第二章 流体力学的基本方程12
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27
举例
解：
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t；
vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
由流线的微分方程：
dx dy dz vx vy vz
dx dy xt y t
积分
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
(x+t)(-y+t) = C
流体运动过程中，若各空间点上 对应的物理量不随时间而变化，则称此 流动为定常流动，反之为非定常流动。
18
在定常流动中，流场内物理量不随时间而 变化，仅是空间点的函数。
0 t V V ( x, y , z ) p p ( x, y , z )
( x, y , z )
14
对于任何矢量b和任何标量φ的表达式分别为：
db b ( V )b dt t d (V ) dt t 例如密度的随体导数为 : d (V )
dt t Vx Vy Vz t x y z
2
设t=t0时,流体质点的坐标值是（a, b, c）， 流体质点在每一瞬时t所占据的空间位置可 表示为： r=r(a, b, c, t) 在直角坐标系中三个分量为：
x=x(a,b,c,t)
y=y(a,b,c,t)
z=z(a,b,c,t) a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
31
（二）过流断面、流量与断面平均流速
流量：单位时间内，流过某一控制面的流体的量。 分为体积流量和质量流量，通常多指体积流量。 单位：体积流量：m3/s，m3/h，l/min； 质量流量：kg/s，kg/h 控制面与流速方向垂直时流量的表达式： 微元流束： 平面控制面： 曲面控制面：
qv vdA
5
流体质点的密度ρ、压力p和温度T的 拉格朗日函数为：
( a , b, c , t )
p p ( a , b, c , t ) T T ( a , b, c , t )
在这些表达式中，拉格朗日变数（a,b,c,t) 是各自独立的，流体质点的初始坐标（a,b,c)与 时间 t 无关，时间 t 只影响质点的运动坐标、 速度和加速度，而不会改变质点的初始坐标。
A
dq v vdA
流量正负的规定： 流体经控制面流出控制体时，流量为正。 流体经控制面流入控制体时，流量为负。
32
qv vdA
A
过流断面：与流束或总流的流线相垂直的端面。
总流过流断面流速分布一般不均匀，故引入断面 平均流速的概念。罢工111111总流
3
流体质点的速度根据定义为：
r (a, b, c, t ) v t x(a, b, c, t ) vx t y (a, b, c, t ) vy t z (a, b, c, t ) vz t
4
流体质点的加速度根据定义为：
vx 2 x(a, b, c) ax t t 2 vy 2 y (a, b, c) ay t t 2 2 vz z (a, b, c) az 2 t t
21
四、迹线与Biblioteka Baidu线
22
(一)迹线
迹线是流体质点在运动过程中于流动空间所描绘出的曲线。 它的切线方向代表质点经过该点时的速度方向，是质点运 动规律的几何表示，是时间过程中形成的曲线。对应于拉 格朗日法。
dx v x ( x, y , z , t ) dt dy v y ( x, y.z.t ) dt dz v z ( x, y.z.t ) dt
11
加速度矢量式：
d V v v dx v dy v dz a dt t x dt y dt z dt
dV v ( V ) V dt t
i j k x y z
— 哈密顿（Hamilton ）算子
dN N N lim (V ) N dt t 0 t t 称为物理量N的质点导数(或随体导数) dN 全导数或随体导数 dt N 局部导数或时变导数 t
(V ) N 位变导数
如果流体质点处于静止状态，则不存在质点导数的 概念，这一概念专指运动流体质点而言。
V V V V V Vx Vy Vz (V )V t x y z t
10
在直角坐标系中：
vx vx vx dvx vx vx vy vz ax t x y z dt
dvy vy vy vy vy vx vy vz ay t x y z dt dvz vz vz vz vz ax vx vy vz dt t x y z
j vy dy
k vz 0 dz
dx dy dz vx ( x, y, z , t ) vy ( x, y, z , t ) vz ( x, y, z , t )
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线 方程。
25
流线性质：
1、流场定常时，流线形状不随时间而变化， 且流线与迹线重合。 2、流场非定常时，流线形状随时间而变化， 且流线与迹线不重合。 3、实际流场中，一般流线不能相交、不能突 然转折。因为同一瞬时，流场中各点速度是 唯一的。
t = 0 时过 M(-1,-1)：C = -1
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
28
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t；
vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。 解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt vx vy vz
12
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部 分组成： • ∂ V/ ∂ t项，是由于流场的非定常性引起的 加速度，称为时变加速度、局部加速度或 当地加速度；
(v • )v项，是由于流场的不均匀性而引起的
速度变化，称为位变加速度或对流加速度。
13
运动中的流体质点所具有的物理量N (例如v, p, , T等) 对时间的变化率 :
第一节 研究流体运动的两种方法
描述流体运动是从着眼于研究流体质点 的运动，还是着眼于研究流动空间点上流动 参数的变化出发，可分为两种方法：拉格朗 日（Lagrange）方法和欧拉（Euler）方法。
1
一、拉格朗日方法（随体法）
