环境流体力学第二章分子扩散

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流体的分子扩散与黏性

流体的分子扩散与黏性

流体的分子扩散与黏性流体是一种特殊的物质状态,具有流动性和变形性。

流体的分子扩散和黏性是流体性质的重要特征。

本文将介绍流体的分子扩散和黏性的基本原理,讨论它们在实际应用中的重要性,以及与其他相关概念的关系。

一、流体分子扩散的原理流体分子扩散指的是流体微粒或分子自高浓度区域向低浓度区域的传播和混合过程。

其原理主要涉及分子之间的热运动和碰撞。

1. 热运动:所有物质中的分子都具有热运动,其速度和方向是随机的。

热运动使得流体分子能够自由移动并扩散到周围的空间。

2. 碰撞:流体分子之间会发生弹性碰撞,这些碰撞导致分子之间的动量和能量的交换。

一段时间后,流体分子的速度和方向在空间中变得更加分散,即分子扩散。

二、流体黏性的内涵流体黏性是指流体的内部摩擦阻力,即流体内部不同层之间的相对滑移。

黏性取决于流体分子间的相互作用力和流体分子的运动状态。

1. 相互作用力:流体分子之间存在着各种分子间力,如范德华力、静电力等。

这些力使得流体分子在相互作用下产生内部摩擦。

2. 运动状态:流体分子的运动状态也影响流体的黏性。

分子运动越激烈,流体越黏稠。

三、流体黏性与分子扩散的联系流体的黏性与分子扩散紧密相关,两者之间存在一定的联系。

1. 黏性与分子扩散速率:流体黏性越大,分子扩散速率越慢。

黏性大的流体内部分子间相互作用力较强,分子扩散受到阻碍。

2. 黏性与温度的关系:温度升高会使流体黏性减小,分子扩散速率增大。

温度升高使得流体分子运动更加剧烈,减小了流体分子间相互作用力和内部摩擦。

四、流体扩散和黏性在实际应用中的重要性流体的分子扩散和黏性在科学研究和工程应用中具有重要的意义。

1. 传质过程:流体分子扩散是物质传输和混合的基础。

例如,在化学反应和生物过程中,流体分子的扩散决定了物质的相互转化和反应速率。

2. 润滑性能:流体的黏性决定了其润滑特性。

在机械设备中,良好的润滑可以减少能量损耗和摩擦,提高设备的使用寿命。

3. 流体力学:流体黏性是流体力学中一个重要的参数,对于理解和计算流体流动有着重要的影响。

环境水力学ch2-1

环境水力学ch2-1

t=0
扩散质浓度分布
C
t1
t2>t1
O
X
O
X
讨论:

M c( x, t ) e S 4Dt
x2 4 Dt
当t0,x0,取极限可得:c=+∞,说明在初 始时刻,污染源投放点的浓度为+∞。
当t0,x≠0处,c=0,说明解满足初始条件。 扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函 数。
环境水力学
第二章 分子扩散
第二章 分子扩散
第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解
第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解
第四节 随流扩散
第一节 分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象?扩散遵循什么定律?
1、扩散现象
扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均
化的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规 则运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称 为分子扩散,它是物质质量输移的方式之一。
直角坐标系中,分子扩散的费克定律表示为:
c qx D x
矢量表示: q Dc i j k 为哈密尔顿算子 x y z
c q y D y c qz D z
由于物质扩散方 向与浓度梯度增加的 方向相反,加负号是 为让污染物的质量通 量始终为正。
2
对于保守物质,任何时刻分布在扩散空间内的物质总 质量保持不变,即



c( x, t )dx M
代入可得:
x2 4 Dt
A0 1
c( x, t )
M e 4Dt
瞬时平面源一维扩散方程解析解
c( x, t ) M 4Dt
x2 e 4 Dt

