高中数学：请注意“隐含条件”
高中数学请注意“隐含条件” 学法指导
高中数学请注意“隐含条件”在解数学题的过程中，若能恰当运用题中潜在的隐含条件，则可能大大减少思维量和运算量，从而优化解题过程。
现举例说明。
例1. 当m 变化时，求两直线05my x :l ,0m 5y mx :l 1=-+=+-交点P 的轨迹方程。
解法1 设P （x ，y ），联立方程⎩⎨⎧=-+=+-,05my x ,0m 5y mx 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=②①.1m m 10y ,1m m 55x 222由22②①+即可消去m ，得.25y x 22=+解法2 注意隐含条件：21l l ⊥，且1l 恒过一定点A （－5，0），2l 恒过一定点B （5，0），则有BP AP ⊥，即,0BP AP =⋅得.25y x 22=+显然，解法2更简洁。
例2. 已知二次函数c bx ax )x (f 2++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）满足下列三个条件： ①f(x)的图象在y 轴上的截距为0；②)x 5(f )3x (f -=-；③方程x )x (f =有等根。
（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m ，n （n m <），使f(x)的定义域和值域分别为［m ，n ］和［3m ，3n ］，若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由①得0c =，由②得)5(f )3(f =-，即0b a 2=+，由x )x (f =，即0x )1b (ax 2=-+有等根，得,1b ,0)1b (2==-=∆ 故0c ,1b ,21a ==-=， 所以.x x 21)x (f 2+-= （2）解法1 抛物线x x 21y 2+-=的对称轴方程为,1x = 故分三类情况讨论：①当1n ≤时，②当n 1m <≤时，③当1m >时。
此解法运算量较大，且易出错（过程略）。
解法2 隐含条件,2121)1x (21x x 21)x (f 22≤+--=+-= 所以.61n ,21n 3≤≤ 又f(x)的对称轴方程为,1x = 所以61n ≤时，f(x)在［m ，n ］上为增函数。
高中数学填空题解题技巧剖析
高中数学填空题解题技巧剖析填空题是高中数学试卷中常见的一种题型，通常考查考生对基础知识的掌握程度以及对解题思路的把握。
以下将对高中数学填空题的解题技巧进行剖析。
一、审题与理解首先，对于填空题，我们需要认真审题，理解题意，确定题目的求解目标和题目所给出的信息。
在阅读题目时，我们要注重以下几个方面的内容：1.题目要求：明确题目的求解目标和所需填空的个数。
2.已知条件：理解题目中已给出的条件，包括数据、等式、图形等，这些已知条件是解题的基础。
3.隐含条件：有些题目会有一些隐含条件，需要我们根据题目的描述自行推断。
通过仔细审题，我们可以对题目的信息做到心中有数，才能在解题过程中根据所给条件与已知知识来推导解答。
二、关注关键词在填空题的解题过程中，识别和把握题目中的关键词是非常重要的。
常见的数学关键词包括“最大值”、“最小值”、“相似”、“比例”、“约分”、“倍数”、“公因数”等。
在解题时，我们可以通过关键词的提示，判断题目的解题思路和逻辑。
举个例子，如果题目中出现了“比例”，那么我们就要考虑使用比例的性质来求解；如果出现了“最大值”、“最小值”，那么就要通过极值的方法来求解。
三、思路明确解题思路的明确是填空题的解题关键之一。
仔细阅读题，在弄清题目的目标，所给条件之后，要通过思考，明确解题的思路。
对于一些简单的题目，需要使用基本公式，例如利用勾股定理解三角形边长，利用圆周率求圆的面积和周长等；对于一些复杂的题目，则需要结合已有的知识和技巧来思考如何解决问题。
四、记忆公式高中数学包含很多的公式和定理，掌握这些公式和定理是解题的必要条件。
在平时的学习过程中，要注意理解和记忆公式的使用方法和注意事项，以便在考试中运用自如。
五、检查答案检查结果在填空题中非常必要，因为填空题的答案相对比较简单，在计算过程中容易出现错别字、错位、运算符号错误等小错误，所以我们需要反复检查计算过程，确保每一个空都填对了，并且运算过程没有错误。
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧
