二叉搜索树
搜索树
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高度不平衡的二叉搜索树 高度平衡的二叉搜索树
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平衡
当确定搜索树的高度总是O(logn)时， 能够保证每个搜索树操作所占用的时 间为O(logn)。 高度为O(logn)的树称为平衡树 （balanced tree）。
根据AVL树的定义，任一结点的平衡因子 只能取 -1，0和 1。 如果一个结点的平衡因子的绝对值大于1， 则这棵二叉搜索树就失去了平衡，不再 是AVL树。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就 成为 AVL树。如果它有 n 个结点，其高 度可保持在O(log2n)，平均搜索长度也可 保持在O(log2n)。
二叉搜索树的插入
插入新结点88 每次结点的插入，都要从根结点出发搜索插 入位置，然后把新结点作为叶结点插入。
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二叉搜索树的插入
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输入数据，建立二叉搜索树的过程
输入数据序列 { 53, 78, 65, 17, 87, 09, 81, 45, 23 }
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二叉搜索树的删除
如果p有两个非空子树。 只需将该元素替换为它的左子树中的 最大元素或右子树中的最小元素。
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249/10/201225二叉搜索树的删除
注意，必须确保右子树中的最小元素以及 左子树中的最大元素或者在没有子树的节 点中，或者在只有一个子树的节点中。 可以按下述方法来查找到左子树中的最大 元素：首先移动到子树的根，然后沿着各 节点的右孩子指针移动，直到右孩子指针 为0为止。 类似地，也可以找到右子树中的最小元素： 首先移动到子树的根，然后沿着各节点的 左孩子指针移动，直到左孩子指针为0为止。
二叉树的5种基本形态。 -回复
二叉树的5种基本形态。
-回复二叉树是计算机科学中常见的数据结构之一，它由节点和连接节点的边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
基于节点连接的不同方式，二叉树可以存在多种基本形态。
在本文中，我们将探讨二叉树的五种基本形态，并详细介绍它们的特点、应用场景以及如何构建和遍历。
一、满二叉树满二叉树是一种非常特殊的二叉树，每一层节点都达到了最大数量，而且所有的叶子节点都在同一层。
满二叉树的特点是每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
满二叉树中的节点数量可以通过公式2^n - 1来计算，其中n为树的高度。
满二叉树的构建通常是基于完全二叉树进行。
满二叉树的应用场景包括：数据索引结构、哈夫曼编码。
二、完全二叉树完全二叉树是一种叶子节点除了最后一层可以不满外，其余的层节点都达到了最大数量的二叉树。
与满二叉树不同的是，完全二叉树的叶子节点总是尽量靠左分布。
完全二叉树可以通过数组来表示，节点的索引与数组中的位置一一对应。
完全二叉树的应用场景包括：堆数据结构、哈夫曼编码、优先队列。
三、二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种有序的二叉树结构，其中左子树的所有节点值均小于根节点的值，右子树的所有节点值均大于根节点的值。
对于二叉搜索树的任意节点，左子树和右子树都是一棵二叉搜索树。
二叉搜索树的应用场景包括：快速搜索、有序数据存储、二叉排序树。
四、平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
通过保持树的平衡性，平衡二叉树可以提供更快的搜索和插入操作。
平衡二叉树的应用场景包括：数据库索引、动态变化的数据集。
五、二叉链表二叉链表是一种常见的二叉树实现方式，它使用节点对象保存值和左右子节点的引用。
每个节点对象都包含一个值和两个指针，分别指向左子节点和右子节点。
通过这样的方式，可以使用链表来存储和表示二叉树。
二叉链表的应用场景包括：树的遍历、树的操作。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。
对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。
根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。
由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。
1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。
对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。
由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。
1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。
而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。
1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。
满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。
1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。
对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。
2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。
2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。
2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。
2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。
AVL树自平衡的二叉搜索树