2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散

2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
令:ห้องสมุดไป่ตู้
uiC
Eij
C x
j
式中,Eij 称为紊动扩散系数张量,Eij 是个二阶张量, 相对于紊动扩散的主轴来讲,当 i j 时,Eij 0 ,只剩 下当i j 时的三个紊动扩散系数。
uiC
Eij
C x
j
于是在直角坐标下,我们可以得到:
uxC
Ex
C x
uyC
Ey
C y
uzC
Ez
C z
)
d
(2-96)
可以证明,当 时
0
exp
(
2
12 2
)d
e21
2
(2-97)
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为:
C(x, y, z) m exp[ u (r x)]
4 Dr
2D
(2-98)
在源下游较远的区域,(2-89)式中r值可以下列近似 关系代替:
r
x2
y2
z2
(1
y2 x2 2x2 )x
C(x, y)
m
exp( y2u )
u 4 D x u
4Dx
(2-92)
第一章 迁移扩散理论
一、分子扩散 二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉(Euler)法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中,就其分 析方法而言,实质上就是采用的欧拉法,即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化, 从“场”的角度来分析问题,从而得出微分方程。
C t
C t
ui
C xi
ui
C xi
ui
C xi
uiC xi
D
2C xixi

流体力学 扩散理论讲解

流体力学    扩散理论讲解

4.3分子扩散的随机游动分析
自由程:一个分子在两次碰撞之间的运动距离; 假设分子的自由程为一固定值l,其运动平行于x1方向; 每个分子沿正x1方向运动和沿负x1方向运动的概率相等; 出现正号的次数为p,出现负号的次数为q;
p+q=N,p-q=S, p=(N+S)/2=N(1+S/N)/2,q=(N+S)/2=N(1+S/N)/2 经过N次运动,分子向前运动的距离为Sl,这种情况的概率: p=[N!/(p!q!)]/2N:
步在x1与x1+δx1的范围的机会为(1/2)(δx1/l),则:
P [
l exp( x12 )] x1
Dm t
4Dmt 2l 2
1
Dm t
exp(
x12 4Dm
t
)x1
分子沿x1作随机运动其概率密度(δP/δx1) 符合正态分布
标准差: 2Dmt
x12dP
方差: x12
0
2Dmt
dP
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题:排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础:扩散与输移理论。 传输过程:流体中含有物质,在流场内某处转移至另一处的过程。 , 扩散:流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输:流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散:剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
x1dP
平均值: x1
0
2 Dmt
dP
0
Dm
x12 2t
0
6
随机游动分析与从费克扩散理论的结果基本一致。
4.4移流(层流)扩散方程 流动流体除了分子扩散还有随流传输

分子扩散、层流扩散

分子扩散、层流扩散
环境科学与工程专业研究生课程
【扩散理论】
环 境 流 体 力 学
分子扩散、层流扩散
授课教师:吴 巍 2013年9月10日
环境科学与工程专业研究生课程


离散(弥散) 紊流扩散
紊流时,流体微 团以时均流速运 行,而以脉动流 速扩散,即由于 涡流和脉动运动, 使扩散大为加快。 剪切流动中,由 于时均流速分布 的不均匀,引起 含有物质散开的 现象。
环境科学与工程专业研究生课程
层流扩散
层流中,dt时段内由于浓度c的变化,控制 体内扩散质的增加量:
c dx1dx2 dx3dt t
分子扩散
层流扩散
x1方向:
c Dm dx1dx2 dx3 dt x1 x1
c Dm dx1dx2 dx3 dt x2 x2
环境科学与工程专业研究生课程
分子扩散
2 分子扩散方程
流出 A 流入 x3 dx1 B′ D′ C′ dx2 流出 A′
x2方向:
流入
Qdx1dx3dt Dm
c dx1dx3dt x2
流出
Q Q dx2 dx1dx3dt x2 c c Dm Dm dx2 dx1dx3dt x2 x2 x2
A
dx1 B′
流出 A′ ′ dx3 D′ 流出
x3
流速分布均匀的层流
D C D x2 流入 x1 C′ 流入
dx2
流入 分子扩散 层流扩散 流出
cdx1dx2 dx3 cu1dx2 dx3dt
cu1 cu1 dx1 dx2 dx3d c Dm dx1dx2 dx3 dt x3 x3

