据《标准（2011年版）》，内容领域包括以下三个部分：数与代数、图形与几何、统计与概率。
“数与代数”考查数的认识、数的运算、常见的量、探索规律四个方面。
“图形与几何”考查图形的认识、图形的运动、图形与位置、测量四个方面。
“统计与概率”考查数据统计活动初步。
2.核心素养参照《普通高中数学课程标准（2017年版）》，考虑到数学教育的连续性，小学数学核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面。
具体考查每个核心素养所体现出的相应关键能力。
3.水平层次水平层次依据三年级学生的实际学习情况，由高到低划分为A水平、B水平、C水平三个层次。
其中A水平为优秀，B水平为达到课程标准的基本要求，C水平为未达到课程标准的基本要求。
特别地，水平层次的划分是在大规模测试结果的基础上，采用Ang of f方法进行划定，同时采用Bookmark方法验证其有效性。
4.试题类型数学测试中题目类型主要设置了选择题、填空题和解答题三种类型，其中每道选择题设置了四个选项，要求学生从中选出一个正确的答案。
选择题有很多优点，如评分客观、记分容易，可用机器阅卷，节省考试费用；学生作答简易，所需时间较少，适合中小学生的作答能力，等等。
核心素养导向下小学数学“教—学—评”一体化教学评价探索——以人教版数学五年级下册“长方体、正方体的认
案例研究现。
在此背景下，教师落实“教—学—评”一体化理念，必须围绕学科核心素养在特定阶段特点内容中的主要表现展开具体分析，以此为基准明确教学目标，制定相关教学评价标准。
（一）对照课程标准查阅文献，厘清和解构相关核心素养主要表现的逻辑层级核心素养导向下的小学数学教学，必须厘清学生学习课程内容后核心素养的主要表现是什么，并解构该主要表现的逻辑层级，作为学生核心素养主要表现的水平层级，从而明确教学目标，制定相应的教学评价标准。
《2022年版数学课标》在关于“核心素养的内涵”中明确了小学阶段数学核心素养的11个具体表现，包括数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观察、推理意识等。
“长方体、正方体的认识”一课属于“图形与几何”领域第三学段的学习内容，与其对应的核心素养具体表现主要表现为空间观念。
根据皮亚杰的儿童认知理论，空间观念的表现性水平可以从空间知觉、空间表象、空间想象三个层面进行评价（如表1）。
结合“长方体、正方体的认识”一课教学内容，进一步解读空间观念三个层面的表现性水平，可以梳理出学生相关核心素养形成和发展的逻辑层级。
首先，学生如果能够对长方体、正方体的形状、大小、位置关系及其变化产生直觉，这便是形成了相关的空间知觉；其次，学生如果能够通过观察、比较、分析等思维活动，了解长方体、正方体的大小、形状、各部分之间的位置共系、数量关系等特征，并在头脑中留下了清晰的表象，当教师或同伴再次提到这些几何图形时能够在头脑中“再现”它们的具体形象，这便是形成了相关的空间表象；最后，学生如果能够根据长方体、正方体的特征抽象出立体的几何图形，并借助该几何图形想象出所描述的实际物体，还能想象并表达出物体的空间位置关系和特征，这便是达到了空间想象的水平层级。
厘清了空间观念核心素养具体表现的三个逻辑层级，便可以为接下来刻画“核心素养水平”三个层级的学业成就表现特征提供观察的维度。
表1“空间观念”三个层级的表现性水平水平一：空间知觉能根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体水平二：空间表象能想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系水平三：空间想象能想象并描述出图形运动和变化的过程，能依据语言描述画出图形（二）结合学段教学内容，对照课程标准学业质量描述，多维度多层面刻画学生的学业成就表现特征为多维度多层面刻画学生的学业成就具体表现特征，教师可参考《2022年版数学课标》对相关学段相关内容学业质量的描述，通过分解教材内容中的知识要点，再对照知识要点从“学习内容能力水平”和“核心素养水平”两个维度对学生学业成就具体表现特征进行具体刻画。
03—普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)附录1数学学科核心素养的水平划分
附录１ 数学学科核心素养的水平划分水平素养数学抽象水平一 能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题。
能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论，能够在熟悉的情境中抽象出数学问题。
能够了解用数学语言表达的推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。
在交流的过程中，能够结合实际情境解释相关的抽象概念。
水平二 能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。
能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系。
能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。
在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。
００１续表水平素养数学抽象水平三 能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。
能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。
在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。
在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。