AVL树自平衡的二叉搜索树AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它是根据其发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 的姓氏首字母而得名。
AVL树解决了传统二叉搜索树由于插入或删除操作导致树结构不平衡而引发的性能问题。
1. 什么是二叉搜索树？二叉搜索树，又称二叉排序树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构。
在二叉搜索树中，每个节点都包含一个键值，并且节点的左子树中的键值小于节点的键值，右子树中的键值大于节点的键值。
2. 为什么需要自平衡？传统的二叉搜索树在执行插入或删除操作时，可能会导致树结构不平衡，使得树的高度远大于理想情况下的最小高度。
当树的高度增加后，查找、插入、删除等操作的时间复杂度也会增加，进而影响整体性能。
3. AVL树的自平衡特性AVL树通过保持树的平衡性来提高性能。
对于每一个节点，AVL 树通过计算其左右子树的高度差（平衡因子）来判断是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。
当平衡因子超过一定阈值时，进行相应的旋转操作来维持平衡。
4. AVL树的旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。
左旋操作将当前节点的右子树变为新的根节点，而右旋操作则恰恰相反。
通过旋转操作，AVL树可以在保持二叉搜索树性质的同时，实现树的自平衡。
5. AVL树的插入操作在进行插入操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到插入位置，并插入新的节点。
然后，从插入节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
6. AVL树的删除操作在进行删除操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到待删除的节点，并执行删除操作。
然后，从删除节点的父节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
7. AVL树的平衡性保证AVL树的自平衡操作保证了树的高度始终保持在理想情况下的最小高度的常数倍。
通过对平衡因子的检查并执行旋转操作，AVL树能够有效地保持树的平衡性，使得查找、插入、删除等操作能够在较快的时间内完成。
二叉查找树
二叉查找树（BST，Binary Search Tree），又名二叉搜索树或二叉检索树，是一颗满足如下条件的树：1、每个节点包含一个键值2、每个节点有最多两个孩子3、对于任意两个节点x和y，它们满足下述搜索性质:a、如果y在x的左子树里，则key[y] <= key[x]b、如果y在x的右子树里，则key[y] >= key[x]最优二叉查找树（Optimal BST，Optimal Binary Search Tree）最优二叉查找树是使查找各节点平均代价最低的二叉查找树。
具体来说就是：给定键值序列K = <k1, k2, . . . , kn>，k1 < k2 <.. <kn，其中键值ki,被查找的概率为pi，要求以这些键值构建一颗二叉查找树T，使得查找的期望代价最低（查找代价为检查的节点数）。
下面是对于查找期望代价的解释：对于键值ki, 如果其在构造的二叉查找树里的深度（离开树根的分支数）为depthT(ki)，则搜索该键值的代价= depthT(ki) +1（需要加上深度为0的树根节点）。
由于每个键值被查找的概率分别为pi，i=1,2,3…,n。
所以查找期望代价为：E[T的查找代价] = ∑i=1~n(depthT(ki) +1)*pi时间复杂度1、穷举穷举构造最优二叉查找树，其实就是这样的一个问题：给一个拥有n个数的已排序的节点，可以将其构造成多少种不同的BST（用来找到一个最优的二叉查找树）？设可以构造成T(n)个，那么枚举每一个元素作为根节点的情况，当第一个元素作为根节点时，其余n-1个构成右子树，无左子树，是n-1情况时的子问题，共T(n-1)种；当第二个元素作为根节点时，左子树有1个元素，右子树有n-2个元素，根据乘法原理共有T(1)T(n-2)种情况……依此类推得到：T(n)= (0)T(n-1)+T(1)T(n-2)+T(2)T(n-3)+ ......+T(n-2)T(1)+T(n-1)T(0)；此外，有T(0)=T(1)=1。
二叉搜索树定义
二叉搜索树定义二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它是一个二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，且小于其右子树中的任意节点的值。
BST的定义如下：1. 每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点；2. 若某节点的左子树不为空，则其左子树中的每个节点值都小于该节点的值；3. 若某节点的右子树不为空，则其右子树中的每个节点值都大于该节点的值；4. 没有重复节点的情况下，所有左子树的节点值都小于右子树的节点值。
下面我们来详细讨论BST的特性和示例。
BST的特性：1. 在BST中，对于任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它的值，右子树中的所有节点都大于它的值。
2. 由于BST是一个二叉树，因此对于每个节点，其左子树和右子树都是BST。
3. BST的中序遍历结果是一个递增的有序序列。
4. 对于BST的搜索、插入和删除操作，平均时间复杂度为O(logn)，其中n为树中节点的数量。
示例：下面是一个示例的BST：```5/ \3 7/ \ \2 4 9```在这个示例中，根节点的值为5，它的左子节点为3，右子节点为7。
左子节点的左子节点为2，右子节点为4。
右子节点的右子节点为9。
根据BST的定义，我们可以观察到该树的每个节点的值都符合左<根<右的规律。
对于这个BST，其中序遍历的结果为2, 3, 4, 5, 7, 9，它们正好是递增的有序序列。
BST的使用场景：BST常用于需要快速搜索、插入和删除操作的场景，比如在数据库中存储有序数据，或者在构建字典、索引等数据结构时都可以使用BST。
在红黑树和AVL树等平衡二叉搜索树中，也是以BST为基础进行的扩展和优化。
总结：二叉搜索树是一种常用的数据结构，其定义明确了每个节点与其子节点的大小关系。
在BST中，左子树的节点值都小于根节点的值，右子树的节点值都大于根节点的值。
BST的特性使得它非常适用于搜索、插入和删除等操作，同时其中序遍历结果是有序的。
