金属棒在磁场中运动

金属棒在磁场中运动(一)

单杆问题

例1.如图所示，两根平行金属导轨abcd,固定在同一水平面

上,磁感应强度为B 的匀强磁场与导轨所在的平面垂直，导

轨的电阻可忽略不计。一阻值为R 的电阻接在导轨的bc 端。

在导轨上放一根质量为m ，长为L ，电阻为r 的导体棒ef ，

它可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中与导轨接触良好并

保持垂直。若导体棒从静止开始受一恒定的水平外力F 的

作用,求:

(1)ef 的最大速度是多少?

（2）导体棒获得的最大速度时，ef 的位移为S,整个过程中回路产生的焦耳热

(3)若导体棒ef 由静止开始在随时间变化的水平外力F 的作用下，向右作匀加速直线运动，加速度大小为a 。求力F 与时间应满足的关系式.

(4)若金属棒ef 在受到平行于导轨，功率恒为P 的水平外力作用下从静止开始运动。求:金属棒ef 的速度为最大值一半时的加速度a 。

（1）、22)(L B r R F V m +=（2）、 （3）、

典型例题---电容器

例2. 如图所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端

接有一电容量为C 的电容器，框架上有一质量为m ，长为L

的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离

地面的高度为h ，磁感应强度为B 的匀强磁场与框架平面垂直，

开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多

大？落地时间多长？

经分析，导棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势．由于电容器的存在，在棒上产生充电电流，棒将受安培力的作用，因此，棒在重力作用和安培力的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律∑F=ma ，得故mg –F B =ma ①，F B =BiL ②．

由于棒做加速运动，故v 、a 、ε、F B 均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q=C ·ε，而ε=BLv ．设在时间△t 内，棒上电动势的变化量为△ε，电容器上电量的增加量为△Q ，显然△ε=BL △v ③，△Q=C ·△ε ④，再根据电流的定义式

t Q i ∆∆= ⑤，t v a ∆∆= ⑤′，联立①~⑤′得：C L B m mg a 22+=⑥

由⑥式可知，a 与运动时间无关，且是一个恒量，故棒做初速度为零的匀加速直线运动，

其落地速度为v ，则ah v 2= ⑦，将⑥代入⑦得：

C L B m mgh

v 222+= ⑧，落地时间可由ma r R at L B F ma r R at L B F ++==+-22222244

12F R r Q W FS m B L +==-安（）

221at h =，得a h t 2=，将⑥代入上式得mg C L B m h C L B m mg h t )(222222+=+=．

评析：本题应用了微元法求出△Q 与△v 的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流i 和加速度a 有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉．读后使人颇受启示．

典型例题—转动类型

例3、如图所示，铜质圆盘绕竖直轴O 在水平面内匀速转动，圆盘半径为，处在垂直纸面向里的磁感应强度

的匀强磁场中，两个电刷分别与转动轴和圆盘的边缘保

持良好接触，并与电池和保险丝D 串联成一闭合电路。已知电

池电动势，电路中总电阻，保险丝的熔断电流

为1A ，试分析计算：为了不使保险丝烧断，金属圆盘顺时针方向转动的角速度的取值范围是什么？

讲解：圆盘不动时，电路电流，大于保险丝的熔断电流，保险丝将被烧断。 圆盘顺时针方向转动时，相当于长度为r 的导体在垂直于磁场的平面里绕O 轴以角速度匀速转动，感应电动势大小为

①

圆盘边缘电势比转动轴处电势高，在闭合电路中感应电动势的方向与电池电动势的方向相反，要保险丝不被烧断，在转动角速度较小时要满足

②

在转动角速度较大时应满足

③ 把数据代入①②③解得

再把数据代入上式解得

评析：在求解此题时，要注意到在转动角速度较小时，电池电动势将大于感应电动势，电流将在电路顺时针方向流动；在转动角速度较大时，感应电动势大于电池电动势，电流在电路中逆时针方向流动。

双杆问题

典型例题—双杆等距类型

例4.如图所示，在光滑水平足够长的平行金属导轨上， 导轨间

距离为L,放置质量均为m 的导体棒gh 和ef ，棒的电阻均为R ，

导轨电阻不计，两棒均能沿轨道滑动并始终保持良好接触，在运

动过程中ef 和gh 不会相碰，整个装置处在磁感应强度为B 的匀

强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。设轨道足够长.

(1)开始时gh 棒静止，ef 棒有指向gh 棒的初速度V 0，在运动中产生的焦耳热最多是多少？

（2）开始时gh 棒静止，ef 棒有指向gh 棒的初速度V 0，求当ef 棒的速度达到3/4V 0时，gh 棒的加速度是多少？

（3）当ef 和gh 棒均以V0的水平速度匀速向相反方向运动时,需分别对ef 和gh 棒施加多大的水平力F ？

（4）ef 受到一个水平向右的恒力F 作用,最后ef 棒和gh 棒以相同的加速度运动,但两棒的速度不相同,求两棒速度的差. 1、 2、设ef 棒的速度变为初速的3/4 时，gh 棒的速度为V ’，根据动量守恒可知 回路中的感应电动势和感应电流分别是 gh 棒所受的安培力 BIL F =安

gh 棒的加速度 m

F a 安= mR V L B a 4022= 3、 R V L B F 022= 4、 典型例题—双杆不等距类型

例5.如图所示，在光滑水平足够长的平行金属导轨上， 放置质量为

2m 、长度为2L 、电阻为2R 的导体棒gh 和质量为m 、长度为L 、电阻

为R 的导体棒ef ，导轨电阻不计，两棒均能沿轨道滑动并始终保持良

好接触，在运动过程中ef 和gh 不会相碰，也不会离开各自的轨道.整

个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。

设轨道足够长.

(1)若gh 和ef 之间有不可伸长的细线相连，ef 在水平恒力F 的作用下,最后达到稳定状态.求最终两棒的速度大小.

(2)若gh 和ef 之间没有细线相连，gh 以速度V 0开始运动,最后达到稳定状态.求最终两棒的速度大小.

（1） （2）3

2300V v V v ef gh ==， 双杆问题总结

“双杆”在等宽导轨上运动时，两杆所受的安培力等大反向，所以动量守恒。“双杆”在不等宽导轨上运动时，两杆所受的安培力不相等，系统合力不为零,所以动量不守恒,但可以用动量定理来解题。

金属线框在磁场中运动

典型例题1--运动学问题

2041mV Q =/

0043mV V m mV +=BL V V E )43(/0-=R

E

I 2=22ef gh FR V V B L

-=223FR v B L =