水平素养逻辑推理水平一 能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系。
能够在熟悉的数学内容中，识别归纳推理、类比推理、演绎推理；知道通过归纳推理、类比推理得到的结论是或然成立的，通过演绎推理得到的结论是必然成立的。
能够通过熟悉的例子理解归纳推理、类比推理和演绎推理的基本形式。
了解熟悉的数学命题的条件与结论之间的逻辑关系；掌握一些基本命题与定理的证明，并有条理地表述论证过程。
小学数学学业质量评价：框架与方法
2022年版课标对学业质量的描述是：“数学课程学业质量标准主要从以下三个方面来评估学生核心素养达成及发展情况。
（1）以结构化数学知识主题为载体，在形成与发展‘四基’的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等。
（2）从学生熟悉的生活与社会情境，以及符合学生认知发展规律的数学与科技情境中，在经历‘用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题’的过程中所形成的模型观念、数据观念、应用意识和创新意识等。
（3）学生经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累，逐步产生对数学的好奇心、求知欲，以及对数学学习的兴趣和自信心，初步养成独立思考、探究质疑、合作交流等学习习惯，初步形成自我反思的意识。
”由此可以看到，一是通过形成“四基”“四能”来发展学生的数学核心素养，即学业质量评价的第一个指向是核心素养的11个表现，其实，这11个表现也就是11个数学关键能力（下面的讨论将核心素养表现作为关键能力看待）；二是通过数学学习，发展学生的必备品格和正确价值观，即学业质量评价的第二个指向是品格与价值观。
因此，学业质量评价已经从偏重学生知识学习的结果转向知识与素养并重的理念。
2022年版课标在对学业质量评价内涵界定的基础上，依据上述三个方面对各学段学业质量标准作了具体描述。
同时，在评价建议中提出了命题原则、命题规划。
然而，这些要求、规定、原则、规划与教学实践中评价的具体操作之间还存在一个中间地带，例如，2022年版课标指出“科学制订多维细目表”，但这个表的具体样态并不知道。
因此，需要开辟课标与实践之间的评价路径。
下面建立一个学业质量评价的框架，如表1，包括评价内容、评价类别、评价方式、评价工具、具体操作。
◇喻平小学数学学业质量评价：评价内容关键能力评价品格与价值观评价评价类别终结性评价过程性评价评价方式纸笔测验成长记录评价工具测验题目评价量表具体操作（1）对数学核心素养表现作水平划分（2）设计命题的三维细目表（3）命题编制（4）实践验证题目的科学性（1）提出评价指标体系（2）通过思辨与实证结合，建构品格与价值观评价指标（3）实践验证指标的合理性表1小学数学学业质量评价框架框架与方法2024.2下半月·数学（1）为什么要对核心素养表现作水平划分？从学理层面看。
数学素养及评价的水平划分精编版
一、数学学科核心素养的水平划分二、学业质量（一）学业质量内涵学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。
学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维度（参见附录1），结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画。
依据不同水平学业或就表现的关键特征，学业质量标准明确将学业质量划分为不同水平，并描述了不同水平学习结果的具体表现。
数学学科学业质量是应该达成的数学学科核心素养的目标，是数学学科核心素养水平与课程内容的有机结合。
学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据。
（二）学业质量水平数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现。
每一个数学学科核心素养划分为三个水平（详述参见附录1)，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的几个方面进行表述的。
数学学科核心素养的具体表现参见“学科核心素养与课程目标”，体现数学学科核心素养的四个方面知下：情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境。
问题是指在情境中提出的数学问题；知识与技能主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；思维与表达主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；交流与反思主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展。
（三）学业质量水平与考试评价的关系数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考。
关于教学与评价的具体要求可参照“教学与评价建议”，关于学业水平考试与高考命题的具体要求可参照“学业水平考试与高考命题建议”，关于教材编写的具体要求可参照“教材编写建议”。
数学核心素养的内涵、评价及培养
数学核心素养的内涵、评价及培养数学核心素养的内涵、评价及培养目前对数学核心素养的研究主要集中在以下几方面：数学核心素养的内涵及构成要素；数学核心素养的测量和评价；数学核心素养的培养。
一、数学核心素养的内涵及构成要素1.数学核心素养的内涵和缘起《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。
高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。
