材料力学总复习全解

极限设计的强度条件为
M u max M u WS
附录Ⅳ
一、静矩
A
截面的几何性质
S y z dA A xc ;
A
S x y dA A yc ;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心； 二、极惯性矩
I P 2 dA;
d 2w M( x ) M( x ) 或 w " dx2 EI z EI z
第五章
梁弯曲时的位移
tan
dy dx
对等截面梁，将上式逐次积分得到梁的转角和挠度方程 1 dw 1 y ( M ( x )dx )dx Cx D M ( x ) dx C
2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或 分散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布 的集中或分散程度。
一、挠度和转角 梁的挠曲线—平面弯曲梁变形后轴线在纵向对称平面内弯成的光滑曲线。 （1）挠度 梁任一横截面形心沿垂直梁轴方向的线位移，称为该截面的 挠度，通常用w表示，并以向下为正。其单位用mm或m表示。 （2）转角 梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的 转角，用θ表示，并以顺时针转动为正。单位用弧度（rad）表示。 二、挠曲线的近似微分方程 三、积分法计算梁的位移
四、扭转变形 受力特点：作用在垂直于杆轴平面内力偶矩相等、转向相反的外力偶。 变形特点：相邻截面绕杆轴相对旋转变形。 五、扭转圆轴横截面上的内力 —扭矩（图） 扭矩的符号规定—右手螺旋法则。 六、扭转圆轴横截面上的应力——切应力 ——切应力τ 沿直径线性分布；垂直直径，转 M x IP 向与扭矩一致；最大切应力位于圆周上各点。 T T d4 d3 max R
FS Fiy
M M o ( Fi )
三、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 土建工程规定：正值的剪力画在轴线上方;正值的弯矩画在轴下方。 内力方程法绘制梁的内力图： 首先列出梁的内力方程；然后根据方程作图。 四、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 弯矩、剪力、分布荷载集度之间的微分关系
dFS ( x) q( x) dx (4.3)
四、材料在拉伸和压缩时的力学性能 1. 低碳钢拉伸时的力学性能： 弹性阶段（比例极限σp）、 屈服阶段（屈服极限σs）、 强化阶段（强度极限σb）、 颈缩阶段 2. 材料的力学性能特征值： 强度(σs,σb )、塑性(δ,ψ)、弹性(E, μ) 3. 两类材料力学性能的比较： 塑性材料破坏前有明显的塑性变形，δ≥5%，拉压性能相同； 脆性材料破坏前无明显的塑性变形，δ<5% ，抗压不耐拉。 五、拉（压）杆的强度计算
六、主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 七、平面图形几何性质的几何意义：
1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度；
FS AS
F

剪切面一般为平行于外力作用 方向的构件内部截面。 计算挤压面一般为构件接触表面 在与外力垂直方向的投影平面。
bs 挤压强度条件： bs A bs bs
F F 主板危险截面一般在靠近外 主板抗拉强度条件： A j t( b m d ) 力的第一排铆钉处。
一、梁的平面弯曲的概念和计算简图
第四章
弯曲应力(内力)
弯曲变形受力特点：杆件受到垂直杆轴的外力或杆轴平面内的外力偶作用。 变形特点：杆轴线由直线变成曲线。 平面弯曲——外力作用面（纵向对称平面）与杆轴弯曲面重合。 梁的计算简图：梁本身、荷载、支座的简化。 二、梁的内力——剪力和弯矩 剪力FS—限制梁段沿截面方向移动的内力；单位：N、kN。 弯矩M —限制梁段绕截面形心O转动的内力矩；单位：N·m、kN·m。 符号规定：使截面邻近梁微段有顺时针转动趋势的剪力为正值，反之为负值。 使截面邻近梁微段产生下边凸出，上边凹进变形的弯矩为正值，反之为负值。 直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力） 梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力 沿截面方向投影的代数和；外力使截面产生顺时针转动趋势时（或左上右下） 该截面剪力为正，否则为负。 梁任一横截面上的弯矩数值等于该截面一侧(左侧或右 侧)所有外力对截面形心力矩的代数和；外力使梁段产生上 凹下凸变形时(或左顺右逆)该截面弯矩为正，否则为负。
FS B FS A q( x )dx;
A
B
M B M A FS ( x )dx;
A
B
A、B两点间分布荷载图形的面积
A、B两点间剪力图形的面积
弯矩、剪力、荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用(梁内力图规律) q=0 梁段 q=c 梁段 F作用截面 m 作用截面
梁 外
力
横截面上正应力的分布规律 ①梁横截面上某点处的正应力与该截面上的弯矩和该点到中 性轴的距离y成正比，与该截面对中性轴的惯性矩成反比；②沿截 面高度正应力线性分布；③中性轴上各点正应力为零；④中性轴 把截面分为拉压两个区域，离中性轴越远正应力越大；截面上下 边缘正应力最大；⑤与中性轴等远各点正应力相同。
FS max S z max FS max k [ ] Iz b A
四、梁的合理截面（提高梁正应力强度的措施） 1.合理安排梁的支座和荷载，降低Mmax 2.采用合理的截面形式,提高Wz
1）材料配置离中性轴远； 2）选WZ/A值大的截面;许用拉压应力不相等 时采用不对称于中性轴的截面; 3）采用等强度梁 五、梁的极限弯矩
Tmax Wp Tl l 段等直圆轴的扭转角 GI p T 180
max
三类强刚度计算问题：校核、设计、确定许可荷载。 九、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形
GI