高中数学解题中隐含条件的挖掘方法和技巧隐含条件，是指在数学问题中没有直接给出的条件，这些条件需要解题的学生自己去挖掘。
在解题时，学生需要具备挖掘隐含条件的意识，即在审题时，就要意识到“题目中是不是包含了隐含条件？”接下来，就要能够从题目的特征中分析出题目可能存在哪些隐含条件，然后应用挖掘隐含条件的技巧来挖掘出隐含条件。
1结合习题中的概念和性质挖掘隐含条件有些题目没有直接给出隐含条件，然而这些条件包含在概念或性质中，只有挖掘出这些隐含条件，才能够正确的确定一些数值的取值范围。
在审题时，学生就需要关注概念和性质中有没有隐含条件。
例1：无穷数列中，时，则此数列的各项和为，请完成命题的证明。
解：分析数列通项，可将数列视为分段函数，这是一个隐含条件。
数列是一种特殊的函数，它的自变量是自然数构成的集合，它的值域为自然数组成的分数。
并且当n=3k-1时，即n被3除不足1时，该项将以的形式呈现，否则，当时，该项将以的形式呈现，那么将数列呈现的形式表达出来，它将以的方式呈现。
从数列的概念和性质中挖掘出题目包含的隐含条件，可以缩小无穷数列的范围，得到三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）（2）（3）结合隐含条件完成证明：在解题时，需要分析数学问题的定义与性质，找出题目中可能存在的隐含条件，比如较为常见的数学问题定义和性质中包含的隐含条件为：一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。
只有正确分析隐含条件，才能够正确界定变量的取值范围。
2挖掘出数学图形中呈现的隐含条件在解题时，有些隐含条件在文字中难以呈现出来，而如果忽略这些隐含条件，则解题会出现条件不足的问题。
然而如果抽象化的文化转化为直观化的图形，便会发现图形中包含着隐含条件能够呈现出。
当发现习题的条件不充分时，可以思考把文字转化为图形，挖掘图形中的隐含条件。
图1例2：已知正方形，边长为4，，F分别是AB，AD的中点，平面ABCD且GC=2，求B点到平面EFG的距离。
如何挖掘高中数学题中的隐含条件
来，最终解决问题。
最终解决数学问题。
例如，在等腰三角形中，两腰的中线互相
高中数学具有比较强的综合性，且知识
垂直，那么该等腰三角形的底和腰的比例是 多少？这道题初看信息极少，但等腰三角形具 有许多性质，我们要学会在审题时找到合适
点较多，在解答问题的过程中很容易将“已知 条件”忽略，造成解题不畅或错解。所以，通过 数
目的，分数也是可以得到的，可结果还是做错 了丢了分。实际上就是审题能力比较差的缘 故。
在审题时，我们要通读题目，对题目中的 条件特别是隐含条件、结论进行分析、思考， 解答时要调用自身的知识储备，回忆相关的 知识点，使自己的解题思路明晰起来。
例 １：如图，在 ΔABC 中，点 O 是 BC 的中 点，过 O 点的直线分别交直线 AB，AC 于不同 的两点 M，N，若"A#B ＝mA"$M ，"A$C ＝n"A$N ，则 m＋n 的值为
但是有些问题因为已知条件过于复杂，学生
难以下手，需要学生从已知条件中不断理出
有效信息，最终挖掘出利于解答的方法，其中
包括一些生活常识，使数学问题得以解决。
例如下面这道数学题：“甲乙两人进行一
道年龄问题的计算，甲对乙说，我在你现在的
年龄时，我的年龄是你的 ２ 倍。而乙对甲说，
如果我到了你的年龄，那你就 ３７ 岁，求现阶
对隐含条件挖掘的实例分析，可以让学生运 学
的性质，帮助我们解答问题。设等腰三角形 用已学的数学知识对问题进行有效解答，帮 篇
ABC 的底为 a，腰是 b，中线 BD 与 CE 相交于 助学生提高数学成绩。
点 O。那么可以知道点 O 也是三角形的重心，
一、挖掘生活常识中的“隐含条件”
在学习过程中，虽然学生已经掌握了课
高中数学解题中隐含条件的挖掘
