人教新课标版数学高一人教A版必修2教案 2.3.5三垂线定理(1)

2.3.5三垂线定理（1）
课 型：新授课 一、课题：三垂线定理
二、教学目标：1．掌握科学的概念，了解射影、斜线的定义；
2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。

三、教学重、难点：三垂线定理及其逆定理；三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系． 四、教学过程：
（一）复习：平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：
（二）新课讲解： 1．射影的有关概念：
（1）点的射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P '叫做P 在平面α内的正射影（简称射影）。

（2）图形的射影：如果图形F 上所有点在一个平面内的射影构成图形F '，则F '叫做F 在这个平面内的射影．
2．斜线的有关概念：
（1）斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线； （2）斜足：斜线和平面的交点；
（3）斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段． 由此，斜线段AB 在平面内的射影仍为线段，即为线段0A B ．
3．三垂线定理：
定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
α
B
A 0
A
直。

已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，
OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥， 求证：a PA ⊥。

证明：∵PO α⊥∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=
∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥．
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭
．
4．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（证明 略）
推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭
．
练习：Rt ABC ∆在平面α内，90,,C PC CD AB α∠=⊥⊥于点D ，请指出图形中的直角三角形。

,,,,,Rt ABC Rt ADC Rt BDC Rt PDA Rt PDB Rt PCA Rt PCB Rt PCD ∆∆∆⎧⎫
⎪⎪∆∆⎨⎬⎪⎪∆∆∆⎩⎭
三．例题分析：
例1．已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ， 求证：PA BC ⊥．
证明：∵点O 是ABC ∆的垂心，
∴AD BC ⊥
又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，PA ABC A =平面
所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．
a
α
O
A
P
α
D
C
B
A
P
O
D
A
C
B
P
α
P
O
E
F
C
B
A
例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上．
已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα∉⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =， 求证：BAO CAO ∠=∠．
证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，
∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理） ∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ∆≅∆， ∴AE AF =，又∵AO AO =， ∴Rt AOE Rt AOF ∆≅∆ ∴BAO CAO ∠=∠．
例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB ，高15m ，只有量角器和 尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点C ，使BC 与道路边所成的水平角等于90， 再在道路边取一点D ，使水平角45CDB ∠=， 测得,C D 的距离等于20m ，
∵BC 是AC 在平面上的射影，且CD BC ⊥ ∴CD AC ⊥（三垂线定理） 因此斜线段AC 的长度就是塔顶与道路的距离，
∵45,,20CDB CD BC CD m ∠=⊥=，∴20BC m =， 在Rt ABC ∆中得2222||152025()AC AB BC m =++=， 答：电塔顶与道路距离是25m ． 四、课堂小结：
1．射影和斜线的有关概念； 2．三垂线定理及其逆定理．
五、作业：
1．在正方体1AC 中，求证：正方体的对角线1A C 垂直于平面11AB D ．
2．如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别是,AB PC 的中点， 求证：AB MN ⊥．
3．已知：如图若直角ABC ∠的一边//BC 平面α，另一边AB 和平面α斜交于点A ，求证：
ABC ∠在平面α上的射影仍为直角。

课后记：。