环境水力学ch2-5

环境水力学ch2-5

1、层流中的瞬时源
在动水环境中,分别讨论:
1)、三维扩散 2)、二维扩散 3)、一维扩散
1)、三维扩散
不可压缩流体三维层流随流扩散方程
c c c c 2c 2c 2c u v w D( 2 2 2 ) t x y z x y z
应用条件: 一维非离散(nondispersion)随流条件:u =常 数,v=w=0
q y vc
qz wc
式中: u,v,w为流速的三个分量; qx,qy,qz为对应的 质量通量;c为污染物的浓度,其量纲为[ML-3]。
随流分子扩散的质量通量
随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场,
这里流速场为:

质量通量为:
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t ) c c ( x, y , z , t )
lim 2
c(r , t ) 0
r x2 y 2 z 2
求解方法:
1.
2.
变量代换
叠加法
z
从物理意义上,可分解 为随流输移和分子扩散。
y
P(x,y,z)
x
u
ut

O1
一般解
m ( x ut) 2 y 2 z 2 c( x, y, z, t ) exp{ } 32 (4Dt) 4Dt
式中:c 为时均浓度(mg/L); m 为污染源的质量(g)。
2)、二维扩散
应用条件:

均匀流场: w=0,
u为垂线上的平均流速
u u 0 x z
定解问题:
c c 2c 2c u D[ 2 2 ] t x x z

流体力学中的分子扩散现象探究

流体力学中的分子扩散现象探究

流体力学中的分子扩散现象探究一、引言流体力学是研究流体力学性质和行为的科学领域。

在流体力学中,分子扩散现象是一种重要的现象,涉及物质从高浓度区域到低浓度区域的传输过程。

本文将探究流体力学中的分子扩散现象,包括分子扩散的基本概念、扩散的数学描述、扩散的影响因素以及扩散在实际应用中的重要性。

二、分子扩散的基本概念分子扩散是指物质由高浓度区域向低浓度区域的自发传播过程。

在分子扩散中,分子通过碰撞和混合实现从高能态到低能态的转变。

分子扩散的速度受到温度、浓度差、分子大小和分子间相互作用力的影响。

三、分子扩散的数学描述分子扩散的数学描述可以使用菲克定律。

菲克定律分为菲克第一定律和菲克第二定律。

菲克第一定律描述了扩散物质的浓度变化率与扩散通量之间的关系。

菲克第二定律描述了扩散物质浓度的空间分布与时间变化之间的关系。

3.1 菲克第一定律菲克第一定律可以表示为:$$ J = -D \\frac{\\partial c}{\\partial x} $$其中,J表示扩散通量,D表示扩散系数,c表示物质的浓度,x表示空间坐标。

3.2 菲克第二定律菲克第二定律可以表示为:$$ \\frac{\\partial c}{\\partial t} = D \\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2} $$其中,t表示时间,$\\frac{\\partial c}{\\partial t}$表示浓度的时间变化率,$\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2}$表示浓度的空间变化率。

四、分子扩散的影响因素分子扩散的速率受到多个因素的影响。

4.1 温度温度是影响分子扩散速率的重要因素。

温度升高会增加分子的平均能量和运动速度,从而加快分子扩散的速率。

4.2 浓度差浓度差是分子扩散速率的驱动力。

浓度差越大,扩散速率越快。

4.3 分子大小分子的大小对分子扩散速率有影响。

较小的分子通常更容易扩散。

环境水力学ch2-2

环境水力学ch2-2

其中:
c1( x, t )

c0 2
[1 erf
(
xh 4Dt
)]
c2 (x,t)

c0 [1 erf 2
(
xh 4Dt
)]
所以: c(x,t) c0 [erf ( x h ) erf ( x h )]
2
4Dt
4Dt
讨论:
c(x,t) c0 [erf ( x h ) erf ( x h )]
c(x,t) c0 [erf ( x h ) erf ( x h )]
2
4Dt
4Dt
C C0[1 erf [
x ]] 4Dt
2、三维扩散时间连续源
如有一条排污管道,恒定地向一巨 大水体排出污染物,下面来讨论这个 排污口在三维扩散条件下浓度的时空 分布规律。
以污染源为原点,建立坐标系
设排污管的排污口为空间
坐标原点O,空间任一点P
的坐标P(x,y,z)。
P点至原点O的距离是r,管 道开始排污的时刻为t=0,污
y
P(x,y,z)
r x2 y2 z2
染物排放速率为m(g/s).
O
x
zm
微分方程为:
c t