二叉排序树
就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移 动结点，只需修改指针即可完成插入和删 除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)， 因此更有效。二分查找所涉及的有序表是 一个向量，若有插入和删除结点的操作， 则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当 有序表是静态查找表时，宜用向量作为其 存储结构，而采用二分查找实现其查找操 作；若有序表里动态查找表，则应选择二 叉排序树作为其存储结构。
if(q->lchild) //*q的左子树非空，找*q的左子 树的最右节点r. {for(q=q->lchild;q->rchild;q=q->rchild); q->rchild=p->rchild; } if(parent->lchild==p)parent->lchild=p>lchild; else parent->rchild=p->lchild; free(p)； /释放*p占用的空间 } //DelBSTNode
下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的： 45，24，55，12，37，53，60，28，40，70 下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的： 12，24，28，37，40，45，53，55，60，70
在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态 有关： ①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n 个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为 棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺 序查找相同，亦是(n+1)/2。 ②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形 态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树 相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。 ③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。 (3)二叉排序树和二分查找的比较 就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找 差不多。
二叉树算法应用
二叉树算法应用一、简介二叉树是一种常见的树形数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
二叉树算法是指在二叉树上进行各种操作和解决问题的算法。
二叉树算法广泛应用于计算机科学领域，如数据结构、图像处理、人工智能等。
本文将介绍二叉树算法的几个常见应用。
二、二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。
二叉搜索树的一个重要应用是实现快速的查找和插入操作。
通过比较节点的值，可以快速定位目标节点，并在O(log n)的时间复杂度内完成操作。
三、二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树；中序遍历先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树；后序遍历先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
二叉树的遍历可以用来输出树的结构、搜索树中的最大值和最小值等。
四、二叉树的深度和平衡二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径的节点个数。
二叉树的平衡是指左右子树的深度差不超过1。
平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的插入和删除操作可以在O(log n)的时间复杂度内完成。
平衡二叉树的一个常见应用是实现高效的查找、插入和删除操作，如AVL树和红黑树。
五、二叉树的序列化和反序列化二叉树的序列化是指将二叉树转化为字符串或数组的过程，可以用来存储和传输二叉树。
二叉树的反序列化是指将字符串或数组转化为二叉树的过程。
序列化和反序列化可以用来保存二叉树的状态、复制二叉树以及在分布式系统中传输二叉树等。
常见的序列化方式有前序遍历和层序遍历。
六、二叉树的重建和转换二叉树的重建是指根据前序遍历和中序遍历或后序遍历和中序遍历的结果，重新构建出原始二叉树。
二叉树的转换是指将二叉树转化为另一种形式的二叉树，如将二叉搜索树转化为有序的双向链表。
重建和转换可以用来解决二叉树的复制、恢复和转换等问题。
二叉树用途
二叉树用途二叉树是一种常用的数据结构，由节点和连接节点的边组成，其中每个节点最多有两个子节点，被称为左子节点和右子节点。
二叉树具有以下特点：1. 有层次结构：节点按照层次排列，每层从左到右。
2. 可以拥有零个、一个或两个子节点。
3. 二叉树的子树也是二叉树。
4. 深度为d的二叉树最多含有2^d-1个节点，其中d为二叉树的深度。
二叉树的用途非常广泛，下面将详细讨论几个主要的应用场景。
1. 搜索、排序和查找：二叉树可以用于快速搜索、排序和查找数据。
二叉搜索树是一种常用的二叉树类型，其中每个节点的值大于左子树的所有节点的值，小于右子树的所有节点的值。
通过二分查找算法，在二叉搜索树中可以快速定位目标值。
2. 堆：二叉堆是一种用于实现优先队列的数据结构。
它具有以下特点：任意节点的关键字值都小于（或大于）或等于其子节点的关键字值，根节点的关键字值最小（或最大）；并且堆是一颗完全二叉树。
二叉堆的插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，适用于一些需要高效的优先级操作的场景，例如任务调度。
3. 表达式树：二叉树可以用于存储和计算数学表达式。
表达式树是一种二叉树，其叶节点是操作数，内部节点是操作符。
通过遍历表达式树，我们可以通过递归的方式计算整个表达式的值。
4. 文件系统：二叉树可以用于组织和管理文件系统中的文件和文件夹。
每个节点代表一个文件或文件夹，左子节点代表文件夹下的子文件夹，右子节点代表同一层级下的其他文件或文件夹。
