大一数学小论文3000字

不定积分的常用解题思路

不定积分的解法可以说是高等数学中最基础的一个要求，因为它承接了上一章的求导，又在承接后面的定积分。特别是在后面的定积分中，是得出结果最关键的一步，同样也是最难的一步。如果这一章没有学好，在以后定积分的应用中就会出大问题。尤其是在以后的大学物理中需要用微积分求值的时候，不光要求我们要求对，更要求我们求的要快，那我们应该怎么样才能求得又快又对？这将是我在论文中跟大家讨论的问题。

第一点我想说最简单型的，直接通过基本微分表中的公式就可以完成的就比如+C，这样一个是最基础的公式通过我们前面学到的基本初等函数的导∫a x dx=a x

ln a

数公式积分公式以及不定积分的基本性质，我们就可以很简单的解决这种问题。但是这种题只会出现在我们那一节学过后的练习册上。以后真正要用的还没有说到，但是以后要用到的都少不了这些，无外乎是将更为复杂的式子化为像这样的基本式子，最后通过不定积分的性质进行求解。

然后我们学习了换元积分法，我个人认为遇到换元积分法的问题时，在你的经验没有那么丰富的时候，就不要去常食之把那个题解出来。因为问在那个时候的经验还是不的，我们需要更多的经验去指导遇到这种类型的题应该怎么解决。相信学过不定积分之后你我都一样，在遇到了解不定积分问题之后，我们心里都有一个谱。就是遇到这样的问题我们应该先怎样变化或者说换元的时候我们应该将不定量还是sin t又或者是tan t等等。这些都是需要经验的，也就是说只有我们做的

x换成1

t

题越多，见到的类型越多，我们的解题正确率就越高，我们的解题速度就会越快。这些都是叫做经验是自己最好的老师，失败是自己更好的老师，比如我们在解题的时候百思不得其解，最后只能唯唯诺诺的协商一妥协的答案，当我们看到答案是就开始分析自己哪里出现了错误，有见到了什么新的类型。这些都可以总结自己的笔记本上，这样可以帮助我们更好的解题，特别是在下次遇到了的时候，我们可以又快又对地解出答案，这就是我们提升的过程。

老师在上课特意强调了三角函数的基本公式在不定积分求解中重要的作用，这一点我是非常赞同的。那节课下课后我就去网上查了三角函数基本公式，有的是我在高中学过的，有的是没有，有的是在高中学过还记得，有的已经忘了。于是我把那些高中没有学过的和在高中学过但是忘了的又重新记到了我的笔记本上。现在来看用的最多的也就是sin2x+cos2x=1，sec2x−tan2x=1，csc2x−cot2x=1以

及万能公式：υ=tanθ

2，则sinθ=2υ

1+υ2

和cosθ=1−υ

2

1+υ2

，且dθ=1

1+υ2

dυ。

这些都是非常重要的，在做题的时候使用率会非常高，尤其是在做三角函数类型积分的时候，没有思路一定要多想想万能公式。说不定就迎刃而解了，另外，在高数课本上也给出了很多解题方法复杂的不定积分式子比如：

∫tan x dx=−ln⁡|cos x|+C，

∫cot x dx=ln⁡|sin x|+C，

∫sec x dx=ln⁡|sec x+tan x|+C，

∫csc x dx=ln⁡|csc x−cot x|+C，

∫dx a2+x2=1

a

arctan x

a

+C，

∫dx a2−x2=1

2a

ln|x−a

x+a

|+C,

√x2+a2

=ln(x+√x2+a2)+C, √x2−a2

=ln(x+√x2−a2)+C,

√a2−x2=arcsin x

a

+C.

这些积分公式记在脑子里解题就特别好用，之前我在写题的时候就不知道有这些公式就经常百思不得其解，最后看过这些公式之后就可以解决百分之八十的问题。

上一段所说的解决百分之八十的问题是在我接下里所要说的分布积分法的基础上说的，掌握了分部积分就掌握了不定积分求解的精髓。为什么这样说呢？因为在实际应用中，很少会碰到向积分表中给出的公式那样基础，在实际中指挥更复杂化，尽管有的时候可以通过换元来解决这个问题，但稍微复杂一些就无从下手，比如∫x cos x dx，这个积分用换元积分法不易求的结果，现在就可以使用分部积分法来求它。∫udv=uv−∫vdu是分部积分法的公式，选择合适的式子做v选择合适的式子做u，就可以很简单的求出这个问题的答案。那么我们在选择哪一个式子作为u，哪一个式子作为v也是又技巧的。“反对幂指三”，就是这个顺序来进行选择哪一个式子作为u，举个例子三角函数求积分特别好求，而当我们遇到了反三角函数就会变得无从下手。所以这个分部积分法就刚好解决了这个问题，这也是说分部积分法是求不定积分最后的杀手锏。在分部积分中我们遇到的问题会更加复杂，解法也

更加的综合，相同地，我们在解题过程中所得到的乐趣也会越来越多。“反对幂指三”这样的一个口诀就需要我们烂熟于心，把它当成做题的法宝、做题的咒语。在积分过程中往往要兼用换元法和分部积分法。

前面我们说了，掌握了换元积分法和分部积分法就可以解决不定积分百分之八十的问题，那剩下的百分之二十就需要我们应用有理函数的积分和可化为有理函数的积分。两个多项式的商P (x )Q (x )称为有理函数，又称为有理分式。我们遇到了P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的时候称之为真分式，利用多项式的除法，总可以讲一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式。在这里我不在一一赘述，当我们遇到了一些分母式比分子式次数多很多的时候，我们往往是选择讲x 设成1t 的，这样就可以更为简单的进行等效替换了，当然这也是最基础的一个等效代换。在后面，我们会看到分母是无理数的、带根号的、对数等等，这些相比于那些只用进行倒数代换的还是稍有难度，当然也需要我们去积累去多应用，只有这样，我们才能在不定积分的学习上更能得心应手。如果被积函数中含有简单根式√ax +b n 或√ax+b cx+d n ，可以令这个简单根式为u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分。

以上几个方法就是在不定积分领域出现的积分方法，各有各的特征，大家拿到题后，对号入座，哪个合适用哪个说完了我们可以在课本上或者课堂上可以获得的知识后，相信看到这些文章后都会对不定积分概念，求解思路产生一定的认识。不定积分是我们在后面的应用中最为基础的一部分，就行行列式的求法之于求向量的特征向量一样，他都是我们新掌握的知识，并且求解会有些难度，而且在解题中需要我们对这方面深度掌握，并且在运用过程中具有着举足轻重的作用。需要我们在一次一次练习中获得新的心得并且可以很好的掌握如何才能更快、更准的求出正确答案。

我在网上找到了关于的那个积分的简介在 微积分中，一个函数 f 的 不定积分，或原函数，或反导数，是一个 导数等于 f 的 函数 F ，即 F ′ = f 。不定积分和定积分间的关系由 微积分基本定理确定。其中 F 是 f 的不定积分。根据 牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系，其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在，这个简介现在看来或许会觉得