高中数学解题中隐含条件的挖掘【关键词】高中数学;解题;隐含条件;挖掘数学问题的完整性通常包括条件与目标两个方面.问题条件主要具有显性条件与隐含条件以及干扰项.显性条件在解答方面能够提供非常直接的帮助;隐含条件普遍都受忽视，因此需要学生独立挖掘;干扰项使题目难度增加，对学生的思考设置产生影响.在解题的过程中，学生只要对显性条件进行确认，对隐含条件进行挖掘，对干扰项进行排除，才可以使解题的效率得到提升.一、意义有些数学问题即使表面上看比较有难度，但是若是能够把数学题内存在的隐含条件挖掘出来，就可以使解题步骤得到快速简化，将题中具有的数量关系理清，使解决数学问题的效率提高.二、方法（一）已知条件方面解决高中数学问题的过程，本质就是对学生逻辑思维的考查过程.分析题中存在的隐含条件就是通过逻辑思维进行的.在学习高中数学知识的过程中，虽然教师的讲解十分重要，但是学生进行练习也是十分关键的.学生进行数学的日常练习时，基本上都会把教师在课堂上传授的知识进行变形或者拓展，属于将知识进行延伸.所以，学生在练习时，题目难度就会变大.学生在进行具体题目的解决时，若是想得到其中存在的隐含条件，就需要全面分析与研究已知条件，对已知定理或者设定进行透彻理解与分析，准确找到题目条件所包含的定义与公式，再利用公式变形将题中存在的隐含条件找出.例如：已知函数f（x）=loga（x+1）（a0，且a≠1），g（x）=loga （4-2x）.求使函数f（x）-g（x）的值为正数的x的取值范围.题目自身较为复杂，学生在表象认识方面存在困难.學生第一眼看到此题目时，会认为此题所给的条件不够，无法解答.有些学生还会被禁锢于题目呈现的简单条件之中，这时若是想在其中发现隐含的条件就非常困难了.因此，学生在做题时，必须将题面上所给的全部已知内容都找到，且在其中找到需要解决的问题与高中数学内一些定理的相似之处.解析：令f（x）-g（x）0，得f（x）g（x），即loga（x+1）loga（4-2x）.当a1时，可得x+14-2x，解得x1.因为-1x2，所以1x当0a1时，可得x+14-2x，解得x1，因为-1x2，所以-1x1.综上所述，当a1时，x的取值范围是（1，2）;当0a1时，x的取值范围是（-1，1）.由解析所表达的内容可以清晰地看到，本题的解题关键在于通过已知条件进行转化，从而找到该题目的解题核心即“令f（x）-g（x）0，得f （x）g（x）”.在找到解题关键后，该题由已知条件不完整，变成了一道简单的不等式问题，这在极大程度上降低了解题难度.同时，在上述的题目解析中可以发现，高中数学问题的条件通常不会直接呈现给解题者，而是需要解题者在利用平时课堂上所学内容的基础上，合理运用逻辑思维在题干中找到解题关键.因此我们可以说，高中阶段的数学题目正是为了有效考察学生的逻辑思维，并以此锻炼学生的思维能力.（二）推理方面学生在进行高中数学的学习时，只需对方法有一定的掌握就能够使题目难度得到明显降低.题目内具有的隐含条件是将数学问题彻底解决的重要内容.学生只有不断推理和探究题目，才能发现解决问题的方法，发现解题时需要的实质内容.但是一部分题目非常复杂，很难挖掘其中存在的隐含条件，只有利用具有严密性的逻辑推理与求证，才能够将隐含条件推导出来，最终将问题解决.例如：已知A+B+C=π，求证：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.学生在看到此题时，第一反应就是题目中条件不够，没有办法解题.但是若是经过较为严密的推理就可以将此题中存在的隐含条件找到.解析：利用基本不等式a2+b2≥2ab，同向不等式相加，可以得到tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2;然后只需证明tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=1即可.由两角和的正切公式的变形可得tan α+tan β=tan（α+β）（1-tan αtan β），结合三角形内角的关系可得tanC2=cot（A+B）2，至此即可求出结果.证明：因为tan2A2+tan2B2≥2tanA2tanB2，tan2C2+tan2B2≥2tanC2tan B2，tan2A2+tan2C2≥2tanA2tanC2，所以将三个不等式相加可得：tan2A2+tan2B2+tan2C2≥tanA2tanB2+tanC2tanB2+tanA2tanC2=tanA2ta nB2+tanC2tanA2+tanB2=tanA2·tanB2+cotA+B2tanA+B21-tanA2tanB2=1，即tan2A2+tan2B2+tan2C2≥1.由上述题目解析可知，仅凭题干的已知条件进行证明是无法直接解开此题的，需要学生进一步利用自身的知识积累来找到题中的隐含条件.类似于上述形式的数学题目，在高中阶段的“出镜率”较高，并且具有一定的难度.但是通过上述解题过程不难发现，该类题目的出题意图在于考察学生的知识储备，学生只有掌握固定的不等式关系，才能满足上述题目的解题要求.