高二数学学习资料

高二复习资料

常用逻辑用语期末点睛复习

【核心考点】

1.充分必要条件 p 是q 的充要条件：p q ⇔

p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>, p 是q 的既不充分不必要条件：

2.全称量词和存在量词

短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．

【题型】

【例1】已知“x >k ”是“3

x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )

A ．[2，＋∞)

B ．[1，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)

【解析】由3x ＋1<1，可得3

x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1

<0，

所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，所以k≥2.

【例2】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 【解析】由正弦定理得

2sin sin a b

R A B

==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）

，则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此

a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的充分必要必要条件，故选A.

,q p ≠>p q ≠>

圆锥曲线

椭 圆

【核心考点】

1.椭圆定义

平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆. 这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

注意：当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时,动点的轨迹是线段F 1F 2;当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时,动点的轨迹不存在.

2.椭圆的几何性质

b y b a x a ≤≤-≤≤-, a y a b x b ≤≤-≤≤-,

3.直线与椭圆的位置关系

相离：（1） 相离⇔{22

221

x y a b +=y =kx +b

无解

（2）求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（数形结合，求平行线间距离，作l '∕∕l 且l '与椭圆相切）

相切：（1） {22

221

x y a b +=y =kx +b

有一解

（2）过椭圆上一点P 0（x 0,y 0)的椭圆的切线方程为

xx 0a 2

+

yy 0b 2

=1

相交：（1） {22

221

x y a b +=y =kx +b 有两解

（2）弦长公式：

|AB |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2|x 1−x 2|

注：12x x -=12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想出现。

4.弦中点问题（点差法）

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

5.焦点三角形

性质一：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中

,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =∆。

性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中

,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

双曲线

【核心考点】

1.双曲线的定义

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；

21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）； ②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形； ④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

2.双曲线的性质

)0,(),0,(a A a A - ),0(),,0(a B a B -

3.焦点三角形

x

O F 1 F 2

P y

A 2 A 1

x

O

F 1

P B 2 B 1 F 2 y