τmax
max 发生在长边中点：
T T Wp hb2
单位长度扭转角：
T T GIt Ghb3
FN Fix
FN 横截面正应力在截面上均匀分布； 拉为正，压为负。 A σ 2 σ σ cos a τ sin 2a 斜截面应力： a a 2
σ－拉为正；τ－
三、拉压杆变形 ； α－
胡克定律(弹性范围)： E 拉压杆(l段内F、E、A不变) : l Fl FN l EA EA
FN max max 强度条件： A 三类强度计算问题：校核(105%[σ])、设计(取整)、确定许可荷载(平衡)。 六、应力集中的概念 由于截面尺寸突然改变引起的局部应力急剧增大现象，称为应力集中。 对脆性材料危害严重，必须考虑应力集中的影响。
第三章
剪切和扭转
一、剪切变形 受力特点：杆件在垂直杆轴方向作用大小相等，方向相反， 作用线相距很近的平行外力。 变形特点：两外力之间的截面发生相对错动变形。 二、挤压变形的受力特点和变形特点。 挤压---是指两个构件传递压力时相互接触面局部受压现象。 三、连接件的强度计算 连接部位的破坏形式: 连接件被剪断、挤坏和主板被拉断。 连接部位的强度计算： 剪切强度条件:
一、概念
第二章
轴向拉伸和压缩
轴向拉伸(压缩)变形受力变形特点：轴向外力产生轴向伸长(缩短)变形。
内力——由于外力引起的构件内部相邻部分相互作用力的改变量。 截面法——1）截开；2）代替；3）平衡。
拉压杆内力——轴力FN: 拉为正，压为负。 二、轴向拉压杆截面上的应力 应力——内力在截面上某点处的分布集度。
剪 力 图
弯 矩 图
q(x)=0梁段：剪力图 为平行线。弯矩图为
斜直线。
q(x)=常量梁段：剪力图 为斜直线;弯矩图为二次
曲线 FS=0的截面：弯矩M有极 值。
q(x)=线性函数梁段： 剪力图为二次抛物线;
弯矩图为三次抛物线.
集中力F作用截面：剪 力图发生突变，且突变 值等于该集中力的大小 ；弯矩图出现尖角，且 尖角的方向与集中力的 方向相同。
横截面上的最大正应力：
max
Mymax
WZ
IZ ymax --截面对中性轴的弯曲系数
z

M WZ
3 2 4 3 bh bh D D 矩形 I 圆形 ; WZ . Z IZ ; WZ . 12 6 截面 64 32 截面 3 D 4 D d 4 4 I ( 1 ); W ( 1 ). ( ) 圆环形截面： Z Z 64 32 D
32 D 4 圆环截面：I p （ 1 － 4） 32 圆截面： I p Wp 16
Wp （ 1 － ） D 16
4
D 3
d
IP
Wx
—内外径的比值
七、扭转圆轴的强度计算 八、扭转圆轴的变形和刚度计算
强度条件： max

圆轴扭转时的刚度条件： max
;
2 2 2 几何关系： I p A dA A ( y x )dA I x I y .
四、惯性积
I xy x y dA;
A
五、平行移轴公式
; I x xc a2 A; y yc b2 A; I x1 y1 I xy abA
第一章
绪论
一、材料力学的研究对象、任务和研究方法 荷载——作用在建筑物或结构上的外力及其自身重力。 结构——建筑物中承受荷载并起骨架作用的部分。 构件——组成结构的单个部件。 材料力学的研究对象——杆件。 杆件的承载能力—包括 强度、刚度和稳定性。 强度——构件抵抗破坏的能力； 刚度——构件抵抗变形的能力； 稳定性——构件保持原有平衡状态的能力。 二、变形固体及其基本假设 变形固体——外力作用下形状尺寸发生变化的物体。 有关材料的基本假设：连续性、均匀性、各向同性； 有关变形的基本假设：小变形、线弹性。
等直梁的正应力 强度条件：
max
M max Wz
M 1 yl max t Iz
脆性材料梁的 强度条件：
t max
c max
M 2 y a max c Iz
校核切应力：①跨度较短的梁或者梁在支座附近有较大的 集中力作用；②非型钢组合截面；③木梁。 梁的切应力强度条件: max
二、梁横截面上的切应力
FS S * z ----τ沿截面高度抛 矩形截面梁切应力计算公式 I z b 物线规律变化
最大切应力计算公式
max
FS k A
矩形截面k=3/2; 圆形截面k=4/3; 圆环形截面k=2; 型钢截面k≈1.
三、梁的强度计算
最大应力所在截面称为危险截面， 危险截面上最大应力所在点称为危险点。
A
实心圆截面： I P 三、惯性矩
d
4
32
;
IP 空心圆截面：
D 4
32
( 1 4 );(
d ) D
I x y 2 dA;
A
I y x 2 dA;
A
bh3 ; 矩形截面： I z 12
hb3 Iy ; 12
圆形截面：I y I z
d 4
64Байду номын сангаас
dM ( x) FS ( x) dx (4.4)
内力图规律
d 2 M ( x) q ( x) dx 2 (4.5)
微分关系法画梁内力图： 求支座反力（悬臂梁可免）；将梁分段； 求分界截面（荷载变化处）内力值，按内力图规律绘剪力图、弯矩图； 确定内力最大值及其位置。
确定分界截面内力值的方法：截面法、直接法、积分法。
集中力偶作用截面： 剪力图不变化；弯矩 图发生突变，且突变 值等于该集中力偶的 力偶矩。
第四章
一、梁横截面上的正应力 纯弯曲梁横截面上任 一点正应力计算公式
弯曲应力
剪力(横力)弯曲梁横截面上任一点处有切应力τ和正应力σ。 且切应力τ只与剪力FS有关，正应力σ只与弯矩M有关。
My z
正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围 (σ≤σp)；③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）； ④细长梁的横力弯曲。