高考数学空间向量与立体几何总复习

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建

二、课标及考纲要求

三、知识要点及考点精析

（一）空间向量及其运算 1．空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等． 2．空间向量的线性运算

（1）空间向量的加法、减法和数乘运算

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b+a ；

②结合律，即()()+=+a +b c a b+c ；

③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． （2）空间向量的基本定理

① 共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使

λa =b ．

② 共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ．

③ 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b +c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a , b , c

都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）． （3）两个向量的数量积

两个向量的数量积是a •b= |a||b|cos，数量积有如下性质： a , b , c ① a •e= |a|cos（e 为单位向量）； ② a ⊥a ⇔a •b=0； ③ a •a=|a|2

；

④ |a •b|≤| a||b|． 数量积运算满足运算律： ①交换律，即a •b= b •a ；

②与数乘的结合律，即（λa ）•b=λ（a •b ）； ③分配律，即（a+b ）

•c =a •c +b •c ． 3．空间向量的坐标运算

（1）给定空间直角坐标系xyz O -和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =． （2）空间向量的直角坐标运算律

①若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，，

-a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，a •b ),,(332211b a b a b a =．

112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥，1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥．

②若111222()()A x y z B x y z ，，，，，，则212121()AB x x y y z z =---，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．直线的方向向量与向量方程

（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量OA =a ，则点A 在空间的位置被a 所惟一确定，a 称为位置向量．

（２）方向向量与向量方程：给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量t AP =a ，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量． 典型例题分析：

例1．若AB =(x 2,1,3),CD =(1,-y 2,9),如果AB 与CD 为共线向量,则( ) A ．1=x ，1=y B ．21=x ,2

1

-=y C ．61=x ,23-

=y D ．6

1

-=x ,23=y

答案: C

例2．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(-1，0，2)，且k a ＋b 与2 a -b 互相垂直，则k 的值是( )

A ． 1

B ． 51

C ． 5

3

D ． 57 答案: D

例3．已知AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),求平面ABC 的单位法向量． 解:设平面ABC 的法向量n =(x,y,1),则n ⊥AB 且n ⊥AC ,即n ·AB =0,且n ·AC =0,

即

⎩⎨⎧=++=++,0354,0122y x y x 即⎪⎩

⎪⎨⎧

-==,

1,2

1y x ∴n =(21,-1,1),单位法向量n =±(31,-32,32)． （二）立体几何中的向量方法

1．利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系

设直线1l 的方向向量是1u 111()=，，a b c ，直线2l 的方向向量是2u 222()a b c =，，，平面α的法向量是1v 111()x y z =，，，平面β的法向量是2v 222()x y z =，，，则有如下结论成立： （1）12∥l l ⇔u 1∥u 2⇔u 1=k 2u 212121,,kc c kb b ka a ===⇔； （2）12l l ⊥⇔12120⊥⇔=·u u u u 1212120⇔++=a a b b c c ； （3）1l ∥⇔α11110⊥⇔=·u v u v 1111110⇔++=a x b y c z ；

（4）1l ⊥⇔α111⇔=∥u v u k 1v 111111,,kz c ky b kx a ===⇔； （5）121αβ⇔⇔=∥∥v v v k 2v 121212⇔===，，x kx y ky z kz ； （6）12120αβ⊥⇔⊥⇔=·v v v v 1212120x x y y z z ⇔++=． 第一部分：平行问题

① 利用空间向量解决线线平行问题

（06山东模拟）已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O B ，为垂足．求证：OA BD ∥． 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，如图1，建立空间直角坐标系O xyz -，，，i j k 为沿，，x y z 轴的单位向量，且设BD ()x y z =，，．

BD α⊥∵，BD ⊥∴i ，BD ⊥j ，()(100)0BD x y z x ===，，，，i ∴··， BD j ·()(010)0x y z y ===，，，，·．

(00)BD z =，，∴，BD z =k ∴·．BD k ∴∥，即OA BD ∥．

点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明OA BD λ=即可． ② 利用空间向量解决线面平行问题

（06山西模拟）已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ． 证法1：建立如图2的空间直角坐标系A xyz -．设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b ， 则1133(000)0(0)0022222a a a A B a C a b B a b D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，，，，，，，，，，，，，，． 设平面1DBC 的法向量为()x y z =，，n ，

则11330002222a a AB a b BD a DC b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，，，，，，，，． 由BD ⊥n ，1DC ⊥n ，得13

0202

BD ax a DC y bz ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，，n n ··02x a z y b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．∴

取得1y =，得012a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，

，n ． 由13010222a a AB a b b ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，n ··，