结构力学第二章几何组成分析
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结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
结构力学
二、几何组成分析的目的
（1）判别体系是否几何不变； （2）按什么规律组成一个几何不变体系; （3）区分结构是静定的还是超静定的。
返回
§2-2 刚片、约束、体系自由度 和计算自由度
一、体系自由度的定义：
体系自由度：体系的独立运动方式数，或确定体系位置所需的独立坐标数。 例如：平面内一个点有2个自由度，一个刚片有3个自由度。
在某一瞬间可以产生微小运动的体系，称为瞬变体系，它是可变体系 的一种特殊情况。
FN
瞬变体系在工程中不能采用。
FP 2 Sin
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
法则Ⅱ： 两刚片法则，两刚片用不完全 相交于一点且不完全平行的三 根连杆连接而成的体系，是几 何不变而无多余约束的。
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不变体系。
法则Ⅲ：三刚片六连杆法则，三刚片之间用六连杆彼 此两两相连接，六连杆所组成的三个铰不在 同一条直线上，则所组成的体系是几何不变 而无多余约束的。
讨论
虚铰在无穷远的情形
二元体的概念
二元体的定义：从任意基础上用不共线的两根连杆形成一个 新结点的装置。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系。
返回
例六
试分析图示体系是否为几何不变系
解：1.几何组成分析 去除二元体 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ符合三刚片法则。
2.结论：给定体系为几何不变无多余约束体系
返回
例七 试分析图示体系是否为几何不变体系
解：1.几何组成分析 ABEF与基础之间符合两刚片法则，组成新刚片Ⅲ 在刚片Ⅲ上增加一个二元体形成新节点G，由二元体的性质知 体系仍为几何不变，看作刚片Ⅳ CDHI看作刚片Ⅴ,刚片Ⅳ、Ⅴ之间三根连杆交于点D。 2.结论：该体系为几何瞬变体系。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
不完全铰节点 1个单铰
13/73
2-1 几何构造分析的几个概念
四、约束 两个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 则两者被连为一体成为一个刚片，自由 度由6减少为3。 一个单刚结点相当于3个约束。 单刚结点
三个互不相连的刚片，若用刚结点连接， 自由度由9减少为3。
由此类推:
复刚节点
连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n－1 个单刚结点或3(n－ 1)个约束。
A A
1 B
2 C B
1
3
2 C
B 1
A 2
C
几何可变 几何不变 有多余约束
几何不变 无多余约束
规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一 直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
23/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律
二、两个刚片之间的联结方式
A 2 B I 3 C
A II B I 3 C
16/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I
C
A
II
1 B
2 C
两根链杆彼此共线 1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。 左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。
17/73
2-1 几何构造分析的几个概念
六、瞬变体系
B 1
I II A
2
I A 1 B C 2 D
在体系运动的过程中，瞬铰的位臵随之变 化。 用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约 束的等效变换只适用于瞬时微小运动。
20/73
2-1 几何构造分析的几个概念
八、无穷远处的瞬铰
体系的几何组成分析-结构力学
结论：无多余约束的几何不变体系
（3）平面内三个刚片的连接
刚片Ⅱ B
铰A 刚片Ⅲ 链杆2
C
刚片Ⅰ
规律3 三个刚片用三个 铰两两相连，且三个铰 不在一直线上，则组成 无多余约束的几何不变 体系。
对象：刚片I、Ⅱ和Ⅲ 联系：铰A(Ⅱ和Ⅲ )、B ( I和Ⅱ)、C(I和Ⅲ )，三铰不共线 结论：无多余约束的几何不变体系
• 体温低于 35 ℃为体温过低： 危重患 者、 极度衰弱的患者失去产生足够热 量的能力 ，导致体温
• 低温治疗： 临床上由于病情需要，常 采用人工冬眠或物理降温作为治疗措 施
作业
、发热的类型有哪几种 、发热常用的处置方法有哪些
➢ 杆件与杆件之间的连接—结点
单铰结点 2个约束
链杆 1个约束
单刚结点 3个约束
2.2 自由度和约束
2.2 自由度和约束
教学目标：
掌握自由度的基本概念 掌握约束的定义与分类
教学内容：
自由度 约束
知识点
自由度
✓等于体系的独立运动方式。
✓等于体系运动时可以独立改
y
变的坐标数目。
B
y
A
x x
一个点在平面内有两个自由度。
工程结构的自由度等于零
y
y
x x
一个刚片在平面内有三个自由度。
解：三角形法则，得刚片Ⅰ 、Ⅱ 对象：刚片Ⅰ、Ⅱ 联系：铰A，链杆1，不共线 结论：几何不变，无多余约束
例5： 分析体系的几何组成。
B
C
A
ⅠⅡ
解：去二元体，得
对象：刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 联系：铰A，B、C，不共线 结论：几何不变，无多余约束
Ⅲ
例6： 分析体系的几何组成。
结构力学第二章结构的几何组成分析
结构系统结构系统 结构系统 平面中的固定铰支座能消去2个自由度（2个线位移），但不能消除转动，因此对应2个约束，c =2空间中的固定铰支座能消去3个自由度, 因此对应3个约束，c =3 平面固支，c =3空间固支，c
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
精品课件
例2-4-3
精品课件
分析图:
(a)
精品课件
(b)
(c)
精品课件
(d)
(e)
精品课件
说明：
1、通过本题中的两例可知，当上 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。
精品课件
2、(a)所示体系先去掉与大地的支 座约束后，对上部体系可依次去掉 二元体213、453、563后，体系简化 成一铰接三角形，所以原体系是无 多余约束的几何不变体系。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工管系
精品课件
第二章 平面体系的几何组成分析
精品课件
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
精品课件
其目的在于:
❖ 了解和掌握结构的基本组成规律和
