优质课《复数代数形式的四则运算》

方法:在进行复数除法运算时,通常先把
a bi (a bi) (c di)写成 的形式, 再把分子与分母都乘 c di 以分母的共轭复数c di, 化简后就可得到上面的结果. 这与作根式除法时的处理是很类似的.
在作根式除法时,分子分母都乘以分母的 “有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里 分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭 复数),从而使分母“实数化”.
x cx dy a 所以 dx cy b y
ac bd c2 d 2 bc ad c2 d 2
复数除法的法则是:
ac bd bc ad (a bi) (c di) 2 2 i 2 2 c d c d (c di 0).
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加.
说明: （1）当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致; （2）两个复数的和仍然是一个复数.
复数的加法运算律
对任意z1，z2，z3 C,有
z1+z2=z2+z1
(交换律)
（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） (结合律)
探究一：复数加法的几何意义
3.复数加法运算的几何意义 z1=a+bi，z2=c+di z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ=(a+c,b+d)
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
z2=c+di
z1=a+bi
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
探究三：类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几 何意义. 复数z2－z1 复数z2－z1 向量Z1Z2
例题讲解：
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i
=-11i
课堂检测：
计算： （1）(2+4i)+(3-4i) （2）5-(3+2i) （3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)（4）(2-i)-(2+3i)+4i
2.相等的向量表示同一个复数.
o
x实轴
学习目标：
1.复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运
算律,以及复数加、减运算的几何意义.（重点）
2.复数减法、除法的运算法则.（难点）
3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
z1=a
得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1· z2=(a+bi)(a-bi)
=a2-abi+abi-b2i2
=a2+b2
结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个 实数.
探究四：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数 的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法的法则.
例2
计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2.

解: (1)(3+4i)(3-4i) =32-(4i)2
(2)(1+i)2 =1+2i+i2
=9-(-16)
=25.
=1+2i-1
=2i.
4.共轭复数的定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为 相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部 不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 实数的共轭复数是它本身.
例3 计算(1 2i) (3 4i).
先写成分 式形式
解 (1 2i ) (3 4i) 1 2i 3 4i (1 2i )(3 4i) 3 8 6i 4i (3 4i )(3 4i) 32 42 5 10i 1 2 i. 25 5 5
满足(c di)( x yi) a bi(c di 0)的复数x yi 叫做复数a bi除以复数c di的商. a bi 记作： (a bi) (c di)或 c di
因为 (c di)( x yi) a bi 所以 (cx dy ) (dx cy )i a bi
复数的乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1 z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (交换律) (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) (分配律)
例1
计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i.
记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作 z z =a-bi 思考：若z1，z2是共轭复数，那么 （１）在复平面内，它们所对应的点有 怎样的位置关系？ （２） z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y (a,b) x (a,-b)
y (0,b) x (0,-b) o
(a,0)
o
o
x
z1=a+bi
z1=bi
y
符合向量 减法的三 角形法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
当堂检测：
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)
复平面中点 1.|z1-z2|表示： _________
Z1与点Z2间的距离 ______________.
y
Z2(c，d)
Z1(a，b)
o
x
点Z(对应复数z)到 2.|z+(1+2i)|表示：_________________ 点 (-1，-2)的距离 _______________.
然后分母实数化, 分子分母同时乘 以分母的共轭复 数
结果化简成代数 形式
当堂检测：
计算：
（1）(7-6i)(-3i) （2）(3+4i)(-2-3i)
1 i （3 ） 1 i
7i （4） 3 4i
高考演练：
归纳总结：
通过本节课的学习，你有什么收获？ 请从知识、技能、数学思想方法、 解决问题的经验等方面谈谈你的感想.
3.复数的乘法
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘 积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i.
即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数.
3.2复数代数形式的 四则运算
高二数学备课组 张鹏升
复习回顾：复数的几何意义
复平面内的点Z(a,b) 复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
复平面
一一对应
uuu r 复平面内的向量OZ (a, b) （形）
1.复数的模等于向量的模：
y虚轴
b
z | a bi | a 2 b 2
布置作业：
P112 习题1，4，5