D(
2c x2

2c y 2

2c z 2
)
式中:D为分子扩散系数,m=常数。
则~f ( p)
f (t)e ptdt
0
a p2
若f (t) sin t(t 0)
则~f ( p)
f (t)e ptdt
0
p2 2

(t )

流体力学 扩散理论

流体力学    扩散理论
t
由于生物、化学等各种因素,扩散质的发生率Fc,质量守恒:
c t
[ x
(cu
Dm
c ) x
y
(cv
Dm
c ) y
z
(cw
Dm
c ) z
Fc ]

c t
x
(cu)
y
(cv)
z
(cw)
Dm
(
2c x 2
2c y 2
2c z 2
)
Fc
——移流扩散方程
左边第一项是当地变化,第二项是移流变化;
环境流体力学 第四章 扩散理论
1
4.1概述
关心问题:排放的污染物质在大气内和水域内浓度分布。 理论基础:扩散与输移理论。 传输过程:流体中含有物质,在流场内某处转移至另一处的过程。 , 扩散:流体中含有物质从含量多处向含量少处传输的现象。 随流传输:流体的含有物质随流体质点的时均运动而转移的过程。 离散:剪切流中由于时均流速分布不均引起含有物质散开的现象。
与 c(x1, t) (2t)
M exp( x12 )
4D m t
4Dmt
比较,Dm=la/2=Nl2/
P l exp( x12 )
Dmt
4Dmt
——以Dm表示的分子在N次运动后到达x1处的概率
5
求在t时刻分子位于x1与x1+δx1之间的概率δP,分子到达x1后, 下一步仍有1/2机会前进,1/2机会后退,每一步距离为l,下
t
Y2 (t0 t) v2 (t0 t)dt
0
T
T tt
Y22
(t)
1 T
Y22 (t0
t)dt0
1 T
dt0

流体力学与传热:第二章 吸收第三次课

流体力学与传热:第二章 吸收第三次课
10
2.总传质速率方程
速率=总总推阻动力力=总传质系数 推动力 总推动力=主体浓度 平衡浓度
气相:N

A
p
1
pe
Kg p
pe
Ky(y
ye )
Kg NA
液相:NA=ce
1
c
Kl
ce
c
Kx
(xe
x)
Kl
Kg,Ky,Kl,Kx—气、液相总传质系数; pe ,ce—分别为气液相的平衡分压及平衡摩尔浓度。
❖ 以液相及气相为推动力的传质速率方程:
液 相 :N A
D Z
Co c Bm
c A1 c A2
气 相 :N A
D RT Z
P
pBm
pA1 pA2
❖ p 、co 称为漂流因子,其值大于1。
pBm c Bm
有主体流动存在的传质速率大于单纯的分子扩散 反映主体流动对传质速率的贡献。
❖ 描述吸收过程的传质:气相中的A不断溶解,B 不能进入液相。
NA
D RTZ G
P pBm
p
pi
令: D RTZ g
P pBm
=k
g
N

A
p
1
pi
kg
p pi
ky ( y yi )
kg
k y Pk g
9
➢ 液膜内传质速率方程
NA
D Zg
c0 cB,m
(ci
c)
令:D
Zg
co cBm
=kl
N A= ci
1
c
kl
ci c
kx (xi x)
NA Ky ( y ye ) Ky (mxe mx) (4)