合理组成形式。正确区分各类体系， 判定结构；选择合理的结构形式。 ❖ 根据各类结构的几何组成，选择 正确的计算方法和简捷的解题途径。
几何不变体系
精品课件
(2)内部几何不变体系
若作为几何组成分析的结论， 内部几何不变体系指仅除大地 外的体系的整体。
精品课件
(a)
(b)
精品课件
(c)
(3)刚片
在平面问题中，刚性体化为平面 内的一个不会有变形的面，则称 这个面为刚片.刚片在其平面内， 任意两点间的距离都保持不变。
精品课件
(4)几何瞬变体系
对体系加载时，体系在瞬时内发 生微小位移，然后便成为几何不 变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）
精品课件
(a)
精品课件
结构力学第二章杆件结构的几何组成分析
结构力学第二章杆件结构的几 何组成分析
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
A
A
B
B C
结构必须是几何不变体系。
二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
y xA y x
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-3 确定图示体系是否为几何不变体系。
1
2
3
无多余约束的 几何不变体系
几何可变体系
有多余约束的 几何不变体系
例2-4 确定图示体系是否为几何不变体系。
A
Ⅰ
B
C
Ⅱ
例2-6 确定图示体系是否为几何不变体系。
Ⅰ Ⅱ
例2-7 确定图示体系是否为几何不变体系。
C
C
A
B
A
B
练习：
讨论：三杆平行或三杆交于一点
常变体系
练习
A
瞬变体系
A
瞬变体系 常变体系
三. 二元体规则 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个
新结点的装置.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 例2-8 确定图示体系是否为几何不变体系。
根据计算自由度能否判
思考：支座是不是约束？刚结点是不是约束？
刚片 几何形状不能变化的平面物体
本章假定:所有构件均为刚。 构成无多余约束的几何不变体系. 无多余约束的几何不变体系为静定结构
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系
几何不变体系
几何可变体系
A
A
B
B C
结构必须是几何不变体系。
二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
y xA y x
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-3 确定图示体系是否为几何不变体系。
1
2
3
无多余约束的 几何不变体系
几何可变体系
有多余约束的 几何不变体系
例2-4 确定图示体系是否为几何不变体系。
A
Ⅰ
B
C
Ⅱ
例2-6 确定图示体系是否为几何不变体系。
Ⅰ Ⅱ
例2-7 确定图示体系是否为几何不变体系。
C
C
A
B
A
B
练习：
讨论：三杆平行或三杆交于一点
常变体系
练习
A
瞬变体系
A
瞬变体系 常变体系
三. 二元体规则 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个
新结点的装置.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质. 例2-8 确定图示体系是否为几何不变体系。
根据计算自由度能否判
思考：支座是不是约束？刚结点是不是约束？
刚片 几何形状不能变化的平面物体
本章假定:所有构件均为刚。 构成无多余约束的几何不变体系. 无多余约束的几何不变体系为静定结构
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
m＝9
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
结构力学-几何组成分析
复铰 等于多少个 单铰？
1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
体系的计算自由度：
结 构 力 学 第 二 章
bicea
计算自由度等于刚片总自由度数 减总联系数
W = 3m-(2h+b) m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
除去联系后，体系的自由度并不 改变，这类联系称为多余联系。
图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的联系。 下部正方形中任意 一根杆，除去都不增 加自由度，都可看作 多余的联系。
结 构 力 学 第 二 章
bicea
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但 布置不当 几何可变。 上部有多 余联系， 下部缺少 联系。
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
结 构 力 学 第 二 章
bicea
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
23
Ⅲ
Ⅰ
O13
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G
E
D
找刚片 无多几何不变
结 构 力 学 第 二 章
bicea
F
G E
D
如何变静定？ 唯一吗？
C
结 构 力 学 第 二 章
bicea
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “体系组成分析的计 算机方法” 做这一小论文的 找我要参考资料
结 构 力 学 第 二 章
bicea
可选小论文题之一 “论三刚片六杆 连接体系的可变性” 或 “体系组成分析的计 算机方法”
结构力学龙驭球第2章结构的几何构造分析ppt课件
§2-2
平面几何不变体系的组成规律
例2-3 试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各 三铰拱的几何不变性。
两相
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰OⅠ,Ⅱ、OⅡ,Ⅲ、OⅠ,Ⅲ两
连，其中 OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆
1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何
不变，且无多余约束。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
S—体系自由度的个数 n—体系多余约束的个数 W—计算自由度
体系是由部件加约束组成：
a—各部件的自由度数的总和 c—全部约束中的非多余约束数 d—全部约束的总数
S=a-c S-W=n
W=a-d
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
§2-2
平面几何不变体系的组成规律
四种基本组成规律
三种基本装配格式