同时，学生在解题过程中，依旧需要将自身积累的数学知识运用于解题过程中，从而为题目“凑齐”解题条件.而这种思维在学生未来进行科学或学术研究时，能够为其起到一定的支撑作用.在学术研究过程中必须通过已知的知识来求证未知知识，在条件不满足的情况下，科研人员一定要具有上述的“拼凑”思维，巧妙且合理地将所有知识及条件汇聚在一起，才能解开未知的谜题.因此，学习与练习数学题目能够在一定程度上培养学生的思考能力，为其日后的工作及学习奠定良好的基础.（三）定义方面定义和性质是数学解题过程中的着手处，属于浅显的隐含条件，但若是不够重视就会成为非常隐蔽的隐含条件.例如，一元二次方程中的二次项系数不能是0，指数函数中底数必须是不是1的正数，等等.例如：已知数列{an}中，a1=3，前n项和Sn=12（n+1）·（an+1）-1.求证：数列{an}是等差数列.解析：由Sn=12（n+1）（an+1）-1，得Sn+1=12（n+2）·（an+1+1）-1，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an-1，则（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，两式相减整理后利用等差中项公式可判断.证明：因为Sn=12（n+1）（an+1）-1，所以Sn+1=12（n+2）（an+1+1）-1，所以an+1=Sn+1-Sn=12[（n+2）（an+1+1）-（n+1）（an+1）]，整理可得，nan+1=（n+1）an-1，①所以（n+1）an+2=（n+2）an+1-1，②②-①可得，（n+1）an+2-nan+1=（n+2）an+1-（n+1）an，所以2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），所以2an+1=an+2+an，所以数列{an}为等差数列.通过上述题目解析可知，在进行数学题目解答时，学生需要准确掌握使数学概念成立的充分与必要条件.在高中阶段的数学学习过程中，很多定理的存在与成立都需要一定的固有基础，同时根据定理又能得到相应的固有结论.因此，在一般的数学题目中，既定的充要条件通常不会直接呈现，学生需要通过自身对于定理的熟练掌握在解题过程中自行进行补充，从而满足题目的解题需求.因此，教师在日常的数学教学中，需要对学生在该方面进行强调，并在讲解新定理的过程中要求学生对定理的结论及条件进行记忆.但需要注意的是，教师在课程中对学生提出定理记忆要求时，需要直接配合上述类型的题目要求学生进行练习，从而使学生直观感受到记忆定理的作用.（四）联系方面在单独地、孤立无援地对已知条件进行审视时，能够在已知条件的联系中发现新的隐含条件.例如：锐角α，β满足条件sin4αcos2β+cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.证明：由已知可设sin2αcos β=cos θ，cos2αsinβ=sin θ，则sin2α=cos θcos β，① cos2α=sin θsin β，②①+②得：cos（θ-β）=1θ-β=2kπ，所以θ=2kπ+β（k∈Z），所以sin2α=cos θcos β=cos2β，cos2α=sin θsin β=sin2β，因为α，β为锐角，所以sin α=cos β=sinπ2-β，所以α=π2-β，即有α+β=π2.由上述类型的题目及对应解析可知，学生在进行数学习题解答的过程中，需要充分认识到题干中所存在的固有关系，而该类固有关系正是题目的隐含条件，学生只有及时发现该类隐含关系才能有效解开该类题目.此类题目在发现隐含条件后的整体运算并难，故需要教师在日常练习过程中帮助学生进行解答，并指导学生进行相应的积累.其中在要求学生进行积累时，教师要有所侧重的为学生指出解题重点，意在培养学生发现隐含条件的思维能力，切忌放任学生死记硬背.（五）认知动因方面在数学教学活动中，不但具备将认知动因进行激活的策略，也具备将认知内容和方法进行激活的策略，前面的内容依据联想，后面的内容依据类比.解题的过程不仅是联想的过程也是类比的过程.例如：在等比数列中，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20等于多少？分析：这是一道关于等比数列的题目，要回忆等比数列的前n项和的公式.首先，由已知条件可得q≠1，S10=10，S30=130，接下来就可以利用等比数列的前n项和公式将其进行变形，进而得到关于q的方程，即可求出q10的值，然后利用等比數列的前n项和公式进行解答就可以了.