通过遍历二叉树，可以实现文件的查找、创建、删除等操作。
5. 数据压缩：哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，通过构建二叉树来实现。
在哈夫曼树中，出现频率较高的字符对应的节点位于树的较低层，而出现频率较低的字符对应的节点位于树的较高层。
通过对字符进行编码，并使用相对较短的编码表示高频字符，可以实现对数据的高效压缩和解压缩。
6. 平衡树：平衡树是一种特殊类型的二叉树，其左子树和右子树的高度差不超过1。
介绍二叉排序树的结构和特点
介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。
二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。
2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。
3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。
二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。
由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。
2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。
对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。
3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。
删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。
4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。
将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。
二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。
(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。
2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。
(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。
简述二叉树的五种形态
简述二叉树的五种形态二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
根据节点的分布情况，二叉树可以分为五种形态，分别是满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、搜索二叉树和线索二叉树。
一、满二叉树满二叉树是指除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点的二叉树。
也就是说，满二叉树的所有层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列。
满二叉树的节点数可以通过公式计算得到，假设树的高度为h，则节点数为2^h - 1。
满二叉树的特点是结构简单，查找速度快。
在满二叉树中，任意两个节点的路径长度都相同。
二、完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层之外，其他层都是满的，并且最后一层的叶子节点都靠左排列的二叉树。
完全二叉树的特点是节点数较少，结构相对简单。
完全二叉树通常用数组来表示，因为它的节点之间的关系可以通过数组的下标来表示。
在完全二叉树中，任意一个节点的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1。
三、平衡二叉树平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树。
平衡二叉树的特点是查找、插入和删除的时间复杂度都为O(logn)，其中n是节点的数量。
平衡二叉树的高度可以通过节点的平衡因子来计算，平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度。
平衡因子的取值范围为-1、0和1，当平衡因子的绝对值大于1时，需要通过旋转操作来调整树的平衡性。
四、搜索二叉树搜索二叉树，也称为二叉搜索树或排序二叉树，是一种特殊的二叉树。
它的特点是对于树中的任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它，右子树中的所有节点都大于它。
搜索二叉树的中序遍历结果是一个递增的有序序列。
搜索二叉树的特点是可以快速地查找某个节点，时间复杂度为O(logn)，其中n是节点的数量。
但是，如果搜索二叉树不平衡，即左子树或右子树过深，则会导致查找的时间复杂度退化为O(n)。
五、线索二叉树线索二叉树是对二叉树进行了优化的数据结构，它通过添加指向前驱和后继节点的线索，使得遍历操作更加高效。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
以下是关于二叉树的知识点总结。
1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。
二叉树可以为空。
2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。
中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。
后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。
3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。
它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。
它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。
4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。
最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。
在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。
