环境流体力学第二章分子扩散

第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
M 2 对于正态分布曲线（标准）有： M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
2
第四节 分子扩散方程
推广到三维： 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律：
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。
（2）浓度分布的距离方差2

2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
M0
i


2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi
i

一阶矩 M xc( x, t )dx x c x ii i 1
i

二阶矩
M2



x 2c( x, t )dx x 2ci xi
i
各式的右端可供 当具有实验资料 时，计算浓度各 阶矩之用。
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
在扩散特性各向异性的液体中
c 2c 2c 2c Dx 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。 & 解的形式：解析解、数值解。 & 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在 绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。 & 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排 放）。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方 程。
0.88×10-5 1.28×10-5 1.00×10-5
氨 氯
氢
1.76×10-5 1.22×10-5
5.13×10-5
酚 甘汕
尿素
0.84×10-5 0.72×10-5
1.06×10-5
氮
氯化氢 硫化氢 硫酸
1.64×10-5
2.64×10-5 1.80×10-5 1.73×10-5
葡萄糖
蔗糖 食盐 氢氧化钠
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M的
扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这
是扩散方程的最基本的解。 • 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重 合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线 性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条 件下的解。 -x 0 x
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0（x≠0）的极限，可 得到c =∞和c =0，这说明了该解也是满足初始条件的。
此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x
＜0情形。
第五节 一维扩散方程的基本解
浓度分布符合正态分布（即高斯分布）
M x2 c( x, t ) exp( ) 4 Dt 4 Dt
M f (h ) 4 Dt
d2 f df 2h 2f 0 2 dh dh
，有: d 0
dh
df dh f 2h ln f ln h
1 2
df 2h f k1 即θ=常数k1,因此有： 。 dh
ln A
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为:
2 df h 2h f 0 它的通解为： f k0e dh
c( x, t ) 1 x2 exp( ) 2 M 2 2 Dt 2( 2 Dt )
瞬时点源一维无界空间的浓度分布
污染源点和坐标原点重合的情况
瞬时点源一维无界空间的浓度 场在任一时刻t沿x轴是正态分布， 随时间t的增加，浓度的峰值Cm 变小，而扩散的范围变宽，分 布曲线趋于平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
变化量： c( x, t ) xt
t
一维输移的控制体：两个具有单位 面积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t) 从(x+△x)面出去的通量为: Q ( x, t ) Q ( x, t ) x x
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出 的污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温 度和压力有关。
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2· s-1，水温为20℃）
物 质 氧 二氧化碳 一氧化氮 扩散系数D
1.80×10-5 1.50×10-5 1.51×10-5
物 质 醋酸 甲醇 乙醇
扩散系数D
确定待定函数f
d df （ 2h f ） 0 边界条件由原来的c(,t)=0, c(,t)/x=0 dh dh
f(∞)=0，df(∞)/dh0
df 进一步令 (h ) dh 2h f
c 2c D 2 t x
设变量 h
则有c( x, t )
x 4 Dt
第二章 分子扩散
第三节 费克定律
第一节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的著 名实验证实。分子运动称为布朗运动 费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散 除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
0.60×10-5
0.45×10-5 1.35×10-5 1.51×10-5
D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。
第四节 分子扩散方程
第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）
一维为例 设c(x,t)是时刻t位于x处上扩 散质（溶质）的浓度。在该控
制体积内扩散质对时间的 变化率为：c( x, t ) x t

M0
2 M 2 2x M1 x M0 M0
M2 2 2 x x M0
2 x i ci xi
c x
i i
i
x c x ( ) c x
i i i i i i i
2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
M(x)表示质量M集中于微小容积
内。相对概念。例如把一小桶颜 色水倾注到大河里，可以认为起 始浓度集中于微小体积内。
狄拉克（Dirac） 函数
物理含义： 当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间 （2）边界条件：c(,t)=0, c(,t)/x=0
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节
一维• 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位
• 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面
• 4、染料只沿长度方向扩散 -x
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2· s-1 。 公式中的负号 费克定律第一定律
第三节 费克定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: Q Dc 哈密顿算子
i j k x y z
c Q D x
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
令染液投入点为坐标原点
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 一维分子扩散方程：
c 2c D t x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件： c(x,0)=M(x)
( x)
x 0 0 x 0
Q ( x, t ) [Q ( x, t ) Q ( x, t ) c( x, t ) x ] x x t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c 2c D 2 t x
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。 分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
2
-
x x M M = k0 exp ()d ( )= k0 - 4 Dt 4 Dt 可得积分常数为k0 =1
M
第五节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 cdx M ,推出k0=1

M x2 c( x, t ) exp( ) 4 Dt 4 Dt
第三节 费克定律
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出
静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面 积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。
对一维扩散，费克定律可表示为：
c Q x
用等号 Q D c
x
一维费克扩散示意图
x
式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量； C是扩散物质的浓度。 c x :x方向的浓度梯度。
M x F( , )0 c Dt Dt
M x c( x, t ) f( ) 4 Dt 4 Dt
c ( x, t ) x =f ( ) M 4 Dt 4 Dt
式中:f为待定函数，在上式中写上4π和4，目的是使最终 的解较为简明; M是全部污染物的质量，量纲是[M]
第五节 一维扩散方程的基本解
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该 物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数 假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0 方程线性 一维 扩散中，浓度的量纲 [ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成 正比。 Dt 是一个合适的特征长度 利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得：
对原点的任意p阶矩
Mp



x p c( x, t )dx xip ci xi
i
对瞬时点源来说，零阶矩 M0=全部扩散质的质量，对任 意时刻M0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。
第六节 浓度分布的各阶矩
2、 浓度分布的统计特征值
（1）浓度分布的距离均值（数学期望）
M1 x M0
c M t 2
f [ f (h ) h ] h 4 Dt 1
2c M 1 2 f D 2 =2 x 4 t h 4 Dt c 2c df d 2 f -D 2 =2f +2h + 2 =0 t x dh dh d df ( +2h f )=0 dh dh -u e du =