解：因为S30=13S10，且数列为等比数列，所以q≠1.因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130，所以a1（1-q10）1-q=10，且a1（1-q30）1-q=130，所以q20+q10-12=0，所以q10=3，所以S20=a11-q201-q=S10（1+q10）=10×（1+3）=40.从该类题目的解题过程中可以看出，此类题目能够很好地检验学生对题干的拆解能力，教师在为学生讲解过题目后，一定要重点对其隐含条件“q≠1”及等比数到的特征进行总结，其目的在于吸引学生对题干的注意力，从而在后续解题过程中能够发现题干中的隐藏条件.（六）图形方面一位法国数学家曾经说过，代数和几何一旦分道扬镳，那么它们的发展范围就会变得十分缓慢，它们在应用方面就十分狭窄，但是把它们相互结合、相互联系，它们就能相辅相成、互相影响，就能够加快发展的步伐，变得更加完善.例如：已知点A（1，2），B（3，-5），P为x轴上一动点，求P到A，B的距离之差的绝对值最大时P点的坐标.分析：从题中能够看出，若不通过数形结合，则很难算出P到A，B 的距离之差的绝对值最大时P点的坐标，因此，可以利用数形结合的方式进行解题，如下图所示.易得当B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大，设直线AB′的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB′的解析式，点P即是此函数与x轴的交点坐标.解：设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，AB′，则B′（3，5），PB′=PB，所以|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′，则B′，A，P三点共线时，|PA-PB|最大.设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有2=k+b，5=3k+b，可得k=32，b=12，所以直线AB′的解析式为y=32x+12.令y=0，可得x=-13，所以符合题意的点P的坐标为-13，0.数形结合不仅是数学发展历史中的重要发现，也是当下高中数学题目中隐藏条件的最好手段.因此，教师需要充分培养学生将图形与函数进行联系的能力，往往题干中的隐藏条件就存在于图形与函数之间.此外，高中数学的教学内容中包含了多种函数形式，并进一步提升了学生对于函数的理解要求.故教师要重视在日常教学中加强学生于函数的理解，并在适当时间要求学生自行进行函数图像的描绘，或通过建立函数图像来要求学生写出对应的函数表达式.三、结语学生在学习高中数学知识时，需要把所学的知识不断运用，这样才可以实现学习的目的.学生在解题时挖掘题中蕴含的隐含条件，并采取与之相关的定义将问题解决，对解题效率的提高有很大的帮助.。
数学题目中的隐含条件
数学题目中的隐含条件作者：贾炳麟傅海伦王悦来源：《教学与管理(中学版)》2019年第08期摘; ;要; 通过挖掘隐含条件解题是一种极具创造性的思维活动，运用自己的联想能力和充足的知识储备，拓宽问题解决的思路，冲破数学的边界，打通学生的解题道路，提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生的联想与想象能力，从而增强学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的美妙。
关键词隐含条件; 数学解题; 挖掘所谓隐含条件，是指在数学问题中，除了直接给出的已知条件外，还没直接给出需要人们去挖掘的条件。
这种条件一般隐含在定义、定理、公式、法则、图形之中，含而不露，容易被忽视，因而造成解题错误[1]。
也就是说，隐含条件在解题时并未在数学题目本身直接表示，但是通过利用已知条件、有关条件或者已有的知识储备可以得出的解题条件。
隐含条件的内容十分丰富，没有特别一成不变的模式可循，它是以抽象广泛的普遍性与实际问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解决办法[2]。
在解题过程中，如果按照习惯的思维定势探求解题途径比较困难的话，可以根据题目的特点，展开丰富的联想，找到最佳的解题途径，这对培养学生的创新意识和提高解题能力有很大的帮助。
