高数函数的概念特性及常用不等式

r a 2 sin
所围公共部分的图形 .
y
4
o
ax
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、复合函数与反函数
1. 复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称函 数 y f [ ( x)]为 x 的复合函数.
O
r
n
定义: 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
数集D叫做这个函数的定义域(Domain) 。 当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
2
2
复合函数的复合结构。
例3:
设
D( x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2), D(D( x)). 5
解 D( 7) 1, D(1 2) 0, 5 y
D(D( x)) 1,
[x]表示不超过x 的最大整数
阶梯曲线
y 4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
2.43 2; 2.43 3.
•狄利克雷(Dirichlet’s Function)函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
如 D(4.6) 1 D( 3) 0
•取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
y myin{ f ( x), g( x)}
f (x)
g( x)
o
x
g( x)
o
x
max{ f ( x), g( x)} 1 f ( x) g( x) | f ( x) g( x) |
2
min{ f ( x), g( x)} 1 f ( x) g( x) | f ( x) g( x) |
第一章 函 数
一、函数的概念 二、具有某种特性的函数 三、初等函数 四、两个常用的不等式
第一节 函数的概念
一、函数的定义 二、函数的分段表示
隐式表示与参数表示 三、极坐标 四、复合函数与反函数
一、函数概念
例如 圆内接正多边形的周长
S3
S4
Sn 2nr sin n
n 3,4,5,
S5
S6
圆内接正n 边形
2
•在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
注:分段函数的定义域应为各分段部分的并集.
例2:
设f
(
x
)
1 2
0 x 1,求函数 f ( x 3)的 1 x2
定义域.
解
f (x)
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
Note: a. 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x 2 )
b. 复合函数可以由两个以上的函数经过 复合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
但此隐函数不能显化 .
3. 函数的参数表示：
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
y t2 ( x)2 x2 24
消去参数 t
如: 摆线的参数方程是
x a(t sin t)
y
a(1
cos
t
)
y
(1) f ( x) x, g( x) x2;
(2) f ( x) x 1,
g(x)
x2 1 ;
x1
(3) f ( x) sin2 x cos2 x, g( x) 1;
(4) f ( x) ln x2, g( x) 2ln x;
(5) f ( x) x arcsin x, g( x) x( arccos x). 2
•绝对值函数(Absolute
Function)
2
1.5
y
x
x x
当x 0 当x 0
1
0.5
-2
-1
1
2
•符号函数(sign Function)
y
1 当x 0
y
wk.baidu.com
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
sgn(6) 1; sgn 2 1.
•取整函数 y=[x]
再如:
o
2 a x
椭圆
x2 a2
y2 b2
1的参数方程为
x a cos t
y
b
sin
t
三、极坐标
定义: 在平面内取一点O, 称为极点,引一条射线 ox ,
称为极轴, 再选定一个单位和角度的正方向(通常取
逆时针方向). 对平面上一点M,用r表示OM的长度,
表示从ox到OM的角度, r 称为点M的极径, 称为
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的三因素: 定义域，值域和对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
函数的两要素: 定义域与对应法则.
结论:两个函数相同(等)的充要条件是定义域与 对应法则分别相同.
例１：判别下列函数是否是相同的函数？
点M的极角,有序数组
称为M的极坐标.
M
r
O
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
常见的极坐标方程有:
阿基米德螺线:
2 a
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
心形线:
心形线 目录 上页 下页 返回 结束
心形线 的图形为:
与圆 y
o
a 2a x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
双纽线：
思考: 画出双纽线与
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 3 x 2
2 2 x 1 故 D f :[3,1]
2. 函数的隐式表示：
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
注：前面定义的函数均是单值函数。
•多值函数、 单值分支
y
如果自变量在定 义域内任取一个数值
y
a2 x2
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函
o
x
数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．
x2+y2=a2
例如，x2 y2 a2． 一般只讨论单值函数
二、函数的分段表示，隐式表示 与参数表示：
1. 函数的分段表示：