高等数学第四章不定讲义积分习题课

x 令u x 2 ，则
dF(x2)dF(u) F'(u)du sin u 2 xdx 2 sin x 2 dx
u
x
【例2】 求不定积分 f (2x)dx
解： 利用不定积分的性质 f(x)dxf(x)C，可知
f(2x)dx12f(2x)d(2x)
1 2
f
(2x)
C
【例3】 求不定积分 (32x)5dx
xx2dx2
dx xx2
1 (12x)
3
2[
xx2dx
dx] 1(x1)2
42
1 d(xx2) 3
dx
2 xx2 2
d(x1) 2
(1)2(x1)2
2
2
xx23arcsin(2x1)C 2
【例8】 求不定积分
I
1 1 ex dx
分析：由于被积函数
f
(
x)
1
1 e
x
，不能直接利用
基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数
I1exd xex1 d x ex1
ln(ex1)C
解法3：令 t e x ,则 x ln t, dt exdx, 于是
1
1
1
1
I1exdxt(1t)dt (1t)dt t dt
1t
1ex
ln(1t)lntCln t
Cln ex
C
【例9】 求不定积分
dx
(x 0)
x2 1 x2
解法1：(倒代换）设 x 1 t
(t 0),
则
dx
1 t2
dt
则
dx
t
dt
x2 1x2
1t2
t dt1t2C 1t2
1 x2
C
x
解法2：(三角代换)设 xtant (0t), 则 dxsec2tdt
2
dx
sec2t
sectdt
x2 1x2tan2tsectdt tan2t
cost
f(x)dxF(x)C
2．不定积分的性质 (1) 线性性质：
[ k 1 f ( x ) k 2 g ( x ) ] d x k 1f ( x ) d x k 2g ( x ) d x
(2) 微分与积分运算：
ddx f(x)dx f(x);
df(x)dxf(x) dx;
ddx[F(x)]dxF(x)C; dF(x)dxF(x)C
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。
三、典型例题
【例1】 设F ( x ) 是 s i n x 的原函数， 求d F ( x ) 、d F ( x 2 )
x
解： 由于F ( x ) 是 s i n x 的原函数，故
x dF(x)F(x)dxsinxdx
二、基本计算方法
1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）： 设 F(u)f(u)，则
f( (x )) (x )d x f( (x ))d (x )F((x))C
3．第二类换元法（变量置换法）：
f(x)d x[f((t))(t)d t] 1
x2 (x2 1) x2(x2 1) dx
1
1
x21dxx2 dx
arctanx 1 C x
x
【例5】 求不定积分
dx
x x2 1
分析：一般情况下首先分母要进行有理化，
xx(x2(xx2211))x2x x21然后利用凑微分法。
解：
x
x(x x21)
dx x x21
x2(x21) dx
x2dx x x21dx1x31 x21d(x21) 32
高等数学第四章不定积分习题课
精品jin
一、不定积分的基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念 (1)原函数的定义：在区间[ a , b ] 上，若F(x)f(x)
则称F ( x ) 是 f ( x ) 在[ a , b ] 上原函数。
(2)不定积分的定义：
设F ( x ) 为 f ( x ) 一个原函数，则
d(sint) 1
1x2
sin2t dt
sin2t
C sint
x
C
【例10】 求不定积分 xtan2 xdx
解： xtan2 xdx x(sec2x1)dx
1x31(x21)32 C 33
【例6】 求不定积分
x
1 dx 1 ln x
分析：此题属于
f (ln x)dx x
型，故凑
dx d (ln x) x
解： x1 1lnxdx
1 d(lnx)
1lnx
1 d(1lnx)
1lnx
2 1lnxC
1 x
【例7】 求不定积分
dx
x x2
解：
1x
1 (12x)3
t (x)
注意：式中 x (t) 必须单调可导，对t作完积分后,
要用反函数 t 1( x) 回代。
第二类换元法：
三角代换 倒代换 简单无理函数代换
4．分部积分法：
uvdxuvuvdx 或 udxuvvdx
5．有理函数的积分法：
积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使 之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，使 之 变为一次分式和二次分式的代数和。
解： (32x)5dx 1 (32x)5d(32x) 2 1 (32x)6 C 12
【例4】 求不定积分
2x2 1 x2 ( x2 1) dx
分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微 分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，
然后可利用基本公式。
解：
2x2 1
x2(x2
dx 1)
6．万能公式法：
如果被积函数是三角函数有理式 f(x)R (sinx,cosx)
则可采用万能公式。
令u tan x 2
2 则 x2arctanu dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2 u1 u 2 2 R (sin x ,c o sx )d xR (1 u 2,1 u 2)1 u 2d u
1
ex
1ex ex(1ex )
所以
1
ex
I 1exdx ex(1ex)dx
ex
1 (1
ex
)
d(ex
)
1 (ex
ex11)d(ex)
e1xd(ex)
d(ex1) ex1
lnexln(ex1)Clnex e x1C
解法2：因为
1 1ex
ex
1 (ex
1)
ex ex
1
所以
1
ex
d(Biblioteka Baidux1 )
1
ex
进行代数恒等变形为： 1
ex
ex(1ex )
或
1 1ex
ex(e1x1)eexx1，再想到凑微分：exdxdex
或 exdxd(ex1)，然后进行计算。 另外，由于
1 f (x) 1 ex
中含有
1
e x ，不能直接计算，可以考虑
换元 t e x 或 t 1ex，然后再进行计算。
解法1：因为