第二节 传质机理与吸收速率

第二节  传质机理与吸收速率
*
A
K X (x x)
*
注意:
吸收系数的单位:kmol/(m2.s.单位推动力)
吸收系数与吸收推动力的正确搭配 阻力的表达形式与推动力的表达形式的对应
吸收速率方程的适用条件
各种吸收系数间的关系 气膜控制与液膜控制的条件
一、 吸收塔的物料衡算与操作线方程
(一)物料衡算 任务:计算给定吸收任务下所需的吸收剂用量 L 或吸收 剂出口浓度 X1。 组分分析:混合气体通过吸收塔的过程中,可溶组分不 断被吸收,故气体的总量沿塔高而变,液体也因其中不 断溶入可溶组分,其量也沿塔高而变。但是,通过塔的 惰性气体量和溶剂量是不变的。
扩散通量 :
dc A J (D D E ) dz
2)流动界面 气液两相和液液两相间的界面
NA
D AB P ( p pi ) Z G RT PB m
NA
D C (c i c ) z L c sm
六、吸收速率方程式
吸收速率: 位面积,单位时间内吸收的溶质A的摩尔数, 单
分离变量后积分
N
DP p B 2 dp B p B1 RT pB
DP pB2 NA ln zRT p B1
p A1 p B 1 p A 2 p B 2
p A1 p A 2 p B 2 p B 1
p B 2 p A1 p A 2 DP NA ln ( ) zRT p B1 p B 2 p B1
Y
L/V A (L/V)’ A’ (L/V)min
Y1
C
Y- Y*
Y2
o
B
Y*=f(X) X
X2
X1
X1’
X1,max
最小液气比(L/V)min

环境流体力学(第二章)

环境流体力学(第二章)

设O点右面有一点p,p到O点距离为x,到某个污染微元的距离 为ξ ,在指定时刻p点的浓度c(x,t)应该等于左面各微小污染源扩 散到p点的浓度dc的迭加,根据瞬时平面源一维扩散解,任意 一个微小污染源扩散到p点的浓度dc为
dc( , t )
c0 d 4 D t
exp(
2
4D t
)
由左半部无限多个微小面源引起的p点浓度
积分一次可得
可使方程满足边界条件
M c( x, t )dx




M f ( ) Dt d Mf ( )d Dt
解这个积分需要用到积分表;因此我们需要代换变量去掉指数
里的1/4,我们引入
得到
进行坐标代换并且解 查阅积分表可得
可得:
瞬时源的一维规律扩散符合高斯正态分布规律
c2 2 c2 必须 Dy 2 0 t y
c1 2c1 Dx 2 0 t x
一维扩散方程
c1 ( x, t )和c2 ( y, t )各自满足瞬时点源一维扩散方程的解
M x c1 ( x, t ) exp( ) 4 Dxt 4 Dxt
2
M x2 c2 ( y, t ) exp( ) 4 Dy t 4 Dy t
c Fz Dz z
c 2c 2c 2c DX 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
扩散浓度时空关系的基本方程: 2c 2c c 二维
D 2 2 t x y
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) D 2 c t x y z
M x c(x , t) exp ( 2 ) 2σ A 2π σ
2

1、环境水力学-迁移扩散理论-分子扩散

1、环境水力学-迁移扩散理论-分子扩散

∂C2 ∂C = C 1 ∂y ∂y 2 2 ∂ C2 ∂ C = C 1 2 2 ∂ y ∂ y
∂C2 ∂C1 ∂ 2C1 ∂ 2 C2 C1 + C2 = Dx C2 + Dy C1 2 ∂t ∂t ∂x ∂y 2 ∂C2 ∂C1 ∂ 2 C2 ∂ 2C1 0 C1 − Dy + C2 − Dx = 2 2 ∂y ∂x ∂t ∂t
其中
(2-44)
M =∫