一、数学题目中隐含条件的基本类型1.制约型制约型的隐含条件是指其仅仅对于数学解题中的结果或者结论有一定的限制作用，而对于解题过程而言并没有过多影响。
这种制约型的隐含条件多数出现在数学题目所涉及的数学公式或者概念中，是由于这些公式、概念本身的性质而产生了这种制约条件。
例1; 解方程log2x+log2（x+2）=3在本题中，隐含条件就是x>0，x+2>0，这是由于log2x的性质决定的，这个隐含条件对于解题的最终结果有限制作用，而并不会影响到解题步骤和过程，这就是限制型隐含条件。
2.补充型补充型的隐含条件就是指在某些数学解题中，对于某些存在着特殊性质的概念或定义，它对于整个题目的解决有隐藏的补充作用。
如何发掘数学题中的隐含条件
如何发掘数学题中的隐含条件作者：庄明勇来源：《考试周刊》2013年第40期发掘并利用题中，含而不露的隐含条件，是解数学题的关键，对提高学生解题能力具有重要的意义.发掘隐含条件，通常可以从数学题所涉及的概念、图形、结构等方面的特征入手，通过分析、比较、观察、联想等方法进行探索.常见的途径有以下几种.一、从概念特征发掘隐含条件有些数学题，一部分已知条件隐含于概念之中，可以从分析概念的本质特征着手，发掘隐含条件，探明解题思路.二、从结构特征发掘隐含条件有些数学题，已知条件由这样或那样的关系式给出，部分条件巧妙地隐含于这些关系式中.这时，可以从关系式的结构特征上发掘隐含条件.观察PB、PA、OA、OO′四线段所处的位置，若BO′∥PO，则可得到上述比例式.发现了上述隐含条件，原题就不难证出.四、从结构中发掘隐含条件有些数学证明题，部分条件隐含于结论之中.在这种情况下，可以从分析结构入手，通过适当变形把某些条件从结构中分离出来.例4：已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC.思考方法：可以先根据结论，在BC边上找一点E使BE=BD，再证明AD=EC.即把隐于结论中的一部分条件从结论中分离出来，使证明方向比较明确，便于作进一步证明.五、从相关知识发掘隐含条件有些数学题，其内容涉及物理、化学等其他学科的知识.解题时只有充分注意相关知识的特点和性质，才能顺利发现隐含条件，获取解决问题的方法.例5：在△ABC中，D在BC上，使BD∶DC=3∶2，E在AD上，且使AE∶ED=5∶6，若BE与AC相交，交点为P，求BE∶EP.思考方法：本题若用平面几何方法求解，则需作辅助线，且过程比较复杂.如果能注意到应用杠杠平衡原理，把线段之比转化为受力之比，则不需添加辅助线，便可巧妙、简捷地解决.故有EA=6，所以ED=EA+EC=9.故BE∶EP=ED∶EB=9∶2.以上讨论了发掘隐含条件的一些常用途径，在实际解题时，这些途径可以而且必须结合起来运用.只有这样，才能收到好的效果.。
浅谈隐含条件在数学解题中的作用
教学方法课程教育研究127学法教法研究浅谈隐含条件在数学解题中的作用谭翰举（开县书院初级中学 重庆 405408）【摘要】在数学解题中，常常会因为学生没有注意到题目中的隐含条件，而出现解题错误，影响了学生解题能力的提高。
但是，任何事物都有其两面性，如果能够利用好隐含条件，就能很好地发挥其积极作用，从而提高解题教学的有效性。
为此，本文试图针对初中数学中的一些概念及性质，举例说明隐含条性在解题中的作用，供今后在教学中参考。
【关键词】隐含条件 数学解题 作用【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）7-0127-02《初中数学新课程标准》对学生提出的要求是：“综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
”由此可见，通过数学解题来提高学生的能力是初中数学教学的一项重要目标，数学解题教学在初中数学教学中占据十分重要的地位。
然而，在数学解题中，数学中的隐含条件在题目中没有明确告诉初学者往往一时不易发现，较容易忽视题中隐含条件的发掘，结果犯了条件不足解答不全，答案不正确等错误，影响了学生解题能力的提高。
但是，任何事物都有其两面性，如果能够利用好隐含条件，就能很好地发挥其积极作用，从而提高解题教学的有效性。
因此，探讨隐含条件在数学解题中的作用，就有着重要的现实意义。
下面，就结合教学实践来举例说明隐含条性在解题中的作用，供今后在教学中参考。
一、分式中的隐含条件例1：当x=___时，9632+−−x x x 的值为零此题容易填x =3±，而忽视分式的分母不能为零，故应填x =-3。
