初中数学竞赛辅导资料(66)

初中数学竞赛辅导资料（66）

辅助圆

甲内容提要

1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.

2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：

① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.

推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：

① 同弧所对的圆周角相等.

② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系. ④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理

4. 证明 型如ab+cd=m 2常用切割线定理 乙例题

例1.已知：点O 是△ABC 的外心，BE ，CD 是高.

求证：AO

⊥DE

证明：延长AO 交△ABC 的外接圆于F ，连接BF. ∵O 是△ABC 的外心

∴AF 是△ABC 外接圆的直径，∠ABF=Rt ∠. ∵BE ，CD 是高，∠BDC=

∠CEB=Rt ∠.

∴B ，C ，E ，D 四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆) ∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠， 即AO ⊥DE.

例2.正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内的一点，且∠OPB=45

，

PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. (1989年全国初中数学联赛题) 解：∵∠OPB=∠OAB=45

∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.

在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).

例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F.

求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G.

∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.

∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆.

(对角互补的四边形顶点共圆)

根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC

∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.

例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F.

求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.

分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.

由射影定理AB2=BD×BC.

故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得

F 、D 、C 、

G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG.

∴右边= BF ×BG.－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EG 从而转为要证AE ×AF= BF ×BG. 即

AF

EG

BF AE =

只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)

例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，

交PB 于N. 求证：OM=ON.

证明：连结OA ，OB .

∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB.

又∵OC ⊥MN.

∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C 分别共圆.

(辅助圆可以不画) 根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC.

∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.

丙练习66

1.已知：AD 是△ABC 的高，DE ，DF 分别是△ADB 和△ADC 的高 求证： B ，C ，F ，E 四点共圆

2.已知：两条线段AB 和CD 相交于点P ，且PA ×PB=PC ×PD. 求证：A ，B ，C ，D 四点共圆.

3.已知：⊙O 和⊙O ，相交于A ，B ，过点A 作一直线交⊙O 于C ，交⊙O ，于D ，分别过 点C 和点D 作⊙O 和⊙O ，的切线相交于点P .

求证：P ，C ，B ，D 四点在同一个圆上.

4.已知：E 是正方形ABCD 边BC 上的一点，过点E 作AE 的垂线和∠C 的外角平分线交于点F. 求证：AE=AF.

5.已知：M 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的一点，过点M 画两组对边的垂线段分别交AB ，CD 于E ，F 交AD ，BC 于G ，H.

求证：EG ∥FH.

6.已知：△ABC 的三条高AD ，BE ，CF 交于点H. 求证：BH ×BE+CH ×CF=BC 2.

7.已知：AB 是⊙O 的直径，C 是半圆上的一点，CD ⊥AB 于D ，G 是CD 上的一点，AG 的延长线交半圆于H. 求证：CD 2+AD 2=AG ×AH.

8.已知：AD 是△ABC 的角平分线 . 求证：AD 2=AB ×AC.＝DB ×DC

9.已知：凸五边形ABCDE 中.∠A=3α，BC=CD=DE ，∠C=∠D=180

.＝2α. 求证：AC ，AD ，AE 三等分∠A. (1990年全国初中数学联赛题) 10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等

11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)

12.如图已知：圆内接四边形ABCD 中，由AB 上一点M 作MP ⊥BC ，MQ ⊥CD ， MR ⊥DA ，PR 交MQ 于N.

求证：

MA

BM

NR PN =

. (1983年福建省初中数学联赛题)