中考数学命题人说题

浅析中考数学题，践行数学核心素养

恩施州清江外国语学校刘玉兰

中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。恩施及周边县市中考压轴题均是函数和几何的综合应用类型题，这类题很好的将函数与平面直角坐标系、动态几何结合在一起，对知识的考查较全面，对学生的数学知识的灵活运用考查性很强，难度较大.这类题设计优美，新颖独特，灵活多变，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。

一、原题呈现

如图，已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B 出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

二、背景出处

本题选自“2016年湖北随州中考数学”第25题。本题主要考查学生对二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，相似三角形，图形中的动点问题，最短路径问题和三角函数等的综合应用.

已知条件：

含待定系数的抛物线解析式和直线解析式，第（1）问中告诉了D点的横坐标；第（2）问中确定了P点在第三象限的抛物线上；第（3）问是在（1）的条件下可以确定点D的坐标以及点E的横纵坐标关系。

隐含条件：

由抛物线的两点式可确定A（-3，0），B（1，0），C（0，-3a）。

第（1）问中点D在直线AD上，所以点D 的坐标满足直线的解析式；第（2）问中P 点的横坐标小于-3且∠BAP>90°；第（3）问中明确了是在（1）的条件下，所以（1）中

的结论可以直接作为已知条件，也就确定了抛物线的解析式，求最短时间转化为最短路径问题。

重难点：

二次函数两点式与图像交点坐标关系，相似比的应用，最短路径的思想确定动点位置。

数值“

33

2”的正确应用。

易错点：

解第（2）问时易将第（1）的结论拿来直接用；对“以A、B、P为顶点的三角形与△ABC 相似”理解片面化，题意并非△ABP~△ABC。因此要考虑全面，加入隐含条件∠BAP>90°，则可分为△BPA△△ABC和△PBA△△ABC两种情况进行讨论。

三、解题策略

第（1）问根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D 的坐标，求出抛物线的解析式；

第（2）问作PH△x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA△△ABC和△PBA△△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；

第（3）问作DM△x轴交抛物线于M，作DN△x轴于N，作EF△DM于F，根据正切、正弦的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．

四、解题过程

解：（1）△y=a（x+3）（x﹣1），

△点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），

△直线y=﹣x+b经过点A，

△b=﹣3，

△y=﹣x﹣3，

当x=2时，y=﹣5，

则点D的坐标为（2，﹣5），

△点D在抛物线上，

△a（2+3）（2﹣1）=﹣5，

解得，a=﹣，

则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；

（2）如图，作PH△x轴于H，

设点P的坐标为（m，n），

当△BPA△△ABC时，△BAC=△PBA，

△tan△BAC=tan△PBA，即=，

△=，即n=﹣a（m﹣1），

△，

解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣4时，n=5a，

△△BPA△△ABC，

△=，即AB2=AC•PB，

△42=•，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则n=5a=﹣，

△点P的坐标为（﹣4，﹣）；

当△PBA△△ABC时，△CBA=△PBA，

△tan△CBA=tan△PBA，即=，

△=，即n=﹣3a（m﹣1），

△，

解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），

当m=﹣6时，n=21a，

△△PBA△△ABC，

△=，即AB2=BC•PB，

△42=•，

解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，

则点P的坐标为（﹣6，﹣），

综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；

（3）如图，作DM△x轴交抛物线于M，作DN△x轴于N，作EF△DM于F，则tan△DAN===，

△△DAN=60°，

△△EDF=60°，

△DE==EF，

△Q的运动时间t=+=BE+EF，

△当BE和EF共线时，t最小，

则BE△DM，y=﹣4．

五、引申拓展

（2016年湖北黄冈中考数学模拟B卷第24题）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在直线BC的下方的抛物线上有一动点M，其横坐标为m，△MBC的面积为S，求S 关于m的函数关系式，并求S的最大值及此时点M的坐标；

（4）平行于BC的动直线分别交△ABC的边AC、AB与点D、E，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，设DE=x，△FDE与△ABC重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵抛物线的对称轴为直线x=2，

∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（3，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵抛物线经过点B（0，3），

∴3a=3，

解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）如图1，设Q点的坐标为（2，e），对称轴x=2交x轴于点T，过点B作BR垂直于直线x=2于点R．

在Rt△AQT中，AQ2=A T2+QT2=1+e2，

在Rt△BQR中，BQ2=BR2+RQ2=4+（3﹣e）2，

∵AQ=BQ，

∴1+e2=4+（3﹣e）2，

解得：e=2，