北师大版数学4.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案 (北师大选修1-2)

高中数学：4.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案 （北师大选修1-2）

教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？

（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）

2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：

（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？ 实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？

二、讲授新课：

1. 教学复数的概念：

①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--

规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。 ②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？

③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。

④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩

实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b

上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？

2例题2：51P 实数m 取什么值时，复数

1(1)z m m i =++-

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 （引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）

练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。（讨论3(4)k i +-中，k 取何值时是实数？）

三、总结提升：

复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

四、反馈练习：

1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（ ）

（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-

2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）

（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6

3．下列命题中，假命题是( )

（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小

（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小

4．设z ＝i a a a a a )152(5

4522-++-+-为实数时，实数a 的值是（） A.3 B.－5 C.3或－5 D.－3或5 5．复数2(2)(11)()a a a i

a R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 6．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =

7．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______.

8．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。

9．已知关于y x ,的方程组⎩

⎨

⎧-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(,)3()12(有实数，求,a b 的值。

10．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时

（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限

11．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

()()

,84,80,6,,2921,7,03i i i i i -+--⨯-

12．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。( )

② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。( )

13.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？

14.已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)Z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：

（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零

五．学后反思