柯西积分公式
柯西积分公式
可以借助于公式（ ② 可以借助于公式 （ 3.3.3 ） 计算某些围线的复 积分. 积分. 求下列积分值（围线取正向） 例1、求下列积分值（围线取正向）
(1) cos π z ∫ z = 2 (z 1)5dz
(2)
∫z
ez
=2
(z + 1)
2
2
dz
解： (1) 函数f(z ) = cos π z在整个复平面内解析， 由式（3.3.4） 由式（3.3.4）有
1 f (z 0 ) = 2π
∫
2π
0
f(z0 + Reiθ ) θ d
(3.3.3)
即f (z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的
算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。 算术平均值，常称为解析函数的平均值定理。
2、解析函数的无穷可微性： 解析函数的无穷可微性： 在实变函数中，一阶导数的存在， 在实变函数中，一阶导数的存在，并不能 提供高阶导数是否存在的结论， 提供高阶导数是否存在的结论，但在复变函数 中则不然，有下面的定理。 中则不然，有下面的定理。
f(z + z ) f(z ) f ′(z0 ) = lim z → 0 z
1 f (z ) f(z ) = lim [∫ dz ∫ dz ] C z z z C z z z → 0 2i πz 0 0
1 = lim z → 0 2π i
f(z ) ∫C (z z )2dz + 0
cos π z 2π i ∫ z = 2 (z 1)5dz = 4 ! cos π z i π 5 ＝ z =1 12
(2) 函数
e
2
z
2
(z + 1)
在 z = 2内的不解析点z = ±i ,
柯西分公式
柯西分公式近代数学发展的历史中，柯西(Augustin-Louis Cauchy)分公式也被认为是极为重要的一步。
柯西分公式（Cauchy’s integral formula）是一个关于复数函数的椭圆分积分的公式，也称作Cauchy-Goursat积分，其具体表达式为：$$ oint_C f(z)dz=2pi i sum_{k=1}^n res(f, z_k),$$ 其中$f$为某复数函数，$z_k$为$f$在曲线$C$上的内部点，而$res(f, z_k)$为$f$在$z_k$处的残留。
柯西分公式的发现给当时数学领域带来了巨大的革新，它定义了椭圆积分的形式，它开放了更多元的数学推断和研究，使数学得以更加自由的发展。
柯西分公式的发现在很大程度上是由柯西的积分定理所引发的，他就是发现有关曲线的积分问题的研究者。
他发现，在一个有界的曲线的闭包上，一个可连续的函数的曲线积分为零。
关于曲线积分的更近一步研究归功于柯西，他首先提出了关于曲线积分的柯西积分定理。
定理最初是用于认识椭圆积分，但很快就可以推广到各类曲线积分，从而发展出了更多的数学模型来进行研究。
此外，柯西的椭圆积分公式还有着重要的实际应用。
它可以用来推导其他不定积分的形式，用来研究微分方程，以及用来研究复变函数。
因此，柯西分公式不仅在理论数学方面有重要价值，它也在实际问题中有实质性应用。
柯西分公式的重要性在于它发展出了一种更加广泛的方式来研究复数函数。
这不仅有助于对复数进行研究，而且还可以应用于其他很多数学问题的分析和研究，使得数学发展得更加广泛，为科学的发展贡献了不可磨灭的功劳。
柯西分公式的极大发展是由于它对数学的重要贡献。
它推动了现代数学的发展，使得数学更加的广泛，为科学研究提供了坚实的基础。
因此，被称为“推动数学发展的重要公式”也不做过分之说。
柯西积分公式
Q lim f ( z ) = f ( z0 )
z z0
ε > 0, δ > 0 z z 0 = R < δ
f ( z ) f ( z0 ) < ε
注： ) D可为多连通域； (1
( 2)该公式表明解析函数 f ( z )在C内部任一点的值， 可以用其在边界上的值 表示。
1 f (z) f (z0 ) = ∫C z z0 dz 2πi
z∈C
1 取 z < d , 则有 2
1 1 z z0 ≥ d , ≤ z z0 d d z z0 z ≥ z z0 z > , 2 2 < z z0 z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
z→ 0
当 δ → 0时 , f ( z ) → f ( z 0 )( z ∈ C1 )
∫
C
f (z) dz = z z0
C1
∫
C1
f ( z ) δ →0 dz → z z0
C D z0 C1
→ f ( z0 )∫
1 dz = 2π if ( z 0 ) z z0
定理(Cauchy 积分公式 积分公式) 定理
§3.5 Cauchy积分公式 积分公式
分析 设 D 单连通 , f ( z )在 D 内解析 ,
z 0 ∈ D , C 是 D 内围绕 z 0的一条闭曲线 .
