2.质点运动定律习题

习题

2-1. 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dt

dv

m

kv f =-=， 分离变量，可得：vdt

dv

m k =- 两边同时积分，所以：t m k

e v v -=0 （2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：

由vdt dv m k =- 可推出：dv k

m vdt -=，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m m

x vdt dv v k k

==-=⎰⎰ 。

2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为

L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．

解：在绳子中距离转轴为r 处取一小段绳子，假设其质量为dm ，可知：L

Md

dm =

，分析这dm 的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出： L

Mdr

r rdm r dT 2

2

ωω==）

（。 距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以

两边积分：）（）（）

（22

22r L L

M r dT r T L

r

-==⎰

ω

2-3. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。 解：由题意和牛顿第二定律可得：dx dv mv dt dx dx dv m dt dv m x

k f ===-

=2

再采取分离变量法可得：mvdv dx x k

=-

2 ， 两边同时取积分，则：mvdv dx x

k

v A A ⎰⎰=-024/ 所以：mA

k

v 6=

2-4. 一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力j i F 2244t -=(SI)的作用，0=t 时，它的初速度为j i v 430+=(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F .

解：由题意和牛顿第二定律可得：dt

d m m v

a f ==，代入f 与v ，并两边积分，

v j i md dt t v

v ⎰⎰

=-0

)244(2

1

， )]43([284j i v j i +-⨯=-

i v 5=

速度是i 方向，也就是切向的，所以法向的力是j 方向的，则24=-F j

2-5. 如图，用质量为1m 的板车运载一质量为

2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与

路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？

解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：21222

msx F m g

f a m m m m μ'=

==

+

可得：g m m F )(21+μ

2-6. 如图所示一倾角为θ的斜面放在水

平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。

解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：mg N N =+θθμcos sin

ma N N =-θμθcos sin 可计算得到：此时的θ

μμ

θtan 1tan 1+-=

a g

（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：θθμcos sin N mg N =+ ma N N =+θμθcos sin 可计算得到：此时的θ

μμ

θtan 1tan 2-+=

a g

所以

tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ

μθμθ

-+≤≤+-

2-7. 一质量为M 、顶角为α的三角形光滑物体上。放有一质量为m 的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度M a .

解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在

于，M 与m 的运动有联系的，M 沿地面运动，m 沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m 的运动为：

s i n x N m a α-= （1）

cos y N mg ma α-= （2）

M 的运动方程为：sin M N Ma α= （3）

下面列出约束条件的方程：取M 作为参考系，设m 在其中的相对加速度为a '，在x,y 方向的分量分别为'x a 与'

y a ，那么：tan y

x

a a α'=

' 利用相对运动的公式，a a a M m '+= 所以：M x x a a a -='