（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定 在基本刚片上，称为简单装配格式。如图：
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
§2-1
几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基 础相连接， 则两根链杆的交点在无穷 远处。两根链杆所起的约束作用相当于 无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
平面几何不变体系的组成规律
例2-3 试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各 三铰拱的几何不变性。
两相
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰OⅠ,Ⅱ、OⅡ,Ⅲ、OⅠ,Ⅲ两
连，其中 OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆
1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何
不变，且无多余约束。
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
S—体系自由度的个数 n—体系多余约束的个数 W—计算自由度
体系是由部件加约束组成：
a—各部件的自由度数的总和 c—全部约束中的非多余约束数 d—全部约束的总数
S=a-c S-W=n
W=a-d
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
§2-2
平面几何不变体系的组成规律
四种基本组成规律
三种基本装配格式
（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定 在基本刚片上，称为简单装配格式。如图：
资金是运 动的价 值，资 金的价 值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
§2-1
几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基 础相连接， 则两根链杆的交点在无穷 远处。两根链杆所起的约束作用相当于 无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
结构力学第二章几何组成分析
结构力学第二章几何组成分W析=3×8-(2×10+4)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r)
3 3 (2 2 4)
1
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
单铰 β
II y
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
单铰
I θ II
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
目录
第一章 绪论 第二章 几何组成分析 第三章 静定结构的内力分析 第四章 静定结构的位移计算 第五章 力法 第六章 位移法和力矩分配法 第七章 结构的计算简图和简化分析
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
知识要点 几何组成分析的目的和概念 几何不变体系的简单组成规则 几何组成分析示例 静定结构和超静定结构
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
复铰
β γ II III y
一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个联系。
平面内 3刚片=9自由度
复铰连接后 5自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
B
B
一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
(1)h m3 (3)h
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
《结构力学》- 第2章 几何组成分析
Ⅰ
B
C
A
A
Ⅰ
B
C A
B
B
原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系， 这种体系称为瞬变体系(常变体系)。
第 20 页，共 65 页
两个刚片用一个单铰和一个方向不通过单铰的链杆相联结,或用 不全交于一点也不全平行的三个链杆相联结,组成的体系几何不 变，且没有多余约束。
C
Ⅱ AⅠ
条件不满足时的五种情况
第 28 页，共 65 页
【例23】试对图示体系进行几何组成分析。
1
(a)
Байду номын сангаас
2
3
(b)
I
A
1
2
3
C
D
E
II
B
解：首先，依次取消二元体1，2，3；其次，将几何部分ACD和 BCE分别看作刚片I和刚片II，该二刚片用一铰（铰C）和一杆 （杆DE）相连，组成几何不变的一个新的大刚片ABC。当然， 也可将DE看作刚片III，则刚片I、II、III用三个铰（铰C、D、E） 两两相连，同样组成新的大刚片ABC；第三，该大刚片ABC与地 基刚片IV之间用一铰（铰A）和一杆（B处支杆）相连，组成几 何不变且无多余约束的体系。
1个单铰相当于2个约束。
o
复铰：连结2个以上刚片的
y
铰称为复铰。
连结n 个刚片的复铰相当于
(n－1)个单铰。
——用数学归纳法可证
o
xA
⌒
⌒
Ⅰj1
j2 Ⅱ
y
x
⌒
⌒⌒
x
A
Ⅲ j3
Ⅰj1
j2 yⅡ
x
第 8 页，共 65 页
(3)刚性连接：
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2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计 算方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的 计算顺序。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
自由度
y
体系的自由度是指该体系运动时， 用来确定其位置所需独立坐标的数目。
刚片
对平面体系作几何组成分析 时，由于不考虑材料的应变，所以 y 认为各个构件没有变形，因此，可 以把一根梁、一根链杆或体系中已 经肯定为几何不变的某个部分看做 一个平面刚体，简称刚片。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
弹性变形 几何不变 F 几何不变
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
几何组成分析
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体 系，称为体系的几何组成分析。
又称为，机动分析、几何构造分析。
分析目的
1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能 否作为结构。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