∫
C
f ( z) dz = z z0
∫
C1
f (z ) (z dz z z0
C z0 C1
D
取 C 1 = { z z z 0 = δ (δ > 0可充分小 )}
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
柯西不等式定积分公式
柯西不等式定积分公式柯西不等式定积分公式，这可是数学领域里一个相当重要的知识点！咱先来说说啥是柯西不等式。
柯西不等式啊，简单来讲就是对于两组实数 a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn ，有(a1b1 + a2b2 +... + anbn)² ≤ (a1²+ a2² +... + an²)(b1² + b2² +... + bn²) 。
这就好像是数学世界里的一个“平衡法则”，两边得保持一种“和谐”的关系。
那柯西不等式和定积分又有啥关系呢？定积分呢，就是求一个函数在某个区间上的面积或者积累量。
把柯西不等式用到定积分里，那就变得更强大啦！记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子其他数学知识都学得不错，可就是对柯西不等式定积分公式理解得不太透彻。
有一次课堂练习，遇到一个要用柯西不等式定积分公式解决的题目，他愣是半天没做出来，急得抓耳挠腮的。
我走过去看了看他的解题过程，发现他根本没搞清楚公式的本质。
我就给他打了个比方，我说：“小李啊，你看这个柯西不等式定积分公式就像是搭积木，左边是搭好的造型，右边是组成这个造型的积木块。
咱们得清楚每个积木块的作用，才能搭出想要的形状。
” 小李听了，眼睛一亮，好像有点明白了。
我接着给他详细讲解，一步一步地引导他运用公式。
最后，他终于把那道题做出来了，脸上露出了开心的笑容。
在实际应用中，柯西不等式定积分公式用处可大了。
比如说，在研究物理问题的时候，计算变力做功，或者在工程计算中，评估某个系统的性能，都可能会用到它。
咱们再深入讲讲这个公式的证明。
证明的方法有好几种，不过不管哪种方法，都需要咱们对数学的基本概念和定理有很扎实的掌握。
这就像是盖房子，基础打得牢，房子才能盖得高、盖得稳。
而且啊，柯西不等式定积分公式还能和其他的数学知识结合起来，形成更复杂、更强大的工具。
比如说和微积分的基本定理结合，就能解决更多更难的问题。
柯西积分公式的推导
柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。
设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。
柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。
留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。
而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。
推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。
2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。
3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。
对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。
4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。
因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。
5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。
6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。
7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。
8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。
3.3柯西积分公式
Γ
f ( z0 ) dz , z z0 f (z) Γ z z0 dz ,
f (z) 1 C z z0 dz 2πi
| f ( z ) f ( z0 ) | | 右边 左边 | 1 ds , 2π Γ | z z0 |
一、柯西积分公式
定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，
d
证明 (略) 理解 如图，函数 f ( z ) 在解析区域 D 内任意一点 z0 的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有
D
z0 G
d
z0
G
d
z0 G
点的函数值的平均值， 因此， | f ( z0 ) | 不可能达到最大，
除非 f ( z ) 为常数。
三、最大模原理
推论 1 在区域 D 内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，
a T (t ) dt .
(返回)
b
C2
cos z dz z
cos z (函数 在 | z 2 | 1 上解析) z
0.
(柯西积分定理)
例 计算 I
C
2z 1 dz , 其中 C 如图所示。 2 z z
C
C1 0 1 C2 2
2z 1 2z 1 解 令 f (z) 2 , , 则 f (z) z( z 1) z z
T (tk ) .
