空间几何体的体积计算

变式练习4.(2009深圳)如图AB是圆O的直径，点E、 F在圆O上，AB//EF,矩形ABCD所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2,AD=EF=1. (1)求证：AF⊥平面CBF; (2)设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF; C (3)设平面CBF将几何体 EFABCD分成的两个锥 D 体的体积分别为VF-ABCD, B M E VF-CBE，求VF-ABCD:VF-CBE. O
（1）求证：AE⊥BE； （2）求三棱锥D—AEC的体积．
变式训练2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面 ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP 的中点． （Ⅰ）求证：DM∥平面PCB； （Ⅱ）求直线AD与PB所成角； （Ⅲ）求三棱锥P-MBD的体积．
主视图 a 左视图
F E
G
D
C N
a a
俯视图
A
M
B
一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长 为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形） 如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是线 段DF上的一动点. ⑴求证：GN⊥AC;
F E
G
⑴由三视图可知，多面体是直三棱 柱，两底面是直角边长为a的等腰 直角三角形，侧面ABCD, CDFE是 边长为a的正方形。.. …2分 连结DN, 因为FD⊥CD, FD⊥AD, 所以FD⊥面ABCD, FD⊥AC. 又AC⊥DN， GN 面GND 所以AC⊥面GND， 所以 GN⊥AC……..4分
VE FMC VM CEF
1 AD S CEF 3
1 1 1 3 a aa a 3 2 6
…………………8分
一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长 为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形） 如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是线 段DF上的一动点. ⑶当G在何处时，AG//平面FMC.
A F
1.如图在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB//DC,PAD是等边三角形，已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4√5。 (1)设M是PC上一点，证明：平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积. P M D A C
B
已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E． （1）求证：AP⊥平面BDE； （2）求证：平面BDE⊥平面BDF； （3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P-ABC 所成两部分的体积比．
A E B E D C D C M
B
如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所 在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3， AB=6. （1）求证： AB⊥平面ADE； （2）求凸多面体ABCDE的体积．
B
A
VABCDE VE ABCD
1 S ABCD EF 3 C
D
图
EFra Baidu bibliotek
VABCDE VBCDE VB ADE
D N A M B
C
一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长 为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形） 如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是线 段DF上的一动点. ⑵求三棱锥F-MCE的体积；
F Q G D N A M B C E
⑵∵AD⊥面DCEF,点M在直线AB上, ∴三棱锥M-CEF的高就是AD,底面是 Δ CEF。
V P EBF V E PBF V P ABC V A PBC 1 h1 S PBF 2 1 3 . 1 3 2 3 h2 S PBC 3
如右图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，
平面EAB⊥平面ABCD, AE=EB=BC=2, F为
CE上的点，且BF⊥平面ACE．
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在棱长为4的正方体中，求三棱锥A－B1CD1的体积． D A B
C
O D1 C1 B1
A1
变式练习1.一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视 图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰 三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点， G是线段DF上的一动点. ⑴求证：GN⊥AC; ⑵求三棱锥F-MCE的体积； ⑶当G在何处时，AG//平面FMC.
F E
G
D N A M B
C
变式练习2.一个多面体的 直观图及三视图如图所 示 , 其中M、N、Q分别 是AF、BC、FC的中点. (1)求证:MQ⊥BF; (2)求证:MN∥平面CDE; (3)求多面体A—CDEF的 体积.
变式练习3: 已知四边形ABCD是等腰梯形, AB=3, DC=1,∠BAD=450, DE⊥AB, 现将 三角形ADE沿DE折起,使得AE⊥EB,连结 AC,AB,设M是AB的中点，如图. (1)求几何体A-EDCB的体积; (2)求证：BC⊥平面AEC. A