单铰
I θ II
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
复铰
β γ II III y
一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个联系。
平面内 3刚片=9自由度 复铰连接后 5自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系，那 么是否无论怎样组成都能作为工程结构使用呢?
作为结构 的要求
当不考虑个杆件本身的变形时，结构能 保持其原有几何形状和位置不变，即不考虑 材料的应变时，组成结构的各个杆件之间以 及整个结构与地面之间，应不致发生相对运 动。
§2-1 几何组成分析的目的和概念
杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系，那 么是否无论怎样组成都能作为工程结构使用呢?
作为结构 的要求
当不考虑个杆件本身的变形时，结构能 保持其原有几何形状和位置不变，即不考虑 材料的应变时，组成结构的各个杆件之间以 及整个结构与地面之间，应不致发生相对运 动。
平面体系的计算自由度
1
2
3
3
按刚片计算 9根杆, 9个刚片
有几个单铰？ 3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
2
1
按铰结链杆计算
W=2 ×6-(9+3)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
⑴ W=0 ,具有成为几何不 变所需的;0 , 几何可变
r ---- 支座链杆数
j ---- 结点个数 b ---- 体系本身单链杆个数 r ---- 支座链杆数
铰结链杆体系 --完全由两端铰 结的杆件所组 成的体系.
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
31
G
有
几
个
xA
A y
y x x
1动点= 2自由度
x y
x
1刚片= 3自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
自由度 几何不变体系不能运动，其自由度为零。 自由度大于零的体系都是几何可变的。
刚片 支承体系的基础也可看作一个刚片。 形状可任意替换。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
结论：只有必要联系才能对体系自由度有影响。
多余联系 必要联系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之 差称计算自由度（W）。
算法1 W = 3m-(2h+r)
m ---- 体系刚片数 h ---- 单铰结点数
算法2 W = 2j-(b+r)
目录
第一章 绪论 第二章 几何组成分析 第三章 静定结构的内力分析 第四章 静定结构的位移计算 第五章 力法 第六章 位移法和力矩分配法 第七章 结构的计算简图和简化分析
第二章 几何组成分析
知识要点
几何组成分析的目的和概念 几何不变体系的简单组成规则
几何组成分析示例 静定结构和超静定结构
第二章 几何组成分析
复刚结点
1个单刚结点=3个联系
一个连接 n个刚片的复刚相当于(n-1) 个单刚结点，相当于3(n-1)个约束。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束 必要联系:体系中增加一个或减少
一个该约束，将改变体系的自由度 数。
多余联系：体系中增加一个或减 少一个该约束并不改变体系的自由度 数。
满足这个要求的称为几何 不变体系
不满足这个要求的称为几 何可变体系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 几何不变体系
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的 条件下，若能保持其几何形状和位置不变者，称为几 何不变体系。
几何可变体系
体系只要受到很小的荷载作用，也将引起几何形 状的改变，这类体系称为几何可变体系。
3
2
刚
有几个单铰？
片 ？
W=3×8-(2×10+4)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4 w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
约束 约束（或联系）是指限制杆件或体系运动的各种装
置。
链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间 距不变，起到两铰连线方向约束作用即可
n=32
平面内一刚片 1个单链杆 = 1个联系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
单铰 β
II y
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
虚铰
也称瞬铰，它是连接两个刚片的
两链杆延长线的的交点。
在运动中虚铰的位置不定，这是
虚铰和实铰的区别。 相交在∞点
从瞬时微小运动来看，与A点
A 有实铰的约束作用一样。
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
实铰
虚铰
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的 计算顺序。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
自由度
y
体系的自由度是指该体系运动时， 用来确定其位置所需独立坐标的数目。
刚片
对平面体系作几何组成分析 时，由于不考虑材料的应变，所以 y 认为各个构件没有变形，因此，可 以把一根梁、一根链杆或体系中已 经肯定为几何不变的某个部分看做 一个平面刚体，简称刚片。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
弹性变形 几何不变 F 几何不变
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
几何组成分析
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体 系，称为体系的几何组成分析。
又称为，机动分析、几何构造分析。
分析目的
1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能 否作为结构。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
单铰
I θ II
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
复铰
β γ II III y
一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个联系。
平面内 3刚片=9自由度 复铰连接后 5自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系，那 么是否无论怎样组成都能作为工程结构使用呢?
