(完整版)圆锥曲线方程知识点总结
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§8.圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ
⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12
222φφb a b
y a
x
=+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12
22
2φφb a b
x a
y
=+
.
②一般方程：)0,0(122φφB A By Ax =+.
③椭圆的标准方程：12
22
2=+
b y a x 的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θππ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.
②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c
a y 2
±=.
⑥离心率：)10(ππe a
c
e =. ⑦焦点半径：
i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222φφb a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2φφb a a y b x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002
2002
01φπx a ex x c
a e pF x ex a c
a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222
2a b c a b d -=和),(2a
b c
⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆
)0(12
22
2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程t t b y a x (2
22
2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a
c
e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：
12
22
2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2
tan
2θ
b （用
余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2
cot 2θ
⋅b .
⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒
-=+=0201,ey a PF ey a PF
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ⑴①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2φφb a
b x a y b a b y a x =
-
=-
.
一般方程：)0(122πAC Cy Ax =+.
⑵①i. 焦点在x 轴上：
顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y
a x 或02222=-b
y a x
ii. 焦点在y 轴上： 顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2
±
=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b
x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩
⎨⎧==θθ
sec tan a y b x .
②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a
c
e =
. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a
b 2
2.
⑤参数关系a
c
e b a c =
+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
1
2
22
2=-b y a x
（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
M a
ex F M '--='01a
ey F M a ey F M a
ey MF
a ey MF -'-='+'
-='+=-=020102
01
⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .
⑸共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b
y a
x 如果双曲线的渐近线为
asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