−∞
∫ ∫
−∞


−∞
C ( x, y, z , t )dxdydz
瞬时分布源的扩散
(1) 一维起始无限分布源的扩散
在一条长管中,
①左端x≤0,充满了污染液体,污染浓度为C0, ②管子的右端x>0,装满清水。 ③在t=0时,突然启开隔离污染液体和清水的闸板。 ④扩散只在x方向的一维展开。
(2)瞬时平面源的二、三维扩散
若有一瞬时点源投放于一无限宽阔的平面上,质量为M,将 坐标原点取在源上,物质通过原点的二维空间(xoy平面) 扩散,其浓度在xoy平面上的分布应当符合二维扩散方程:
∂ 2C ∂C ∂ 2C = DX 2 + Dy 2 ∂t ∂x ∂y
卡斯若及雅格(Carslaw,Taeger) 曾经做出理论推导,认 为扩散作用在各个方向是各自独立,互不干扰的。数理统 计理论指出,独立随机变量的联合分布符合“机率乘法规 则”。所以浓度的二维分布: C(x,y,t)= C1(x,t) ·C2(y,t) (2-41)
由费克第一定律: Fx = − Dx 于是上式可改写为:
∂C ∂x
Fy = − Dy
∂C ∂y
∂C Fz = − Dz ∂z

分子转移的原理

分子转移的原理

分子转移的原理分子转移是一个广泛存在于生物学、至化学、物理学和化学工程学等领域的基础概念。

它代表了由一个区域的分子向另一个区域传播的机制。

分子转移过程包括了分子扩散、传导、对流和迁移等各种机制。

这些机制都受到物理或化学上的力学作用和驱动力。

分子转移对于许多生物学和物理学过程的理解至关重要。

分子转移也是化学反应和工艺中常见的基础操作。

本文将介绍分子转移的原理、分类以及在不同领域中的应用。

1. 分子转移原理分子转移机制基于分子之间的相互作用以及物理学上的运动法则。

从物质的角度来看,分子转移的根本原理是交换子系统间的能量、质量或热量,使它们在基本程度上达到平衡状态。

这意味着分子转移是通过两个区域的高低能量、浓度或温度的差异而驱动的。

1.1 分子扩散分子扩散时,分子在空气、水或其它介质中的运动方向随机,受到周围其他分子的严重干扰。

通过分子之间的相互作用,这种随机运动最终导致扩散。

分子扩散是物理学中最基本的分子转移机制。

这种机制最常出现在包括空气、气体混合物、液体和固体材料中的许多自然系统和人工系统中。

1.2 传导传导是指邻近分子之间的直接相互作用,通常通过化学键来实现。

这种相互作用使得分子将信息(能量、质量或动量)从一个区域传到另一个区域。

传导是在化学反应、生物学命令传播和能量传输等领域中广泛存在的机制。

1.3 对流对流机制基于一个分子通过它周围的介质的大规模流动。

比如,血管中的血液和大气中的气流等。

这种机制与物理学基本上的运动和质量守恒定律有关。

对流是许多实际运用场景中的常见机制,比如化学反应和传热传质过程。

1.4 迁移迁移机制是指一个分子从一个阶段中的一个区域迁移到另一个区域。

这种机制一般发生在粉尘、颗粒物和农药等物质中的转移。

迁移可以在液体、气体和固体材料中发生。

实际生活中,迁移过程对于食品安全和环境污染等问题具有重要意义。

2. 分子转移分类根据不同的鉴别标准,分子转移可以被不同的分类方式所区分。

2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散

2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散

x
ut2
4Dt
y2
z2
(2-92)
(2)时间连续点源的移流扩散
恒定点源=瞬时点源叠加
时间连续源仍然可以看作是无限多瞬时点源md 的迭 加,m为单位时间投放物质的强度,同样采用动坐标系, 引用纯扩散的时间连续源的积分式的浓度分布函数式:
C
M
4D 3 / 2
t 0
t
1
ห้องสมุดไป่ตู้
3/
2
exp
r2
设问题满足一维随流扩散方程
C C 2C t u x D x2
令 x ut,C C,t,其中u为常数。
1, u
x t
于是
C C C 2C 2C x x , x2 2
C C C u C C
t t t
t
(2-83) (2-84)
C C C , x x
)
d
(2-96)
可以证明,当 时
0
exp
(
2
12 2
)d
e21
2
(2-97)
于是得时间连续点源三维移流扩散的浓度公式为:
C(x, y, z) m exp[ u (r x)]
4 Dr
2D
(2-98)
在源下游较远的区域,(2-89)式中r值可以下列近似 关系代替:
r
x2
y2
z2
(1
y2 x2 2x2 )x
C t
ux
C x
uy
C y
uz
C z
2C D( x2
2C y2
2C z2 )
(2-81)
对大多数实际问题,水流具有明显的主流方向,其uy、
uz可以忽略不计,并且设沿主流x方向的流速 ux u ,u