拉格朗日方法着眼于流体质点， 跟踪每个流体质 点的运动全过程及 描述运动过程中各质点、各物理量随 时间变化的规律。 通常以流体质点的初始坐标作为 区别不同的流体质点的标志。
15
拉格朗日法和欧拉法的比较
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
• 欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程 是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为 二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
16
第二节 流体运动的基本概念
17
一.定常流动和非定常流动
6
二、欧拉方法（空间点法）
欧拉法着眼于流动空间中的每个空间 点上，常用到控制体和控制面的概念。 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何 时刻物理量在场上的分布规律的流体运动 描述方法。
7
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来 表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立 的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量 (x,y,z)应是时间t的函数： x=x(t) y=y(t) z=z(t) 在欧拉变数中，真正独立的只有时间变量t。 欧拉法着眼于不同瞬时物理量在空间上的分布， 而不关心个别质点的运动历程，类似于在不同地点设 立气象站，在不同空间点上来观察流体的运动规律。
19
二.均匀流动和非均匀流动
流体在运动过程中，若所有物理 量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的 函数，则称此流动为均匀流动，反之为 非均匀流动。
( v ) b 0
v 0
20
三.一维、二维、三维流动
在设定的坐标系中，根据有关物理 量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐 标，流体运动可分为一维运动、二维运 动和三维运动。
8
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
vx vx ( x, y , z , t ) vx x t , y t , z t ,t vy vy ( x, y, z , t ) vy x t , y t , z t ,t vz vz ( x, y , z , t ) vz x t , y t , z t ,t v v ( x, y, z , t ) v x t , y t , z t ,t 及 p p ( x, y , z , t ) p x t , y t , z t ,t ( x, y, z , t ) x t , y t , z t ,t T T ( x, y , z , t ) T x t , y t , z t ,t x, y, z , t — 欧拉变数
9
流动空间中的流动诸参数均可表示成欧拉变数的函数， 因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这 一有力的数学工具。 欧拉法质点加速度表达式为：
dV a dt 在质点运动过程中, 坐标x, y, z是t的函数, dV 因此 应作为复合函数求导 : dt
a
d V V V dx V dy V dz dt t x dt y dt z dt
dx xt dt
dy y t dt
求解
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0 t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 e t 1
t
y C2 et t 1
消去t，得迹线方程：
x= -t-1 y= t-1
x+y = -2
29
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
30
五.流管、流束、过流断面和流量
（一）流管、微元流管、流束与总流
流管：在流场中取一非流线又不自交的闭合曲线c， 通过c上每一点作流线，这些流线组成的管状曲面 就称为流管。 微元流管：微小的封闭曲线c构成的流管称为微元 流管。 流束：流管内的全部流体。 总流：封闭曲线取在管道 内壁周线上，流束就是全 部流体，此时称为总流。 微元流束：极限近于一条 流线的流束称为微元流束。
26
• 根据流线的定义，
可以推断：除非流 速为零或无穷大处， 流线不能相交，也 不能转折。
• 在非恒定流情况下，流线
一般会随时间变化。在恒定 流情况下，流线不随时间变， 流体质点将沿着流线走，迹 线与流线重合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观 点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速 度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。 即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍 是完全不同的概念。
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
23
（二）流线
流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的 几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点 的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
V2 M3 M2 M1
24
V3
M4
V4
V1
从流线定义出发，可建立流线微分方程。
在流线上取微元弧矢量d s , 则d s V , 因此d s V 0, 写成坐标轴分量的形式为 : i V d s vx dx 即:
举例
解：
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t；
vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
