6.2用留数定理计算实积分

引理6.1：
引理3.1设f(z)是闭区域
1 Argz 2, r0 | z | (r0 0,0 1,2 )
上连续的复变函数，并且设 r 是 以 O 为 心 、 r
为半径的圆弧在这闭区域上的一段 (r r0) 如果 当z在这闭区域上时，
lim f (z) 0,
z
那么我们有
lim f (z)eizdz 0.
r r
引理6.1：
证明：设M(r)是f(z)在 r 上的最大值，则有
| f (z)eizdz | M (r) etsin rd
r
r
M (r)
er sin rd 2M (r)
2 er sin rd .
0
0
因为当 0 时，
2
2
sin
1,
引理6.1：
所以
2 ersin rd
与r 为半径的半圆 与r
于是我们有
reix dx eiz dz e r ix dx eiz dz 0,
x
z r
x
z
在这里沿 与r 的积分分别是按幅角减小与
增加的方向取的。
现在求当 趋近于0时，
eiz dz 的极限。
z
例4：
当z0时
eiz
1 h(z),
zz
其中h(z)是在z=0的解析函数。因此
2iRes
(
(1
1 z
2
)2
,i)
2i
1 4i
2
.
其中r 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按 幅角增加的方向取的。
例2：
现在估计积分
dz
r (1 z2 )2
我们有
|
r
dz (1 z2
)2
|
(r 2
1 1)2
r,
因此
令 r
lim
r
dz r (1 z2
，就得到
)2
0,
dx
(1 x2
求积分收敛，并且
I
2
留数定理的应用--儒歇定理:
应用留数定理，我们也可以解决有关零点 与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我 们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一 些区域内根的个数。
儒歇定理（定理6.2）设D是在复平面上的一个 有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线 。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解 析，并且在C上，|f(z)|<|g(z)|，那么在D上，f(z) 及 f(z)+g(z)的零点的个数相同。
按幅角增加的方向取的。
现在例应3用：引理3.1，取
f
(z)
z
1 2
1,1
0,2
, r0
2
那么在这引理中所设各条件显然成立。
因此，令r ，就得到
lim
r
r r
x
eix 2
1
dx
e
,
从而可见积分I收敛，并且 I .
2e
注解：
注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形
如
I f (x)eixdt,
eix 1)
dx
1 2
r r
eix x2
dx, 1
eiz
函数 z2 1 在 y 0
去有一阶极点z=i外，在
其他每一点都解析。取积
分区域如图，而只要取
r>1。于是我们有
例3：
于是我们有
r r
eix x2
dx 1
r
z
eiz 2
1
dz
2i
Re
s(
z
eiz 2
1
,
i)
Baidu Nhomakorabea
e
,
其中 r 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是
例4： 例4、
计算积分
I
sin x dx,
0x
解：取 及r ，使 r 0 ，我们有
rsin x dx reix eix dx
x
2ix
i [ reix dx e r ix dx],
2 x
x
函数 eiz 只是在z=0有一个一阶极点。
z
例4：
作积分路径如下图。在上
半平面上作以原点为心、
eiz dz 1 dz h(z)dz i h(z)dz,
z
z
由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，
| f(z)|有上界 M
于是当 充分小时
| h(z)dz | M 2,
例4：
从而 lim
eiz dz i,
z 0
令 0, r ，应用引理3.1，可以得到所
i a2 1 a2 1
注解：
注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形
如
2
I 0 R(sin t,cost)dt,
的 积 分 ， 其 中 R(x,y) 是 有 理 分 式 ， 并 且 在 圆
C:|z|=1上，分母不等于零。
例2：
例2、 计算积分
I
0
(1
dx x2
)2
,
解：首先，这是一个广义积分，它显然是收敛 的。我们应用留数定理来计算它。考虑函数
例1、
例1、 计算积分 I 2 dt ,
0 a sin t
其中常数a>1。
解：令 eit z ，那么sin t
1
(z
1),dt
dz
2i z
iz
而且当t从0增加到 2
时，z按反时针方向绕 圆C:|z|=1一周。
例1、
因此
I
C
z2
2dz 2iaz
, 1
于是应用留数定理，只需计算
2
z2 2iaz 1
2 r
2 e rd
0
0
2 r
e rd
.
0
2
又因为 lim f (z) 0, 所以，lim M (r) 0,
z
|z|
lim f (z)eizdz 0.
r r
例3：
例3、
计算积分 I
0
cos x x2 1
dx,
解：取r>0，则有
r 0
cos x x2 1
dx
r 0
eix 2( x 2
复杂，例如
1
(1 x2 )2
dx,
留数定理的应用--积分的计算:
利用留数计算积分的特点： （1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的 问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的 留数，从而大大化简了计算； （2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方 法，我们主要通过例子进行讨论；
（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分 ，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨 论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解 析函数来计算积分的问题，同学们可以自学。
1
(1 z2 )2
这个函数有两个二阶极点 ，在上半平面上的一个是 z=i。作以O为心、r为半径 的圆盘。
例2：
考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为
Cr。 Cr取
取r>1，
1 (1 z2 )2
那么z=i包含在 的积分，得
Cr
的
内
区
域
内
。
沿
r dx
dz
r (1 x2 )2 r (1 z 2 )2
在|z|<1内极点处的留数，就可求出I。 上面的被积函数有两个极点：
z1 ia i a2 1 z2 ia i a2 1 显然 | z1 |1,| z2 |1
例1、
因此被积函数在|z|<1内只有一个极点z1，而它在
这点的留数是：
Res(
f
,
z1)
2z1
2
2ia
i
1. a2 1
于是求得
I 2i 1 2 .
注解：
注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域 边界上模的值。
注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点 个数好计算。
例1:
例1、 求方程 z8 5z5 2z 1 0,
在|z|<1内根的个数。
解：令 f (z) 5z5 1, g(z) z8 2z,
由于当|z|=1时，我们有
第六章 留数理论及应用
第6.2节 用留数定计算实积分
留数定理的应用--积分的计算:
在数学分析中，以及许多实际问题中，往 往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而 这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等 函数表示出来；例如
sin x
x
dx,
ex2 dx,
c os x 1 x2
dx,
或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常
| g(z) || ez | ecos e,| f (z) || azn | a e,
azn-ez在|z|<1内的零点的个数与azn相同，即n个
，因此方程
ez azn
在单位圆内有n个根。
| f (z) || 5z5 | 1 4,
而
| g(z) || z8 | | 2z | 3,
已给方程在|z|<1内根的个数与-z5+1在|z|<1内根 的个数相同，即5个。
例2:
例2、 如果a>e，求证方程 ez azn
单位圆内有n个根。
证明：令 g(z) ez , f (z) azn , 由于当 | z || ei | 1 时，
的积分，其中f(x)在 Im z 0 上 可 能 有 有 限 个 孤
立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在Im z 0
上时，引理中的条件满足。
注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西 主值。
说明：
如果函数f(x)在上上半平面可能有有限个孤 立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上 有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分， 同样，所求出的广义积分（无限积分与瑕积分 ）也是其柯西主值，如下面的例子。
)
2
.
2
从而
I
1 2
dx (1 x2 )2
.
4
注解：
注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西
主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主
值。
注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形
如
I R(x)dx,
的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不 为零，并且分母的次数比分子的次数至少高2次 ，即积分绝对收敛。