T (t )
1 t ba , 记 t , 即 n ba n
1 ~ 平均气温 T lim n n
k 0
T (tk )
1 T (tk ) t b a k 0
n
n
a t0
t k t k 1
tn
b
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
柯西积分定理公式
柯西积分定理公式柯西积分定理公式在数学的复变函数领域中可是个相当重要的角色呢！咱们先来瞧瞧柯西积分定理公式到底是啥。
简单说，它表明如果在一个单连通区域内有一个解析函数，沿着这个区域内的任何一条简单闭曲线的积分都等于零。
这听起来可能有点抽象，别急，咱们慢慢说。
我给您举个例子啊，就好比您在一个大花园里散步。
这个花园就是那个单连通区域，您走的路线就是那条闭曲线。
如果花园里的风景（也就是那个解析函数）处处都美好，没有啥奇怪的地方，那么您不管沿着哪条路走一圈，最后得到的感受（积分的结果）都是一样的，都是零。
要说这柯西积分定理公式的应用，那可多了去了。
比如说在计算一些复杂的积分时，它能让咱们少走好多弯路。
就像您要从学校回家，本来有一条又远又绕的路，突然发现了一条近道，那得多开心呀！以前我给学生讲这部分内容的时候，就有个特别有趣的事儿。
有个学生特别较真儿，总是纠结为啥这个定理是这样的。
我就给他打了个比方，我说这就好比你去超市买东西，你从入口进去，沿着货架转了一圈，最后又从出口出来，只要你没偷偷把东西藏在兜里，那你买的东西的总价（积分）不就是零嘛！这孩子一听，恍然大悟，那表情别提多有意思了。
在实际解题中，柯西积分定理公式能帮我们把一些看似复杂得让人头疼的积分问题变得简单明了。
比如说，有些积分如果直接去算，可能要花费大量的时间和精力，还不一定能算对。
但如果我们能巧妙地运用柯西积分定理公式，就像找到了一把神奇的钥匙，一下子就能打开难题的大门。
再比如说，在物理学中，特别是在电磁学里，柯西积分定理公式也有着重要的应用。
它可以帮助我们更好地理解电场和磁场的一些特性。
学习柯西积分定理公式可不是一蹴而就的事儿，得一步一个脚印。
就像盖房子，得先打好地基，然后一层一层往上盖。
先把基本的概念弄清楚，再通过做一些练习题来巩固。
可别想着一口吃个胖子，那样容易噎着。
总之，柯西积分定理公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去学，去琢磨，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
柯西积分公式例题
柯西积分公式例题柯西积分，又称为Cauchy-Goursat定理，是1823年由拉普拉斯发现的一类重要的积分公式。
它表示某一个区域内任意一个复函数的积分可以由其定积分值求解。
柯西积分公式有着广泛的应用，它被广泛应用于复变函数理论、常微分方程、物理、数学建模等领域。
本文将结合一个简单的例题来介绍柯西定理的基本内容，总结柯西积分公式的应用特点，并且加强读者对柯西积分公式的理解。
一、柯西积分公式介绍柯西积分公式定义如下：设R是复平面上的一个连续闭区域，f(z)是这个区域内的连续复函数，则有：$oint_R f(z)dz=0$其中，$z$表示的是复数形式的坐标，$z=x+iy$，$dz$表示的是求积分时所使用的复偏微分元。
柯西积分公式的一个重要特点是：只要满足积分的公式的区域是连续闭区域，并且函数f(z)在整个积分边界上是连续的，那么积分的结果就是0.因此，通过柯西积分公式，可以求出一个复函数在一个闭有界的区域内的定积分值，即$oint_R f(z)dz$。
二、例题介绍例题：计算$oint_C (3z+2i)dz$，其中，C是由圆$x^2+(y-2)^2=1$组成的闭有界区域。
解：首先，根据柯西积分公式，积分的结果是一个定值，并且结果值是0。
因此，我们需要找出闭区域C的具体边界表示，即$C={zin C|z=x+iy}$，根据上述圆的方程，得出结论：$C={zinC|z=frac{1}{2}(cos(theta)+i(sin(theta)+2)}$，$theta in [0,2pi]$。