”面对未，教育应该赋予学生的到底是什么？从上世纪下半叶开始，联合国教科组织、欧盟、国际经合组织等机构即开展了对此问题的相关研究，美国、日本等国家相继跟进，并提出了各自的“核心素养”结构模型，虽然素养的具体指标不尽相同，但都是在回答相同的问题：21世纪培养的学生究竟应该从学校教育中获得哪些最为重要的知识、能力以及情感态度，才能成功地融入不可预知的未社会，才能在满足个人自我实现需要的同时，成为社会发展的推动者？我国在借鉴国际经验的同时，结合本国实际，建构了中国学生发展核心素养指标体系，“核心素养”被定义为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。
从价值取向上看，它反映了“学生终身学习所必需的素养与国家、社会公认的价值观”；从指标选取上看，它既注重学科基础，也关注个体适应未社会生活和个人终身发展所必备的素养。
和“四基”相比，核心素养的课程逻辑超越了知识本位的课程观，力图改变现有课程过于强调学科体系逻辑、课程标准过于重视内容标准、学科教学过于强调知识传授的倾向，从“课程育人”的角度回答“育人为本”的问题。
按照这一逻辑，在回答“学什么”之前，更应该思考的是，学生在学习了各学科课程后，到底留下了什么？因此，在新一轮高中课程标准修订的时候，每门课程必须厘清“本学科对学生成长的特殊贡献是什么、具体内涵如何解构”等问题。
从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象
具备了一定的抽象能力，对事物的认识才能从感性认识上
升到理性认识，从而获得事物的本质特征．
《 普通高中数学课程标准（ ２０１７ 年版） 》 把数学抽象素
养水平划分为三部分，水平一是高中学业水平考试的要求，
水平二是高考的要求，水平三是大学自主招生的要求．水平
系；能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能
够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想；
在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象．
水平三要求学生能够在综合的情境中抽象出数学问
题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在得到的数学结论
基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方
法解决问题；能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽
数学核心素养
１００
ＳＨＵＸＵＥ ＨＥＸＩＮ ＳＵＹＡＮＧ
从
数学抽象素养的角度分析人教 Ａ 版
高中数学教材
从数学抽象素养的角度分析人教
版高中数学教材
函
数概念的抽象
函数概念的抽象
◎白逸飞 （ 北京师范大学，北京 １０００００）
【 摘要】 数学抽象素养是通过对数量关系与空间形式的
版高中数学教材函数概念的抽象．
二、研究方法
本文采用文献研究和案例分析的方法，收集关于数学
抽象素养内涵及水平划分、阶段及表现形式方面的文献，同
时结合人教 Ａ 版高中数学教材函数概念的教学案例，分析
数学抽象素养的各个表现形式在人教 Ａ 版高中数学教材函
数概念中的体现．
三、研究问题
本文主要从数学抽象素养的角度分析人教 Ａ 版高中数
象结构；能够理解数学结论的一般性；能够感悟高度概括、
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一、数学学科核心素养的水平划分
二、学业质量
（一）学业质量内涵
学业质量是学生在完成本学科课程学习后的学业成就表现。
学业质量标准是以本学科核心素养及其表现水平为主要维度（参见附录1），结合课程内容，对学生学业成就表现的总体刻画。
依据不同水平学业或就表现的关键特征，学业质量标准明确将学业质量划分为不同水平，并描述了不同水平学习结果的具体表现。
数学学科学业质量是应该达成的数学学科核心素养的目标，是数学学科核心素养水平与课程内容的有机结合。
学业质量是学生自主学习与评价、教师教学活动与评价、教材编写的指导性要求，也是相应考试命题的依据。
（二）学业质量水平
数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现。
每一个数学学科核心素养划分为三个水平（详述参见附录1)，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的几个方面进行表述的。
数学学科核心素养的具体表现参见“学科核心素养与课程目标”，体现数学学科核心素养的四个方面知下：
情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境。
问题是指在情境中提出的数学问题；
知识与技能主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；
思维与表达主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；
交流与反思主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展。
（三）学业质量水平与考试评价的关系
数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；
数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；
数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素
养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考。
关于教学与评价的具体要求可参照“教学与评价建议”，关于学业水平考试与高考命题的具体要求可参照“学业水平考试与高考命题建议”，关于教材编写的具体要求可参照“教材编写建议”。