例2：已知：x 、y 为实数，且y =322111xx x +−+−，求y x 199032+分析：认真考虑，在y=322111x x x +−+−中隐含着条件,012≥−x 1－02≥x ，1+03≠x 这一条件，若能注意到这一点，问题就不难解决了。
解：∵偶次方根的被开方数为非负数，且分式的分母不为零。
浅谈数学中的隐含条件
浅谈数学中的隐含条件数学在自然界中无论是宏观,还是微观,无论是上其天文,还是下其地理,无处不用到数学,数学的应用非常广泛。
又特别是全世界都在向高科技领域发展的今天,又尤其是中国在各方面的建设正在突飞猛进,步入世界前列的今天,更需要数学知识。
数学是其它知识的铺路石,尤其是数学思想是数学的灵魂,是打开数学学习与研究的金钥匙。
我们在学习数学时,在平时的作业,练习,测验,中考试题中都会遇到这样那样的问题,出现预测不到的错误。
特别是数学中的隐含条件,它使同学们感到伤脑筋、头痛、做题时又是出现错误特别多的地方,同时它也是同学们学习好知识的一个障碍物、拦路虎、它将会给同学们学习带来很大的困难,因此我们一定要重视数学中的隐含条件,千万不要忽视这一点。
在学习数学时,只要同学们发扬勤奋努力学习,刻苦钻研,发扬钉子的精神,发扬猛虎拦路敢拼斗的精神,有战胜克服困难的信心和勇气,没有克服不了的困难,一定能学好数学,一定能牢固掌握数学的基本知识,基本技能,同时能灵活运用数学思想的各种方法去挖掘数学中隐含的条件,巧妙的解数学题,使同学们计算解题速度快简捷。
下面举例说明数学中的隐含条件。
1隐含在三角形中的条件例1已知等腰三角形中ABC周长是20cm,设腰长AB长xcm为cm,底BC长ycm为cm,求y与x之间的函数表达式,并写出自变量取值范围。
错解:由题意得y=20-2x()分折:由题意得y=(20-2x)是对的,但是由三角形的三边关系定理,知第三边大于另外两边之差,而小于另外两边之和,所以可得0〈y〈2x,即0〈20-2x〈2x,解得5〈x〈10。
正确解:由题意得y=20-2x(5〈x〈10)。
2隐含在图形与数中的条件例:如图1所示正方形oABC和正方形ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上,点F在AB上,点B、E在函数y=1x(x〉0)的图象上,则点E的坐标是()。
(A)(5+12,5-12)(B)(3-12,3-12)(C)(5-12,5+12)(D)(3-32,3+32)解析:观察图象,由题意可知点E的横、纵坐标之积为1,所以选项B、D不正确;又从图可知点E的横坐标大于纵坐标,所以选项C不正确。
高中数学隐含条件汇总10条（简化总结）
高中数学隐含条件汇总10条（简化总结）
高中数学隐含条件汇总10条
1.双曲线方程后的附缀内容
2.开方的时候，特别注意被开方数的正负，尤其是带有对数的和三角函数的
3.带有锐角、钝角的三角函数和解三角形问题，特别注意角度范围
4.数列的正负项和多解情况
5.轨迹问题特别注意完备性要求
6.向量的夹角范围
7.直线和圆的位置关系中联立法的使用条件、判别式的使用条件
8.复合函数必须先求定义域再去求其他参数范围
9.三角函数求单调区间注意求增代减
10.对称性和周期性的结论易混易错。
第一章 专题突破一：三角形中的隐含条件
专题突破一 三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘． 隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 解 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2， 综上所述，k 的取值范围为2<k <6.反思感悟 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边之和大于最大边就可以．跟踪训练1 在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，第三边上的中线AD ＝x ，则x 的取值范围是 ． 答案 (1,7)解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，则BE ＝AC ＝8.AE ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6＞8，2x ＋8＞6，6＋8＞2x ，解得1＜x ＜7.