不等式解法整式分式、根式

§6.5 不等式的解法（一）【一线名师精讲】 基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。

2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。

基本类型不等式的解法：(一)、整式不等式的解法1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若0<a 则不等号要反向。

2、一元二次不等式标准形式：2>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。

解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。

（3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。

当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤∆时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。

3、一元高次不等式（可分解因式型）标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a Λ或0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。

解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。

（2）求根：求出对应方程的根。

（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。

方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。

即“奇过偶不过”。

（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为)())((21>---n x x x x x x a Λ的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a Λ的解。

（二）、分式不等式的解法标准形式：0)()(>x f x g ，或0)()(<x f x g 。

解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。

若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以下原则去分母：（三）、根式不等式的解法标准形式：)()(x g x f >；)()(x g x f >；以及)()(x g x f <。

解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g 基本题型指要【例1】 解下列不等式或不等式组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+220)1)(3(2x x x x （2）0)4)(2()3(2≤-+-x x x（3）x x x x x <-+-+222322（4）02)1(2≥---x x x（1）思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。

解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>-<x x 或。

由222+<x x 得01)1(2>+-x ，所以R x ∈。

综上所述，原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，。

（2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ，用数轴穿根法易得原不等式的解集为：误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。

另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉3=x 这类解。

（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。

但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。

解析：将xx x x x <-+-+222322化为标准形式，得：0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ，因为012>++x x 恒成立，所以，0)1)(3()2(>+--x x x 。

用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}321|><<-x x x 或，。

（4）思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。

解析：原不等式等价于：02)1(2>---x x x ………………… (1)或2)1(2=---x x x ………………………（2）由（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧>->--01022x x x ，解得2>x ；由（2）得12-==x x ，或。

所以，原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或。

误区警示：请找出下面解法的错误：由022≥--x x ，得01≥-x ，所以，原不等式的解为1≥x 。

点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。

不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧。

其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式。

【例2】解下列关于x 的不等式：（1）02>+ax（2）x t tx )2(22+>+（3）)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a（1）思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ，由于a 的范围不明，无法直接变形，若将a 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了。

解析：由已知，2->ax 。

①、当0>a 时，a x 2->；②、 当0<a 时，ax 2-<；③、当0=a 时，20->恒成立，R x ∈。

故，原不等式解集当>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a x x 2|，当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a x x 2|，当0=a 时为R 。

（2）思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论。

本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ，在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根1与t2是否存在、谁大谁小。

此时，同一字母t形成了不同的分类，可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类（如图）。

解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x 。

① 当<t 时，可以化为0)2)(1(<+--tx x ，易知12<t，所以12<<x t。

② 当=t 时，原不等式即022>+-x ，所以1<x 。

③ 当20<<t 时，易知12>t，可得，1<x tx 2>或。

④ 当2=t 时，原不等式即0)1(22>-x ，所以1≠∈x R x ，且。

⑤ 当2>t 时，易知12<t，可得，tx 2<1>x 或。

综上所述，原不等式的解集当0<t 时，为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<12|x t x ；当0=t 时，为{}1|<x x ；当20<<t 时，为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x x x 21|，或；当2=t 时，为{}1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时，为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或。

误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论。

另外，在0<t 时，解集易错为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x tx x ，或。

（3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。

若令t x a =log 进行换元，会使书写变得更简便。

解析：按根式不等式的解题思路，易知原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-)3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛx x x x a a a a 由(1)得,32log ≥x a由(2)得,1log ,43log ><x x a a 或由(3)得.21log >x a由此得,1log ,43log 32><≤x x a a 或当1>a 时，易求得原不等式的解集为}|{4332a xa x a x ><≤，或；当10<<a 时，易求得原不等式的解集为}0|{3243a x a x ax <<≤<，或。

误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保证不等式的变形为等价变形。

点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论。

已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类很常见也很重要的题型。

由于该题型解法较为灵活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往往会觉得变化莫测而无可适从。

解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。

两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程或不等式，从而求出它们的值（或范围）。

【例3】已知不等式022>++bx ax （1）若不等式的解集为(31,21-)，求b a +；（2）若不等式的解集为R ，求b a 、应满足的条件。

（1）思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理列式解题。

解析：由题意，方程022=++bx ax 的二根为3121和-，所以，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->⨯-<aa b a b a 23121312102402易解得212-=-=b a ，，所以，14-=+b a 。

误区警示：不能遗漏条件0242>⨯-a b 和0<a 。

（2）思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。