4.4电磁感应中的双杆问题分类例析

电磁感应中的双杆问题分类例析“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析1、“双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

2.“双杆”在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。

【例5】如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M 的物体C ，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。

开始时使a 、b 、C 都处于静止状态，现释放C ，经过时间t ，C 的速度为1υ、b 的速度为2υ。

不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g ，求：（1）t 时刻C 的加速度值；（2）t 时刻a 、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。

解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路的感应电动势12()E Bl tφυυ∆==-∆ ① 回路中感应电流 2E I R =② 以a 为研究对象，根据牛顿第二定律 T BIl ma -= ③以C 为研究对象，根据牛顿第二定律 Mg T Ma -= ④联立以上各式解得 22122()2()MgR B l a R M m υυ--=+ （2）解法一：单位时间内，通过a 棒克服安培力做功，把C 物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b 棒的动能，所以，t 时刻闭合回路的电功率等于a 棒克服安培力做功的功率，即221211()2B l P BIl Rυυυυ-⋅== 解法二：a 棒可等效为发电机，b 棒可等效为电动机a 棒的感应电动势为 1a E Blv = ⑤闭合回路消耗的总电功率为 a P IE = ⑥联立①②⑤⑥解得 221211()2B l P BIl Rυυυυ-⋅==解法三：闭合回路消耗的热功率为 222212()22B l v v E P R R-==热 b 棒的机械功率为 221222()2B l v v v P BIl v R-=⋅=机 故闭合回路消耗的总电功率为 P P P =+=热机22121()2B l Rυυυ-⋅ 说明：在单位时间t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B ＝的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨模型：a 棒可等效为发电机，b 棒可等效为电动机的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20 m．两根质量均为m＝0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝，金属杆甲的加速度为a＝1.37 m／s，问此时两金属杆的速度各为多少本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．解析：设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v l和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变△S＝[(x一ν2△t)+ν1△t]l—lχ＝(ν1-ν2) △t由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E＝B△S/△t＝Bι(ν)l一ν2回路中的电流 i＝E／2 R杆甲的运动方程 F—B l i＝ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量(t＝0时为0)等于外力F的冲量． Ft＝mνl＋mν2联立以上各式解得ν1＝[Ft/m＋2R(F一ma)／B2l2]／2 ν2＝[Ft／m一2R(F 一ma)／B2l2]／2代入数据得移νl＝8.15 m／s，v2＝1.85 m／s【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20= 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量2022041)2(2121mv v m mv Q =-= （2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：10043mv v m mv += 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )43(10-=，RE I 2= 此时cd 棒所受的安培力： IBLF = ，所以cd 棒的加速度为 m F a =由以上各式，可得 mRv L B a 4022= 。

【例3】两根相距d =0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B =，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r =Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v =5.0m/s ，如图所示.不计导轨上的摩擦.（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.（2）求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动过程中共产生的热量. 解析：（1）当两金属杆都以速度v 匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E 1=E 2=Bdv 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：r E E I 221+=因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F 1=F 2=IBd 。

由以上各式并代入数据得22221102.3-⨯===rv d B F F N （2）设两金属杆之间增加的距离为△L ，则两金属杆共产生的热量为vL r I Q 222∆⋅⋅=， 代入数据得 Q =×10-2J.【例4】如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B ，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为12m m 、和R 1、R 2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0v 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

解法1：设杆2的运动速度为v ，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势 )(0v v Bl E -= ①感应电流 21R R E I += ② 杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，g m BlI 2μ= ③导体杆2克服摩擦力做功的功率 gv m P 2μ= ④解得 )]([2122202R R l B gm v g m P +-=μμ ⑤解法2：以F 表示拖动杆1的外力，以I 表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 01=--BIl g m F μ ①对杆2有 02=-g m BIl μ ②外力F 的功率 0Fv P F = ③以P 表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有01212)(gv m R R I P P F μ-+-= ④由以上各式得 )]([212202R R l B gm v g m P g +-=μμ ⑤【例5】如图所示，在倾角为300的斜面上，固定两条无限长的平行光滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B ＝，导轨间距L ＝0.5m 。

两根金属棒ab 、cd 平行地放在导轨上，金属棒质量m ab ＝0.1kg ，m cd ＝0.2kg ，两金属棒总电阻r ＝Ω，导轨电阻不计。

现使金属棒ab 以v ＝1.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动，求（1）金属棒cd 的最大速度；（2）在cd 有最大速度时，作用在金属棒ab 上的外力做功的功率。

说明：（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。

在第（1）问的分析中，也可以对cd 棒的运动方向进行判断，因为不管cd 的运动方向如何，它速度最大时m cd gsin300=I ’lB 式一定成立 。

直接解m cd gsin300=I ’lB 、ε＝Blv ＋Blv m 、I ’＝ε/r 式，若v m 为正值则表示方向沿轨道向下，若为负值则表示方向向上。

（2）对第（2）问的求解方法比较多。

选研究对象时，可以用“整体法”，也可以用隔离法。

求功率时，可以根据定义P ＝Fv 计算，也可以根据能的转化和守恒定律求解。

【例6】如图4所示，金属棒a 跨接在两金属轨道间，从高h 处以速度v 0沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B.在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静(1）a棒进入磁场后做什么运动b棒做什么运动（2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.(3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大(4）在整个全过程中，回路中消耗的电能是多大[解析] 1．a棒在下滑过程中只有重力做正功，动能增加，做加速运动.进入轨道的水平部分后在磁场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而在a、b棒与两滑轨组成的闭合回路中产生感应电流，a棒由此而受到向左的安培力F a作用，运动受阻而开始减速．由于速度变小，感应电动势、感应电流及安培力都在减小，所以a棒的运动性质是加速度逐渐减小的减速运动．与此同时，b棒则受到向右的安培力F B作用自静止起做加速运动．随上述感应电流的减小，受到的F B也会相应减小，所以b棒的运动性质是加速度逐渐减小的加速运动．当a、b两棒速度相等时，回路中磁通量不再变化，因而不再有感应电流产生，a、b棒所受安培力都变为零，自此以后，两棒将以相等的速度——即b棒所能达到的最大速度向右做匀速运动．2．从a棒进入磁场后直到做匀速运动以前，a、b棒都做加速度不断在变化的变速运动.由于是在同一匀强磁场中，回路中的感应电流各处相等，a、b两棒跨接在滑轨之间部分的长度也相等，所以各时刻a、b两棒分别所受的安培力总是等值反向的（F a=|F B|=ilB）．因此，根据牛顿第二定律,尽管加速度随时间都在逐渐减小,但对于同一时刻来说,这一比值则总是确定的．3．a棒进入磁场之初的速度最大，设为v a．根据动能定理，在水平轨道上运动过程，由于在两棒与轨道组成的系统中，F a与F B总是等值反向的，即合外力始终为零，所以这个系统动量守恒．设两棒最后共同运动速度为v '，则有v ' 也就是b棒的最大速度v B．4．在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能E电必须根据能量守恒计算，【例7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。