作为结构 的要求
当不考虑个杆件本身的变形时，结构能 保持其原有几何形状和位置不变，即不考虑 材料的应变时，组成结构的各个杆件之间以 及整个结构与地面之间，应不致发生相对运 动。
§2-1 几何组成分析的目的和概念
杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系，那 么是否无论怎样组成都能作为工程结构使用呢?
作为结构 的要求
当不考虑个杆件本身的变形时，结构能 保持其原有几何形状和位置不变，即不考虑 材料的应变时，组成结构的各个杆件之间以 及整个结构与地面之间，应不致发生相对运 动。
平面体系的计算自由度
1
2
3
3
按刚片计算 9根杆, 9个刚片
有几个单铰？ 3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
2
1
按铰结链杆计算
W=2 ×6-(9+3)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
⑴ W=0 ,具有成为几何不 变所需的;0 , 几何可变
r ---- 支座链杆数
j ---- 结点个数 b ---- 体系本身单链杆个数 r ---- 支座链杆数
铰结链杆体系 --完全由两端铰 结的杆件所组 成的体系.
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
31
G
有
几
个
xA
A y
y x x
1动点= 2自由度
x y
x
1刚片= 3自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
自由度 几何不变体系不能运动，其自由度为零。 自由度大于零的体系都是几何可变的。
刚片 支承体系的基础也可看作一个刚片。 形状可任意替换。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
结论：只有必要联系才能对体系自由度有影响。
多余联系 必要联系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
体系中各构件间无任何约束时的总自由度数与总约束数之 差称计算自由度（W）。
算法1 W = 3m-(2h+r)
m ---- 体系刚片数 h ---- 单铰结点数
算法2 W = 2j-(b+r)
目录
第一章 绪论 第二章 几何组成分析 第三章 静定结构的内力分析 第四章 静定结构的位移计算 第五章 力法 第六章 位移法和力矩分配法 第七章 结构的计算简图和简化分析
第二章 几何组成分析
知识要点
几何组成分析的目的和概念 几何不变体系的简单组成规则
几何组成分析示例 静定结构和超静定结构
第二章 几何组成分析
复刚结点
1个单刚结点=3个联系
一个连接 n个刚片的复刚相当于(n-1) 个单刚结点，相当于3(n-1)个约束。
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束 必要联系:体系中增加一个或减少
一个该约束，将改变体系的自由度 数。
多余联系：体系中增加一个或减 少一个该约束并不改变体系的自由度 数。
满足这个要求的称为几何 不变体系
不满足这个要求的称为几 何可变体系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 几何不变体系
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的 条件下，若能保持其几何形状和位置不变者，称为几 何不变体系。
几何可变体系
体系只要受到很小的荷载作用，也将引起几何形 状的改变，这类体系称为几何可变体系。
3
2
刚
有几个单铰？
片 ？
W=3×8-(2×10+4)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4 w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 平面体系的计算自由度
约束 约束（或联系）是指限制杆件或体系运动的各种装
置。
链杆可以是曲的、折的杆，只要保持两铰间 距不变，起到两铰连线方向约束作用即可
n=32
平面内一刚片 1个单链杆 = 1个联系
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
单铰 β
II y
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
虚铰
也称瞬铰，它是连接两个刚片的
两链杆延长线的的交点。
在运动中虚铰的位置不定，这是
虚铰和实铰的区别。 相交在∞点
从瞬时微小运动来看，与A点
A 有实铰的约束作用一样。
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
实铰
虚铰
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束