流体力学——3-1,3-2扩散方程及其基本解

流体力学——3-1,3-2扩散方程及其基本解

C D 2C t

C 2C 2C 2C Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z 2C 2C 2C C D 2 2 2 t x y z 分子扩散方程(费克第二定律)
若扩散发生在二维空间,扩散方程可简化为
第三部分(1)
扩散理论
§1 几个基本概念 §2 分子扩散的费克定律,分子扩散方程 §3 移流扩散方程 §4 紊动扩散
§2 分子扩散的费克定律,分子扩散方程
两种不同物质通过它们的分子运动而互相渗透的现象称为 分子扩散。
物质的分子扩散可以借助四种推动力发生:浓度梯度、温度梯 度、压力梯度或其他作用力梯度。由这些不同原因而引起的扩 散分别称为:浓度扩散、温度扩散、压力扩散和强制扩散。
二、分子扩散方程——费克第二定律
为建立污染物浓度随时间和空间的关系式,在静止流体中 取微元六面体,分析污染物扩散量的变化规律。 设微元六面体边长分别为dx,dy,dz, 中心点坐标(x,y,z), 单位扩散量 F 在三个坐标上的分量分别为 Fx ,Fy,Fz z dz o x y dy z x dx y
C Fz Dz z
C 2C 2C 2C Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
若污染物扩散为各向同性,即Dx=Dy=Dz=D,上式可改写为
2C 2C 2C C D 2 2 或者 2 t y z x
实际问题中,污染物扩散过程中分子扩散所占的比重通常很小 ,就分子扩散本身而言,除了微观的化学与生物反应外,在环境 问题中并没有直接的重要意义。但是在许多情况下,环境中的污 染物扩散与分子扩散有类似之处,其研究可借用分子扩散的基本 思想。
一、费克(Fick)第一定律
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第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法:如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析,物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律: 量纲和谐性,物理方程中各项的量纲应当相同; 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性; 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性,不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
M 2 对于正态分布曲线(标准)有: M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2,得距离方差:
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
2
第四节 分子扩散方程
推广到三维: 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律:
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中,在x、y、z三个方向上,D为常数。
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离,当曲线对称于c轴时x=0。
(2)浓度分布的距离方差2

2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
M0
i


2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi
i

一阶矩 M xc( x, t )dx x c x ii i 1
i

二阶矩
M2



x 2c( x, t )dx x 2ci xi
i
各式的右端可供 当具有实验资料 时,计算浓度各 阶矩之用。
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
在扩散特性各向异性的液体中
c 2c 2c 2c Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件(初始条件、边界条件)。 & 解的形式:解析解、数值解。 & 污染源(按空间):点源、线源、面源、有限分布源、不存在 绝对的点源、无限长线源、无限大面源,只是一种近似处理。 & 污染源(按时间):瞬时源、时间连续源(事故排放、正常排 放)。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域,实际上一种近似,如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散:根据水域是几维,对应一维、二维、三维扩散方 程。
0.88×10-5 1.28×10-5 1.00×10-5
氨 氯