二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。
5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。
判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。
5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。
二叉树存取数据的原则
二叉树是一种常见的数据结构，用于存储和组织数据。
以下是二叉树存取数据的一些基本原则：
1. 二叉搜索树原则（Binary Search Tree, BST）：如果你使用的是二叉搜索树，那么它满足以下条件：
-左子树上的节点的值都小于当前节点的值。
-右子树上的节点的值都大于当前节点的值。
这个特性使得在二叉搜索树中进行数据的存取操作更高效，因为你可以根据节点的值与目标值的比较结果来决定向左子树还是右子树搜索。
2. 存取操作的时间复杂度：对于一颗具有n个节点的二叉树，存取操作的平均时间复杂度为O(log n)。
这是因为在一个平衡的二叉树中，每次存取操作可以将搜索空间缩小一半。
3. 递归遍历：常用的二叉树遍历方法包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。
这些遍历方法可以帮助你按照特定顺序获取二叉树中的所有数据。
递归是实现这些遍历方法的一种常见方式。
-前序遍历：根节点-> 左子树-> 右子树
-中序遍历：左子树-> 根节点-> 右子树
-后序遍历：左子树-> 右子树-> 根节点
4. 层序遍历：层序遍历是一种广度优先的遍历方法，它按照树的层级顺序逐层遍历二叉树节点。
这种遍历方法可以帮助你按照层级顺序获取二叉树中的所有数据。
以上是二叉树存取数据的一些基本原则。
根据你的具体需求和使用场景，可能会有其他特定的存取规则和操作方式。
二叉式检索表
二叉搜索树介绍二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种基于二叉树的数据结构，它具有以下特性： 1. 左子树上的所有节点的值都小于根节点的值； 2. 右子树上的所有节点的值都大于根节点的值； 3. 左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树在计算机科学中有着广泛的应用，例如在查找、插入和删除操作的时候具有较高的效率。
二叉搜索树的实现二叉搜索树可以使用链式或数组的方式实现。
这里我们以链式方式为例，讨论二叉搜索树的基本操作：插入、查找和删除。
插入节点插入节点是将一个新节点添加到二叉搜索树中的过程。
具体实现方法如下： 1. 若二叉搜索树为空，则直接将新节点作为根节点； 2. 若新节点的值小于当前节点的值，则将新节点与当前节点的左子树进行比较，重复步骤1； 3. 若新节点的值大于当前节点的值，则将新节点与当前节点的右子树进行比较，重复步骤1。
查找节点查找节点是在二叉搜索树中寻找特定节点的过程。
具体实现方法如下： 1. 若当前节点为空，则目标节点不存在； 2. 若目标值等于当前节点的值，则找到目标节点；3. 若目标值小于当前节点的值，则继续在当前节点的左子树中查找，重复步骤1；4. 若目标值大于当前节点的值，则继续在当前节点的右子树中查找，重复步骤1。
删除节点删除节点是从二叉搜索树中移除指定节点的过程。
具体实现方法如下： 1. 若当前节点为空，则目标节点不存在； 2. 若目标值小于当前节点的值，则继续在当前节点的左子树中删除，重复步骤1； 3. 若目标值大于当前节点的值，则继续在当前节点的右子树中删除，重复步骤1； 4. 若目标值等于当前节点的值： - 若当前节点无左右子节点，则直接删除当前节点； - 若当前节点只有一个子节点，则用子节点替换当前节点； - 若当前节点有两个子节点，则找到当前节点的右子树中的最小值节点，将其值赋给当前节点，并在右子树中删除这个最小值节点。
二叉搜索树的优缺点二叉搜索树具有以下优点： - 查找、插入、删除节点的平均时间复杂度都是O(log n)，其中 n 是二叉搜索树中的节点数； - 适用于动态数据集，可以随时插入和删除节点。
二叉树到b+树的演变过程及原因
二叉树到b+树的演变过程及原因一、简介二叉树和B+树都是数据结构中常用的树形结构，用于存储数据并提供高效的数据操作。
在数据库中，B+树被广泛应用于索引结构。
本文将详细介绍二叉树到B+树的演变过程及原因。
二、二叉树二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树具有以下特点：1.每个节点最多有两个子节点；2.左子节点小于或等于父节点，右子节点大于父节点；3.没有键值相等的节点。
二叉树作为一种基本的数据结构，在很多应用中得到广泛的应用，比如二叉搜索树、平衡二叉树等。
但是，二叉树也存在一些不足之处，如查找效率低下、存储冗余等问题。
三、B+树B+树是一种多叉树，也是一种平衡搜索树。
相对于二叉树，B+树具有以下特点：1.节点可以有更多的子节点；2.内部节点不存储数据，只存储索引；3.叶子节点存储数据，并使用指针连接起来；4.叶子节点按照顺序排列，可以快速地进行区间查询。
B+树相比于二叉树具有更高的查找效率、更节约存储空间等优点。
因此，在数据库中，B+树被广泛应用于索引结构。
四、二叉树到B+树的演变过程在了解了二叉树和B+树的特点后，我们来看一下二叉树到B+树的演变过程：1.二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它满足以下条件：1)对于任意节点，左子树中的节点值都小于该节点值；2)对于任意节点，右子树中的节点值都大于该节点值；3)左、右子树也分别满足以上两个条件。
二叉搜索树是一种有序的树形结构，可以实现快速的查找操作。
然而，当数据量很大时，二叉搜索树的高度可能会很高，导致查询效率低下。
2.平衡二叉树为了解决二叉搜索树的高度过高的问题，提高查询效率，出现了平衡二叉树。
平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
常见的平衡二叉树有红黑树、AVL树等。
平衡二叉树通过自动保持树的平衡性，使树的高度保持在一个较小的范围内，从而提高了查询的效率。
然而，平衡二叉树的节点中存储的只有键值，没有存储数据本身，这限制了平衡二叉树的存储能力。
平衡二叉树算法
平衡二叉树算法
平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树（BST），它通过限制每个节点的左右子树高度差不超过1来确保查找、插入和删除等操作具有良好的性能，时间复杂度接近O(log n)。