于是，积分问题可以写成：$oint_C (3z+2i)dz=oint_C(3frac{1}{2}(cos(theta)+i(sin(theta)+2))+2i)dz=oint_Cfrac{3}{2}cos(theta)+i(3sin(theta)+4))dz$由于这里的$theta$变量范围在[0,2pi]，于是积分变成：$oint_Cfrac{3}{2}cos(theta)+i(3sin(theta)+4))dz=int_0^{2pi}frac{3} {2}cos(theta)dtheta+iint_0^{2pi}(3sin(theta)+4)dtheta$ 这里的实部和虚部都是可以计算的，使用常规的积分方法，积分可以直接计算出来，比如：实部：$int_0^{2pi}frac{3}{2}cos(theta)dtheta=frac{3}{2}[sin(theta )]_0^{2pi}=0$虚部：$int_0^{2pi}(3sin(theta)+4)dtheta=3[-cos(theta)]_0^{2pi}+4c dot2pi=8pi$综上可得：$oint_Cfrac{3}{2}cos(theta)+i(3sin(theta)+4))dz=0+icdot8pi=8pi i$三、柯西积分公式的应用特点柯西积分公式有着广泛的应用。
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
2-4柯西公式
2x 2
例：已知函数 (t，x) e xt /(1t ) /(1 t ) ，把x当作参 n 数，把t认为是复变数，试应用柯西公式把 n
t
表示为回路积分。对回路积分进行积分变数的代
t 0
n 换ξ =(z-x)/z，并借以证明 n t
小结：
1. 单连通域上的Cauchy积分公式 设f(z)在单连通区域B内解析，在 B 上连续，则对 B内任一点z，有
1 f ( ) f ( z) d 2i l z
或
f ( ) l z d 2if ( z)
2. 复连通域上的Cauchy积分公式 设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域， 函数f(z)在B内解析，在 B 上连续，则对B内任一 点a，有
2
)( i)
d ，l为圆周|ξ |=2。
i 2i 9 1 5
cos z l ( z i)3 dz ，其中l为绕i一周的围线。 解：设f(z)=cosz在，n=2，得：
cos z 2i e e1 l ( z i)3 dz 2! (cosz) |zi i cosi i 2
z i
ez (1 i )ei (1 i)e i dz C ( z 2 1) 2 2 2
2
[(1 i )e i (1 i )e i ] [(1 i )(cos1 i sin 1) (1 i )(cos1 i sin 1)]
1 f ( ) 1 n f ( ) f (a) d d C C 2i 0 a 2i j 1 j a
证明参照柯西定理，所有境界线均取正方向（外 为逆时针，内为顺时针） 3. 无穷域上的Cauchy积分公式 设f(z)在简单闭合曲线C上及C外(包括无穷远点) 的无限区域上解析，对于区域内任一点有： 1 f ( z) dz f (a) f () 2i C z a
3.3 柯西积分公式
C
复 变 函
Ñ f
(z0 )
1
2 i
f (z) dz
C z z0
z0 G
数 意义 将 z0 换成 z，积分变量 z 换成 ，则上式变为
的
积 分
f (z)
1 2πi
C
f
( )
z
d
,
(z D).
解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种
特定的积分形式表达出来。
d
.
数
的 积
这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算某些
分
复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析
函数的一个积分表达式。
(这是研究解析函数的有力工具)
9
§3.3 柯西积分公式
第
例
计算 I C
cos z dz , z
其中 C 为：
三
章
(1) C1 : | z| 1; (2) C2 : | z 2| 1.