由流线的微分方程：
dx dy dz vx vy vz
dx dy xt y t
积分
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0
(x+t)(-y+t) = C
流体运动过程中，若各空间点上 对应的物理量不随时间而变化，则称此 流动为定常流动，反之为非定常流动。
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在定常流动中，流场内物理量不随时间而 变化，仅是空间点的函数。
0 t V V ( x, y , z ) p p ( x, y , z )
( x, y , z )
14
对于任何矢量b和任何标量φ的表达式分别为：
db b ( V )b dt t d (V ) dt t 例如密度的随体导数为 : d (V )
dt t Vx Vy Vz t x y z
2
设t=t0时,流体质点的坐标值是（a, b, c）， 流体质点在每一瞬时t所占据的空间位置可 表示为： r=r(a, b, c, t) 在直角坐标系中三个分量为：
x=x(a,b,c,t)
y=y(a,b,c,t)
z=z(a,b,c,t) a, b, c, t —— 拉格朗日变数 r —— 流体质点的矢径
31
（二）过流断面、流量与断面平均流速
流量：单位时间内，流过某一控制面的流体的量。 分为体积流量和质量流量，通常多指体积流量。 单位：体积流量：m3/s，m3/h，l/min； 质量流量：kg/s，kg/h 控制面与流速方向垂直时流量的表达式： 微元流束： 平面控制面： 曲面控制面：
qv vdA
5
流体质点的密度ρ、压力p和温度T的 拉格朗日函数为：
( a , b, c , t )
p p ( a , b, c , t ) T T ( a , b, c , t )
在这些表达式中，拉格朗日变数（a,b,c,t) 是各自独立的，流体质点的初始坐标（a,b,c)与 时间 t 无关，时间 t 只影响质点的运动坐标、 速度和加速度，而不会改变质点的初始坐标。
A
dq v vdA
流量正负的规定： 流体经控制面流出控制体时，流量为正。 流体经控制面流入控制体时，流量为负。
32
qv vdA
A
过流断面：与流束或总流的流线相垂直的端面。
总流过流断面流速分布一般不均匀，故引入断面 平均流速的概念。罢工111111总流
3
流体质点的速度根据定义为：
r (a, b, c, t ) v t x(a, b, c, t ) vx t y (a, b, c, t ) vy t z (a, b, c, t ) vz t
4
流体质点的加速度根据定义为：
vx 2 x(a, b, c) ax t t 2 vy 2 y (a, b, c) ay t t 2 2 vz z (a, b, c) az 2 t t
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四、迹线与Biblioteka Baidu线
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(一)迹线
迹线是流体质点在运动过程中于流动空间所描绘出的曲线。 它的切线方向代表质点经过该点时的速度方向，是质点运 动规律的几何表示，是时间过程中形成的曲线。对应于拉 格朗日法。
dx v x ( x, y , z , t ) dt dy v y ( x, y.z.t ) dt dz v z ( x, y.z.t ) dt
11
加速度矢量式：
d V v v dx v dy v dz a dt t x dt y dt z dt
dV v ( V ) V dt t
i j k x y z
— 哈密顿（Hamilton ）算子
dN N N lim (V ) N dt t 0 t t 称为物理量N的质点导数(或随体导数) dN 全导数或随体导数 dt N 局部导数或时变导数 t
(V ) N 位变导数
如果流体质点处于静止状态，则不存在质点导数的 概念，这一概念专指运动流体质点而言。
V V V V V Vx Vy Vz (V )V t x y z t
10
在直角坐标系中：
vx vx vx dvx vx vx vy vz ax t x y z dt
dvy vy vy vy vy vx vy vz ay t x y z dt dvz vz vz vz vz ax vx vy vz dt t x y z
j vy dy
k vz 0 dz
dx dy dz vx ( x, y, z , t ) vy ( x, y, z , t ) vz ( x, y, z , t )
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线 方程。
25
流线性质：
1、流场定常时，流线形状不随时间而变化， 且流线与迹线重合。 2、流场非定常时，流线形状随时间而变化， 且流线与迹线不重合。 3、实际流场中，一般流线不能相交、不能突 然转折。因为同一瞬时，流场中各点速度是 唯一的。
t = 0 时过 M(-1,-1)：C = -1
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线： xy=1
28
举例
已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t； vy= -y+t；
vz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。 解：
由迹线的微分方程：
dx dy dz dt vx vy vz
12
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部 分组成： • ∂ V/ ∂ t项，是由于流场的非定常性引起的 加速度，称为时变加速度、局部加速度或 当地加速度；
(v • )v项，是由于流场的不均匀性而引起的
速度变化，称为位变加速度或对流加速度。
13
运动中的流体质点所具有的物理量N (例如v, p, , T等) 对时间的变化率 :
第一节 研究流体运动的两种方法
描述流体运动是从着眼于研究流体质点 的运动，还是着眼于研究流动空间点上流动 参数的变化出发，可分为两种方法：拉格朗 日（Lagrange）方法和欧拉（Euler）方法。
1
一、拉格朗日方法（随体法）
拉格朗日方法着眼于流体质点， 跟踪每个流体质 点的运动全过程及 描述运动过程中各质点、各物理量随 时间变化的规律。 通常以流体质点的初始坐标作为 区别不同的流体质点的标志。