以下简要介绍其主要算法：
1. 构造：
- 初始化时可能为空树。
- 插入新节点时，需保持平衡性，若插入后破坏了平衡条件（即任意节点的左子树和右子树的高度差大于1），则需要进行旋转操作重新平衡树。
2. 旋转操作：
- 单旋转：包括左旋（LL旋转）和右旋（RR旋转），用于解决单边过高问题。
- LL旋转：当某个节点的左孩子与其左孩子的右孩子相比过高时进行。
- RR旋转：当某个节点的右孩子与其右孩子的左孩子相比过高时进行。
- 双旋转：包括LR旋转（先左旋后右旋）和RL旋转（先右旋后左旋），用于解决两边交替过高的情况。
3. 插入和删除后的调整：
- 在插入或删除节点导致树失去平衡时，从受影响节点向上回溯至根节点，沿途检查并更新节点的平衡因子，并在必要时执行相应的旋转操作以恢复平衡。
4. AVL树：
- 最早提出且广泛应用的平衡二叉搜索树类型是AVL树，它严格要求所有节点的平衡因子绝对值不大于1。
5. 其他实现：
- 红黑树也是一种平衡二叉搜索树，它的平衡条件相对宽松，允许任何路径的最大黑色高度相同，通过颜色标记和旋转/变色操作维护平衡。
总结来说，平衡二叉树算法的核心在于如何在保证二叉搜索树性质的基础上，通过特定规则的旋转操作实时维护树的平衡状态，从而保证高效的查询和修改性能。
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19 //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j
首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]……
接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]……
53 {
54 cout << e[i][j] << " ";
55 }
56 cout << endl;
57 }
1，问题描述：给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来标示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d0<d1<……<dn}。其中d0表示搜索元素小于k1的失败结果，dn表示搜索元素大于kn的失败情况。di（0<i<n）表示搜索节点在ki和k(i+1)之间时的失败情况。对于应di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。
31 if(t<e[i][j])
32 {
33 e[i][j]= t;
……
最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。
20 for(l = 1;l<=n;l++)
21 {
22 for(i = 1;i<=n-l+1;i++)
w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j
实现代码如下：
view plaincopy to clipboardprint?
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 #define MAXNUM 100
34 root[i][j] = r;
35 }
36 }
37
38 }
步骤三：计算最优二叉树的期望代价
e[i,j]=
q(i-1) //如果j=i-1
min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j
w[i,j] =
q(i-1) 如果j=i-1
23 {
24 j = i+l-1;
25 e[i][j] = MAX;
26 w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j];
步骤二：一个递归解。
定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。
于是：
当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。
当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。
58 }
27 for(int r = i;r<=j;r++)
28 {
29 double t = 0;
30 t = e[i][r-1]+e[r+1][j] + w[i][j];
w[i,j]=
pl // 对每个l=i~j
+ql //对每个l=i-1~j
于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];
13 for(i = 1;i<=n+1;i++)
14 {
15 e[i][i-1] = q[i-1];
16 w[i][i-1] = q[i-1];
17 }
一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。
现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。
47
48 optimal_bst(e,root,w,5);
49
50 for(int i =1;i<=6;i++)
51 {
52 for(int j = 0;j<=5;j++)
2，问题分析：
在二叉树中T内搜索一次的期望代价为：
E[T]=
(depth(ki)+1)*pi //对每个i=1~n，搜索成功情况
+(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况
3，问题求解：动态规划
步骤一：寻找最优子结构。
5 #define MAX 65536
6 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1<k2<k3<k4<k5
7 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20};
8 double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10};
9 void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n)
10 {
11 int i =0,j=0;
12 //针对左或右孩子为空树情况初始化
39 }
40
41 }
42 int main()
43 {
44 double e[MAXNUM][MAXNUM];
45 int root[MAXNUM][MAXNUM];
46 double w[MAXNUM][MAXNUM];