积
分
1 2πδ , (当 充分小时)
2π
即只要 足够小，所证等式两边之差的模可以任意小，
由于左边与右边均为常数，与 无关，故等式成立。
5
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
第 三
定理
如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，
z
D
章
P85 定理
在边界 C 上连续，z0 D , 则
定理
如果函数 f (z) 在区域 D 内解析，
D
z
章
P85 定理
在边界 C 上连续，z0 D , 则
C
复 变 函
复变函数_柯西积分公式
复变函数_柯西积分公式
首先，我们来给出柯西积分公式的数学表达式。
设函数f(z)在区域D 上解析，z0是D的任意一点，C是区域D中的一条简单闭曲线，它将点
z0围成。
那么有以下柯西积分公式：
∮C f(z)dz = 2πiRes(f(z), z0)
其中，Res(f(z), z0)表示函数f(z)在点z0的留数（residue）。
柯西积分公式可以理解为解析函数的全纯性和局部性的结合。
通过柯西积分公式，我们可以在解析函数的全纯区域内，通过曲线上的积分计算导数的全纯积分值。
柯西积分公式具有一些重要的推论和应用。
其中之一是柯西积分公式的重要推论，柯西定理。
柯西定理是柯西积分公式对于区域内解析函数的整体性的推广。
具体地说，柯西定理是指在区域D上的任意闭曲线上的积分为0，即∮C f(z)dz = 0，其中C是D中的一条闭曲线，f(z)是D上的解析函数。
柯西积分公式也有一些重要的应用。
例如，通过柯西积分公式可以证明解析函数具有无穷阶导数的性质。
f^(n)(z0) = (n-1)! * ∮C [f(z)/(z-z0)^(n)]dz
柯西积分公式还有一些其他的推论和应用，在现代复变函数理论中扮演着重要的角色。
例如，柯西积分公式为计算复变函数的积分提供了一种有效的方法，同时也为解析函数的全纯性质的研究提供了基础。
此外，柯西积分公式还与调和函数、傅里叶变换和复变函数的辐角原理等有关。
复数域中,柯西积分公式
复数域中，柯西积分公式柯西积分公式是复数域中非常重要的一个公式，它在复变函数理论中扮演着重要的角色。
这个公式可以用于计算含有奇点的函数在闭合曲线上的积分。
它的全面理解和应用对于理解和解决复变函数的问题非常有指导意义。
首先，让我们回顾一下复数域的一些基本知识。
复数由实数部分和虚数部分组成，通常用z表示，z = x + iy，其中x和y均为实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在复平面中，我们可以将复数表示为一个点，其中实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
柯西积分公式是由法国数学家柯西在19世纪提出的。
它的形式如下：∮(f(z)/((z-a)^(n+1))) dz = 2πi * (f^(n)(a)/n!)其中，f(z)是一个在包围奇点a的区域上解析的函数，n是一个非负整数，定义为奇点a的阶数，f^(n)(a)是f在奇点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
这个公式的意义是，当我们计算函数f(z)沿着一个围绕奇点a的闭合曲线C的积分时，可以用f(z)在奇点a处的导数展开，然后计算导数的积分。
这个展开的系数和导数的阶数有关，而且需要乘以一个2πi。
这个公式的证明涉及到复分析中的一些复杂的数学推导，这里不做详述。
柯西积分公式的应用非常广泛。
首先，它可以用于计算复变函数在闭合曲线上的积分。
通过找到函数的奇点和展开系数，我们可以用这个公式来计算积分值。
其次，柯西积分公式还可以用于计算复变函数的洛朗级数展开，从而得到函数的各阶导数。
这对于分析函数的性质和行为非常有帮助。
另外，柯西积分公式还可以用于证明一些重要的定理，比如留数定理和柯西-Riemann方程等。
在实际应用中，柯西积分公式可以解决各种问题。
比如，可以用它来计算围绕某个奇点的曲线上的积分，从而得到曲线所包围的区域内函数的性质。
我们还可以利用柯西积分公式来确定函数在无穷远点处的行为，或者计算包含无穷远点的曲线上的积分。
这些应用都和复数域的几何性质密切相关。
§2.4 柯西公式
举例
sin z (1) ∫= 4 z dz 2π i z 1 1 2 (2) ∫ ( + ) dz z +1 z − 3 z =4
解 : (1) sin z 在 z = 4 的内部及 z = 4 上解析 , 由定理 1 2π i sin z 1 ∫= 4 z dz = 2π i ⋅ 2π i sin z z
∂ nψ ∂t n
n! = 2π i
x
z x ∫ l ( z − x )n+1 x z 2 dz e z
−( z − x ) n +1
n! =e 2π i
d dz = e x n e− x ) n ( ∫ l ( z − x )n+1 dx e z
x
−z
n
n
=x −z
2
2
（2）证明：以 证明：
∂ψ ∂t n
n x2
t = x−zex来自 − z 2代入上式t =0
n! = 2π i
n! ∫ l ( x − z )n+1 d ( − z ) = 2π i
n − z2
∫ ( −1) ( z − x )
l n
e ⋅e
x2
− z2
n +1
dz
n! =e 2π i
z − x t = , z
t=0
并借以证明
∂ψ n ∂t
n
n
t=0
d =e x ne− x ) n ( dx
x
n
解：（1） ：（1
∂ψ n! = n ∂t 2π i
∫
e
l
− ξ x (1− ξ )
(ξ
− t)
(1 − ξ )
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz
