南京2017中考数学试卷(含答案)

南京市2017年初中毕业生学业考试
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.计算()()()1218632÷-÷---⨯的结果是（ ） A ． 7 B ． 8 C ． 21 D ．36
2.计算()3
624101010⨯÷的结果是（ ）
A ． 310
B ． 710
C ． 410
D ．910
3.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是 （ ） A ．三棱柱 B ．四棱柱 C ． 三棱锥 D ．四棱锥
4.a << （ ）
A ．13a <<
B ．14a << C. 23a << D ．24a << 5.若方程()2
519x -=的两根为a 和b ，且a b >，则下列结论中正确的是 （ ）
A ．a 是19的算术平方根
B ．b 是19的平方根 C.5a -是19的算术平方根 D ．5b +是19的平方根
6.过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A ．（4，
176） B ．（4，3） C.（5，17
6
） D ．（5，3） 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
7.计算：3-= ；
= ．
8.2016年南京实现GDP 约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是 ． 9.若式子
2
1
x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
10.的结果是 ． 11.方程
21
02x x
-=+的解是 ．
12.已知关于x 的方程20x px q ++=的两根为-3和-1，则p = ；q = ． 13.下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．
14.如图，1∠是五边形ABCDE 的一个外角，若165∠=︒，则A B C D ∠+∠+∠+∠= ．
15.如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点,,A C D ，与BC 相交于点E ，连接,AC AE ，若
78D ∠=︒，则EAC ∠= ． 16.函数1y x =与24
y x
=
的图像如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当2x <时，随的增大而减小；③当0x >时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 计算112a a a a ⎛
⎫⎛⎫++÷- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
18. 解不等式组(
)26,2,31 1.x x x x -≤>--<+⎧⎪
⎨⎪⎩①②③
请结合题意，完成本题的解答. （1）解不等式①，得 . （2）解不等式③，得 .
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来.
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 .
19. 如图，在ABCD 中，点,E F 分别在,AD BC 上，且,,AE CF EF BD =相交于点O .求证
OE OF =.
20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料. 月收入/元 45000 18000 10000 5500 4800 3400 5000 2200 人数
1
1
1
3
6
1
11
1
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元.
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元.你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由.
21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ； （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.
22.“直角”在初中几何学习中无处不在.
如图，已知AOB ∠，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断AOB ∠是否为直角（仅限用直尺和圆规）.
小丽的方法
如图，在,OA OB 上分别取点,C D ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交OB 的反向延长线于点
E ，若OE OD =，则90AOB ∠=︒.
23.张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整
文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具.
（1）①当减少购买一个甲种文具时，x =▲，y =▲； ②求y 与x 之间的函数表达式.
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元.甲，乙两种文具各购买了多少个？
24.如图，,PA PB 是⊙O 的切线，,A B 为切点.连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D .
（1）求证：PO 平分APC ∠.
（2）连结DB ，若30C ∠=︒，求证//DB AC .
25.如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港
口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上.这时，E 处距离港口A 有多远？ （参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）
26.已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数） （1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数()2
1y x =+的图像上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.
27. 折纸的思考. 【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形.
第一步，对折矩形纸片()ABCD AB BC >（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）.
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕
BG ，折出,PB PC ，得到PBC ∆. （1）说明PBC ∆是等边三角形.
【数学思考】
（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC .他发现，在矩形ABCD 中把
PBC ∆经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.
（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm .对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围.
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm .
试卷答案
一、选择题
1-5:CCDBC 6:A 二、填空题
7.3，3. 8.41.0510⨯. 9.1x ≠. 10.6. 11.2x =. 12.4，3 13.2016，2015. 14.425. 15.27. 16.①③. 三、解答题
17.解：112a a a a ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝++÷⎭-
22211
a a a a a ++-=÷
22211
a a a a a ++=⋅-
()()()
2
111a a
a
a a +=
⋅
+-
11
a a +=
-. 18.（1）3x ≥-.
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. （2）2x <. （3）
（4）22x -<<.
19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//,AD BC AD BC =.
∴,EDO FBO DEO BFO ∠=∠∠=∠. ∵AE CF =，
∴AD AE CB CF -=-，即DE BF =.
∴DOE BOF ∆∆≌. ∴OE OF =.
20.解（1）3400，3000.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大.该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元.因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势. 21.解：（1）
1
2
. （2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共有4种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足“至少有一个是女孩”（记为事件A ）的结果有三种，所以()3
4
P A =
. 22.本题答案不惟一，下列解法供参考，例如， 方法1：如图①，在,OA OB 上分别截取4,3OC OD ==.
若5CD =，则90AOB ∠=︒.
方法2：如图②，在,OA OB 上分别取点,C D ，以CD 为直径画圆.
若点O 在圆上，则90AOB ∠=︒. 23.解：（1）①99，2.
②根据题意，得()21002200y x x =-=-+. 所以y 与x 之间的函数表达式为2200y x =-+.
（2）根据题意，得2200,
53540.y x x y =-+⎧⎨+=⎩
解得60,80.
x y =⎧⎨=⎩
答：甲、乙两种文具各购买了60个和80个. 24.证明：（1）如图，连接OB .
∵,PA PB 是⊙O 的切线， ∴,OA AP OB BP ⊥⊥， 又OA OB =， ∴PO 平分APC ∠.
（2）∵,AO AP OB BP ⊥⊥， ∴90CAP OBP ∠=∠=︒. ∵30C ∠=︒，
∴90903060APC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒. ∵PO 平分APC ∠，
∴11
603022
OPC APC ∠=∠=⨯︒=︒，
∴90903060POB OPC ∠=︒-∠=︒-︒=︒. 又OD OB =，
∴ODB ∆是等边三角形. ∴60OBD ∠=︒.
∴906030DBP OPB OBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.
∴DBP C ∠=∠.
∴//DB AC .
25.解：如图，过点C 作CH AD ⊥，垂足为H .设CH xkm =.
在Rt ACH ∆中，37A ∠=︒ ， ∵tan 37CH AH
︒=
， ∴tan 37tan 37CH x AH ==︒︒. 在Rt CEH ∆中，45CEH ∠=︒ ， ∵tan 45CH EH
︒=
， ∴tan 45CH EH x ==︒. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，
∴90AHC ADB ∠=∠=︒.
∴//HC DB . ∴B
AH HD AC C =. 又C 为AB 的中点，
∴AC CB =.
∴AH HD =. ∴
tan 375x x ︒
=+. ∴5tan 3750.75151tan 3710.75
x ⨯︒⨯=≈=-︒-. ∴()151535tan 37AE AH HE km =+=+≈︒. 因此，E 处距离港口A 大约为35km .
26.解：（1）D .
（2）()()2
2211124m m y x m x m x ⎛⎫ ⎪⎝+-=-+-+=--+⎭， 所以该函数的图像的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫ ⎝+ -⎪⎪⎭
. 把x =12m -代入()21y x =+，得()2
211124m m y ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+-=+.
因此，不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数()2
1y x =+的图像上. （3）设函数z =()214m +.
当1m =-时，z 有最小值0.
当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.
又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()2
3144z +==. 因此，当23m -≤≤时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是04z ≤≤.
27.解：（1）由折叠，,PB PC BP BC == ，
因此，PBC ∆是等边三角形.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考.例如，
如图，以点B 为中心，在矩形ABCD 中把PBC ∆逆时针方向旋转适当的角度，得到11PBC ∆；
再以点B 为位似中心，将11PBC ∆放大，使点1C 的对应点2C 落在CD 上，得到22P BC ∆.
（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
02
a <≤
2a << a ≥（4）165.。