1.76×10-5 1.22×10-5
5.13×10-5
酚 甘汕
尿素
0.84×10-5 0.72×10-5
1.06×10-5

氯化氢 硫化氢 硫酸
1.64×10-5
2.64×10-5 1.80×10-5 1.73×10-5
葡萄糖
蔗糖 食盐 氢氧化钠
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况,在t=0时刻,在原点瞬时投入质量为M的
扩散质,分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布,这
是扩散方程的最基本的解。 • 是在静止水域中的扩散,而且是瞬时集中源与坐标原点重 合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的,在线 性的边界条件下,可用这个特解式叠加来构造其他定解条 件下的解。 -x 0 x
为任何时刻源点浓度(坐标 原点与源点重合的情况下)
对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0(x≠0)的极限,可 得到c =∞和c =0,这说明了该解也是满足初始条件的。
此外,上式虽然是对x≥0的定解条件求解,但也可用于x
<0情形。
第五节 一维扩散方程的基本解
浓度分布符合正态分布(即高斯分布)
M x2 c( x, t ) exp( ) 4 Dt 4 Dt
M f (h ) 4 Dt
d2 f df 2h 2f 0 2 dh dh
,有: d 0
dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ=常数k1,因此有: 。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0,故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为: f k0e dh
c( x, t ) 1 x2 exp( ) 2 M 2 2 Dt 2( 2 Dt )
瞬时点源一维无界空间的浓度分布
污染源点和坐标原点重合的情况
瞬时点源一维无界空间的浓度 场在任一时刻t沿x轴是正态分布, 随时间t的增加,浓度的峰值Cm 变小,而扩散的范围变宽,分 布曲线趋于平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
变化量: c( x, t ) xt
t
一维输移的控制体:两个具有单位 面积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为:Q(x,t) 从(x+△x)面出去的通量为: Q ( x, t ) Q ( x, t ) x x
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有:单位时间流入的污染物质量-流出 的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等,即:
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关,又与温 度和压力有关。
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数( cm2· s-1,水温为20℃)
物 质 氧 二氧化碳 一氧化氮 扩散系数D
1.80×10-5 1.50×10-5 1.51×10-5
物 质 醋酸 甲醇 乙醇
扩散系数D
确定待定函数f
d df ( 2h f ) 0 边界条件由原来的c(,t)=0, c(,t)/x=0 dh dh
f(∞)=0,df(∞)/dh0
df 进一步令 (h ) dh 2h f
c 2c D 2 t x
设变量 h
则有c( x, t )
x 4 Dt
第二章 分子扩散
第三节 费克定律
第一节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动,从而使在水中的微 粒也作不规则的运动,这个现象早已在1826年为布朗的著 名实验证实。分子运动称为布朗运动 费克(Fick)扩散(分子扩散): 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散 除了在静水中,分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外,它还存在于一切流动的水体中。
0.60×10-5
0.45×10-5 1.35×10-5 1.51×10-5
D值由实验确定,D值大,扩散快;反之,扩散慢。
第四节 分子扩散方程
第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散)
一维为例 设c(x,t)是时刻t位于x处上扩 散质(溶质)的浓度。在该控
制体积内扩散质对时间的 变化率为:c( x, t ) x t

M0
2 M 2 2x M1 x M0 M0
M2 2 2 x x M0
2 x i ci xi
c x
i i
i
x c x ( ) c x
i i i i i i i
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度,2值愈大, 分布曲线愈平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
M(x)表示质量M集中于微小容积
内。相对概念。例如把一小桶颜 色水倾注到大河里,可以认为起 始浓度集中于微小体积内。
狄拉克(Dirac) 函数
物理含义: 当t=0时,在通过x=0处且与x轴垂直的平面上,污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间 (2)边界条件:c(,t)=0, c(,t)/x=0
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维• 瞬时源:t=0时,在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管,截面积是一个单位
• 2、垂直管轴,瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面
• 4、染料只沿长度方向扩散 -x
D是比例系数,称为分子扩散系数,量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2· s-1 。 公式中的负号 费克定律第一定律
第三节 费克定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: Q Dc 哈密顿算子
i j k x y z
c Q D x
说明:只要存在浓度梯度,必然产生物质的扩散
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程:
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为: (1)初始条件: c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律:
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量(即热流密度),c(x,t)作为热浓度(即温度),以 热扩散系数a(或导温系数)代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
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