2i ez
2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
ez
dz z 1 z
e π rei π rei
irei d
π ieei d
π
16
π ieei d π iecos i sin d
π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
ez dz 2i ez 2ei.
z 2 z 1
z1
10
例3
计算积分
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)
1 z(z i)(z i)
z(z i) zi
z0 i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式
2 1
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
dz.
证 因为 f (z) 在 z0 连续,
C z0
D
则 0, ( ) 0,
4
当 z z0 时, f (z) f (z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R (R ) 的正向圆周K :
z z0 R全在 C 的内部,
则
f (z) dz f (z) dz
C z z0
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5
sin z
计算积分
C
z2
4 dz, 1
其中C : (1)
z 1 1; 2
sin z
sin z 4
解
(1)
z1 1 2
z2
4 1
dz
z1 1 2
z 1 dz z1
sin z 2i 4
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就
可以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
f
(z0 )
1 2i
f (z) dz
C z z0
柯西积分公式
[证毕]
柯西介绍
6
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
K z z0
f (z0 )dz f (z) f (z0 )dz
K z z0
K
z z0
2if (z0 )
K
f (z) f (z0 )dz z z0
C
z0 R
K
D
5
f (z) f (z0 )dz f (z) f (z0 ) ds
K
z z0
K
z z0
R K
ds
2π .
2 i;
z 1
2
z1
13
例5
sin z
计算积分
C
z2
4 dz, 1
其中C : (2)
z 1 1; 2
sin z
sin z 4
解
(2)
z1 1
z2
4 dz 1
z1 1
z 1 dz z1
2
2
sin z 2i 4
2 i;
z1
2
z 1
14
sin z
例5
计算积分
C
z2
4 dz, 1
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
3
二、柯西积分公式
定理
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那末
f
( z0
)
1 2π
i
C
f (z) z z0
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2
z 4 z 1
z 4 z 3
6i.
9
例2 计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式
R ei )d .
7
三、典型例题
例1 求下列积分
(1) 1 sin z dz;
2i z 4 z
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
解 (1) 1 sin z dz
2i z 4 z 因为 f (z) sin z 在复平面内解析,
z 0 位于 z 4内,
8
由柯西积分公式
1
2i
sin z dz z 4 z
其中C : (3)
z 2.
sin z
解
(3)
z 2
z2
4 1
dz
由闭路复合定理, 得
sin z
sin z
sinπ z
z 2
z2
4 1
dz
z1 1
z
2
4 1
dz
z1 1
z2
4 1
dz
2
2
2 i 2 i 2i.
2
2
15
例6 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z(z i) dz zi 1 z i
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
3 2 7
C z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
17
课堂练习
计算积分
ez
z
3
z( z2
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
设 B 为一单连通域, z0 为 B中一点.
如果
f
(z) 在 B内解析, 那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 B 内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知,
值表示.
(这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分
表达式.
(这是研究解Biblioteka 函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0