15
拉格朗日法和欧拉法的比较
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
• 欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程 是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为 二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
16
第二节 流体运动的基本概念
17
一.定常流动和非定常流动
6
二、欧拉方法（空间点法）
欧拉法着眼于流动空间中的每个空间 点上，常用到控制体和控制面的概念。 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何 时刻物理量在场上的分布规律的流体运动 描述方法。
7
欧拉法中用流体质点的空间坐标(x,y,z)和时间t来 表达流场中的流体运动规律。 (x,y,z,t）称为欧拉变数，欧拉变数不是各自独立 的，因为流体质点在流场中的空间位置(x,y,z)都与时 间t有关，不同时间，每个流体质点应该有不同的空间 坐标，故对任何一个流体质点来说，其位置变量 (x,y,z)应是时间t的函数： x=x(t) y=y(t) z=z(t) 在欧拉变数中，真正独立的只有时间变量t。 欧拉法着眼于不同瞬时物理量在空间上的分布， 而不关心个别质点的运动历程，类似于在不同地点设 立气象站，在不同空间点上来观察流体的运动规律。
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二.均匀流动和非均匀流动
流体在运动过程中，若所有物理 量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的 函数，则称此流动为均匀流动，反之为 非均匀流动。
( v ) b 0
v 0
20
三.一维、二维、三维流动
在设定的坐标系中，根据有关物理 量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐 标，流体运动可分为一维运动、二维运 动和三维运动。
8
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
vx vx ( x, y , z , t ) vx x t , y t , z t ,t vy vy ( x, y, z , t ) vy x t , y t , z t ,t vz vz ( x, y , z , t ) vz x t , y t , z t ,t v v ( x, y, z , t ) v x t , y t , z t ,t 及 p p ( x, y , z , t ) p x t , y t , z t ,t ( x, y, z , t ) x t , y t , z t ,t T T ( x, y , z , t ) T x t , y t , z t ,t x, y, z , t — 欧拉变数
9
流动空间中的流动诸参数均可表示成欧拉变数的函数， 因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这 一有力的数学工具。 欧拉法质点加速度表达式为：
dV a dt 在质点运动过程中, 坐标x, y, z是t的函数, dV 因此 应作为复合函数求导 : dt
a
d V V V dx V dy V dz dt t x dt y dt z dt
dx xt dt
dy y t dt
求解
vx=x+t；vy=-y+t；vz=0 t = 0 时过 M(-1,-1)：
C1 = C2 = 0
x C1 e t 1
t
y C2 et t 1
消去t，得迹线方程：
x= -t-1 y= t-1
x+y = -2
29
y
迹线
o
M(-1,-1)
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
30
五.流管、流束、过流断面和流量
（一）流管、微元流管、流束与总流
流管：在流场中取一非流线又不自交的闭合曲线c， 通过c上每一点作流线，这些流线组成的管状曲面 就称为流管。 微元流管：微小的封闭曲线c构成的流管称为微元 流管。 流束：流管内的全部流体。 总流：封闭曲线取在管道 内壁周线上，流束就是全 部流体，此时称为总流。 微元流束：极限近于一条 流线的流束称为微元流束。
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• 根据流线的定义，
可以推断：除非流 速为零或无穷大处， 流线不能相交，也 不能转折。
• 在非恒定流情况下，流线
一般会随时间变化。在恒定 流情况下，流线不随时间变， 流体质点将沿着流线走，迹 线与流线重合。
• 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流
体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观 点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速 度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。 即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍 是完全不同的概念。
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
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（二）流线
流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的 几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点 的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
V2 M3 M2 M1
24
V3
M4
V4
V1
从流线定义出发，可建立流线微分方程。
在流线上取微元弧矢量d s , 则d s V , 因此d s V 0, 写成坐标轴分量的形式为 : i V d s vx dx 即: