应用回归分析-第9章课后习题答案

第9章 含定性变量的回归模型

思考与练习参考答案

9.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型，对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。出现这种情况的原因是什么？

答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为：

t t t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110

其中含有k 个定量变量，记为x i 。对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛=00011001011000101001

0010100011

)(6

165154143132121

11k k k k k k X X X X X X X X X X X X

D X,

显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。

当某自变量x j 对其余p-1个自变量的复判定系数2j R 超过一定界限时，SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型。称Tol j =1-2

j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0.0001。也就是说，当2j R ＞0.9999时，自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=k βββ 10β⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=4321ααααα

而在这个模型中出现了完全共线性，所以SPSS软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个定性自变量。

9.2对自变量中含有定性变量的问题，为什么不对同一属性分别建立回归模型，而采取设虚拟变量的方法建立回归模型？

答：原因有两个，以例9.1说明。一是因为模型假设对每类家庭具有相同的斜率和误差方差，把两类家庭放在一起可以对公共斜率做出最佳估计；二是对于其他统计推断，用一个带有虚拟变量的回归模型来进行也会更加准确，这是均方误差的自由度更多。

9.3 研究者想研究采取某项保险革新措施的速度y对保险公司的规模x1和保险公司类型的关系（参见参考文献【3】）。因变量的计量是第一个公司采纳这项革新和给定公司采纳这项革新在时间上先后间隔的月数。第一个自变量公司的规模是数量型的，用公司的总资产额（百万美元）来计量；第二个自变量公司是定性变量，由两种类型构成，即股份公司和互助公司。数据资料见表9.8，试建立y对公司规模和公司类型的回归。

表9.8

i y x1公司类型

117151互助

22692互助

321175互助

43031互助

522104互助

60277互助

712210互助

819120互助

94290互助

1016238互助

1128164股份

1215272股份

1311295股份

143868股份

153185股份

1621224股份

1720166股份

1813305股份

1930124股份

2014246股份

解：对定型变量“公司类型”进行数量化处理：

引入虚拟变量x2：公司类型为“互助”时，x2=1，为“股份”时， x2=0。

则表9.5中数据转换成以下数据：

i y x1公司类型1171511 226921 3211751 430311 5221041 602771 7122101 8191201 942901 10162381 11281640 12152720 13112950 1438680 1531850 16212240 17201660 18133050 19301240 20142460

建立回归方程 y＝b0+b1x1+b2x2+ε

用SPSS软件作线性回归，得到输出结果如下：

R检验：拟合优度R2=0.883，接近1，说明回归拟合的效果较好。

F检验：F值=72.497，Sig.值为0，说明回归方程通过F检验。

T检验：回归系数通过t检验，回归方程为：

y= 41.930－0.102 x1－8.055 x2

说明：若引入虚拟变量x2，当公司类型为“互助”时，x2=0，为“股份”时， x2=1。

则回归方程为：

y= 33.874－0.102x1 + 8.055x2

结果分析：

（1）股份制公司采取保险革新措施的积极性比互助型公司高，原因可能在于股份制公司建立在共同承担风险上，所以更愿意革新； （2）公司规模越大，采取保险革新措施的倾向越大：大规模公司的保险制度的更新对公司的影响程度比小规模公司大，因此大规模公司更倾向于比较更新措施和现有政策带来的效益，最终表现在采纳革新措施的时间间隔较短。

9.4．表9.9的数据是我国历年铁路里程数据，根据散点图观察在某时间点有折点，用折线回归拟合这个数据。

解：由散点图9(见下图)可看出在1995年（t=16）有折点，考虑由两段构成的分段线性回归，这可以通过引入一个0-1型虚拟自变量实现。

由散点图可知该折点为t=16，则引入虚拟自变量x ，

⎩⎨

⎧>-≤=16

,16t 16

,0t t x 由SPSS 输出的调整后的决定系数20.980R =，说明拟合优度较好。

由输出的系数表可以得出回归方程为：x t y

106.0055.0183.5ˆ++= 由SPSS 输出方程分析表可知，F 值为594.524，且P 值约为零，说明回归方程非常显著；

系数表中回归参数对应的t 检验P 值都约等于零，说明回归参数均通过了显著性检验。因此，折线方程成立。