(完整版)均值不等式知识点讲解及习题,推荐文档
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证： ；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则 ；(2)若 ，则 ；
(3)若a＝2，b＝3，则 ；(4)若a＝1，b＝5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．
课件5：§3.2 均值不等式
解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112， 当且仅当 x＝13－x， 即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值． 解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．
均值不等式知点讲解及习题
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么（当且仅当a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大.2a b+≥ab).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+xy2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n....2121n n n a a a a a a ≥+++（不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练） 例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:2a b +≥,,: 2.ba ab ab+≥已知都是正数求证9)11)(11(≥++yx（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值） 例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x 、y ∈ ,则x+4y=1,求x .y 的最大值+R .lg lg lg 2lg 2lg 2lg c b a c a b c b a ++>+++++例4、若正数a,b 满足求a+b的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式复习课件
利用高维空间中向量模长的平方与点积之间的关系，通过数学推导证明该不等式。
高维空间中均值不等式的应用
在解决高维空间中的优化问题、概率统计问题以及机器学习算法中，可以利用高维空间中的均值不等式 进行求解。
06
练习与思考题
基础练习题
基础练习题1
已知$x > 0，y > 0$，求证：$frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。
04
均值不等式的应用举例
在数学解题中的应用
01Leabharlann 代数问题均值不等式可以用于解决代数问题，例如求最值、证明不等式等。通过
运用均值不等式，可以将问题转化为对基本不等式的理解和运用。
02 03
几何问题
在几何学中，均值不等式常常用于解决与面积、周长和体积等几何量相 关的问题。例如，利用均值不等式求得几何体的最大或最小面积、周长 等。
如果将不等式中的每一项 都乘以一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
可加性
如果将不等式中的每一项 都加上一个正数$k$，则 不等式的方向不会改变。
应用场景
最大最小值问题
证明不等式
利用均值不等式可以求出函数在某个 区间上的最大值和最小值。
利用均值不等式可以证明一些数学上 的不等式。
优化问题
在生产和经济活动中，经常需要通过 调整某些参数使得某个指标达到最优 ，此时可以利用均值不等式进行求解 。
供需分析
在微观经济学中，均值不等式用于分析市场供需关系。例如，利用均值不等式分析商品价 格与需求量之间的关系，以及生产成本与供给量之间的关系。
生产效率
在生产效率分析中，均值不等式可以用于评估生产过程中的资源配置效率。例如，利用均 值不等式分析生产要素之间的最优配置，以提高生产效率。
均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式知识点讲解及模拟题
第三节：基本不等式1、 基本不等式：（1）如果a 、b 是正数，那么（当且仅当a=b 时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 2、 基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等 三个正数的均值不等式： n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 4. 最值定理 设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥ （1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值 即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明）例1、证明基本不等式（跟踪训练） 2a b+≥ab).(22,R ,)4().(2,R ,)3().(2R,,)2()"",00(,0R,)1(222222等号时取当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈++.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+xy2P 222⎪⎭⎫ ⎝⎛S .33abc c b a ≥++.....n....2121n n n a a a a a a ≥+++2a b +≥,,: 2.ba ab ab+≥已知都是正数求证例2、（跟踪训练）例3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： （利用基本不等式求最值） 例3、（跟踪训练1）（跟踪训练2）若x 、y ∈,则x+4y=1,求x .y 的最大值 例4、若正数a,b 满足求a+b 的最小值（跟踪训练1）若正实数x,y 满足xy=2x+y+6,求xy 的最小值。
3.4基本不等式(均值不等式B5版)
3．4基本不等式：2ba ab +≤（均值不等式） 一、知识点：1．定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.故也叫均值不等式 说明：利用均值定理求最值时应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数; （2) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在。
即：“一正二定三相等”这三个原则。
可分别在“正”“定”“相等”三处设题 2、常用不等式有： （12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 二、例题分析： 例1：已知)0(1≠+=x xx y ，求 y 的最值。
（直用）例2：已知x ＞45,求函数y=4x-2 +541-x 的最小值 （变形应用）变式1、求函数12++=x x xy （x >0）的值域。
变式2、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值变式3、求函数41322++=x x y 的最小值。
例3：求函数2y =的最小值。
变式、求函数4sin sin y x x=+最小值（x ∈（0，900］）例4：当0＜x ＜4时，求y=x(9-2x) 的最大值。
（逆用）例5：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值。
（应用）变式、已知x+3y-2=0,求3271xy ++最小值。
例6：正数,x y 满足21x y +=，求y x 11+的最小值为。
（方法：“1”的代换）例7：已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值练习题 一、选择题1、设x,y 为正数，(x+y)(+x 1y4)的最小值为（ ） A ．6 B 9 C 12 D 15 2、已知正数,x y 满足1x y +=，则11x y+的最小值为（ ） .A 2 .4B .C 14 1.2D 3、若,x y 是正数，且191x y+=，则xy 有 （ ） .A ．最大值36 B ．最小值136 C ．最小值36 D ．最大值1364、在下列函数中，最小值是2的是（ ）.A 1(,y x x Rx =+∈且0x ≠） .B 2y =.C 22x xy -=+ .D 1s i n (0)s i n 2y x x x π=+<< 二、填空题5、若102x <<，则(12)y x x =-的最大值 。
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
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第三节：基本不等式
1、
基本不等式：
（1）如果a 、b 是正数，那么 （当且仅当a=b 时取“=”
）（
2）对基本不等式的理解：a ＞0，b ＞0，a,b 的算术平均数是
a+b/2，几何平均数是_________.
叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、
基本不等式的推广：
注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等
三个正数的均值不等式：
n 个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系
两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之
间的关系是：4. 最值定理
设x ＞0,y ＞0,由x+y ≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y 有最小值 ；
（2）若和x+y=S(定值），则积xy 有最大值2
a b
+≥ab ).
(22,R ,)4().(2,R ,)3().
(2R,,)2()"",00(,0R,)1(2
22222等号时取
当且仅当则若时取等号当且仅当则若时取等号当且仅当则若取时当且仅当则若b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b a a a a a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+∈=≥+∈=≥+∈==≥≥∈+
+.221122
2b a b a ab b
a +≤+≤≤+xy
2P
22
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛S .33
abc c b a ≥++.
....n
....2121n n n a a a a a a ≥+++
即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明）
例1、证明基本不等式 （跟踪训练）
例2、
（跟踪训练）
例
3、若x ＞0,y ＞0,x+y=1. 求证:
2
a b
+≥
,,:
2.b a
a b a b
+≥已知都是正数求证9)11)(1
1(≥++y
x
（跟踪训练）若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：
（利用基本不等式求最值）
例3、
（跟踪训练1）
（跟踪训练2）若x 、y ∈ , 则x+4y=1,求x .y 的最大值
+R .lg lg lg 2
lg 2lg 2lg
c b a c
a b c b a ++>+++++
例4、若正数a,b满足求a+b的最小值
（跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。
（跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。
y2
例5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0, 则的最小值为_________.
R
xz
（跟踪训练）若直线2ax －by+2=0(a ＞b ＞0）始终平分圆
的周长，则
的最小值为_________.例6、已知a 、b 都是正实数，且满足
求4a+b 的最小值
（跟踪训练）设x,y 满足约束条件 若目标函数
z=ax+by （a>0,b>0）的最大值为12，求
的最小值
b
a
1
1
（利用均值不等式判断不等式的成立）
例7、设a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是 （
）
A.
B.C. D.
（跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )
221
≥++ab
b a 4)11)((≥++b
a b a b
a ab
b a +≥+2
2ab b
a ab
≥+2。