柯西积分公式

z(z 2) z 1
3e
r 2,
C1
C2
C3
C2 C1 C3
1 0
2
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
二、 解析函数的高阶百度文库数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这 一点和实变函数完全不同.
d
z
(
f
(n) (z)
n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
)
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导,
而在于通过求导来求积分.
C
f (z)
2 i
(z z0 )n1 dz n !
f (n) (z0 )
例4 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r >1.
cos z
ez
[解]
1)
f (z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
按定义
f
(
z0
)
lim
Δ z0
f (z0
Δ z) Δz
f (z0) ,
因此就是要证
1
2πi C
(z
f (z) z0 )2
d
z
f (z0 Δ z) f (z0 ) Δz
在Δ z 0时也趋向于零.
按柯西积分公式有
1 f (z)
d z
dz
C z z0
K z z0
R
D
f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
K z z0
K z z0
Cz
z0
K
2 π if (z0 )
K
f (z) f (z0) d z z z0
|
f
由于f (z)-f (z0)|
(z)在
< .
z0连续, 任给
设以 z0为中心,
2 π i C (z z0 )2
Δz
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
d
z
1 2πi
C
(z
f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
1 2πi
C
(z
Δ zf (z) z0 )2 (z z0
Δ
z)
d
z
I
现要证当Dz0时I0, 而
| I |
1 2π
C
Δ zf (z) d z (z z0 )2 (z z0 Δ z)
1
2
C
| Δ z || f (z) | d s | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d
为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足
|Dz| < d/2,因此
C
|
z
z0
|
d
,
|
z
1
z0
|
| z z0 Δ z || z z0 |
1
2,
| z z0 Δ z | d
1 d
|I
, |Δ |
z | 1 2π
d, 2 C |z
| Δ z || z0 |2|
f z
(z) | z0
d
d
s Δ
z0
| z|
Δ
D
z|
ML πd3
这就证得了当 Dz0时, I0.
这就证得了
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限: lim f (z0 Δ z) f (z0 )
Δ z0
Δz
便可得
f
(z0 )
2! 2πi
C
f (z) (z z0 )3
d
z
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
R
0 , 存在 0
为半径的圆周K
, :
当 |z-z0|< 时,
|z-z0|=R全部
在C的内部, 且R < .
C
f z
z z0
dz
2 if
z0
K
f (z) f (z0 ) d z z z0
| f (z) f (z0 ) | d s d s 2 π .
K | z z0 |
f (z0 ) 2 π i C z z0 d z.
f (z0
Δ z)
1 2πi
C
f (z) d z z z0 Δ z
f (z0 Δ z) f (z0 ) 1
f (z)
dz
Δz
2 π i C (z z0 )(z z0 Δ z)
因此
1
f (z) d z f (z0 Δ z) f (z0 )
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,
)
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一
条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
ez
i
C
z
(z 1)(z 2)
z0
ez
1 r 2, i z(z 2) dz
C1
C2
C2 z 1
i 2 i ez
i 2 i
C2
ez
ez
C1
(z i)2 (z i)2
dz
C2
(z i)2 (z i)2
dz
2
i
(z
ez i)2
(z
ez i)2
i 2 sin(1 )
z i
zi
4
例2 若n为自然数，试证明：
1) 2 ercos cos(r sin n )d 2 r n;
0
n!
2) 2 ercos sin(r sin n )d 0. 0
RK
C
f z
z z0
dz
2 if
z0
例1
解 1) sin z dz 2i sin z 0
z 4 z
z0
2) ( 1 2 )dz dz 2 dz
z 4 z 1 z 3
z 4 z 1 z 4 z 3
f ( z )1及2
2i 1 2i 2 6i
例题2
计算积分
ez
dz
C (z
1) 函数
1)5 d z;
cos z
( z 1)5
2)
C
(z2
1) 2
d
z
在C内的z=1处不解析,
但cosz在C内
却是处处解析的.
| C
cosz
(z 1)5
dz
2i (cosz)(4)
(5 1)!
5i .
z 1
12
C1
CC12
C
ez
2) C (z2 1)2 dz C1 C2
柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 .(柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为
C内的任一点, 则
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
or
C
f
z
z
z0
dz
2 if
z0
[证] f (z)
f (z)