∴x 的取值范围是(1,7)． 隐含条件2.三角形的内角范围例2 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是 ． 答案 23或 3解析 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， 则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.∴△ABC 的面积是23或 3.反思感悟 利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错． 跟踪训练2 在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则B ＝ . 答案 π6或56π解析 由正弦定理，得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0. ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝12，sin(A ＋C )＝12，sin(π－B )＝12.sin B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝56π.例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .tan A tan B ＝a 2b 2，试判断三角形的形状．解 由tan A tan B ＝a 2b 2和正弦定理，得sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，又A ，B ∈(0，π)，∴cos B cos A ＝sin Asin B，即sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 在△ABC 中，sin A ＝sin B ⇔A ＝B 是成立的，但sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°.跟踪训练3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c －a ＝2a cos B ，则B －2A ＝ . 答案 0解析 由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C －sin A ＝sin(A ＋B )－sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A ＝2sin A cos B ，∴sin B cos A －cos B sin A ＝sin A ，sin(B －A )＝sin A . ∵A ，B ∈(0，π)．∴B －A ＝A 或B －A ＝π－A (舍)． ∴B －2A ＝0.例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .B ＝3A ，求ba 的取值范围．解 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A ，∴A ＋B ＝4A <180°， ∴0°<A <45°，∴22<cos A <1， ∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<ba<3.反思感悟 解三角形问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败． 跟踪训练4 若在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则A 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π6，π4解析 由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝2A ＜π2，0＜C ＝π－A －B ＝π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.例5 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由正弦定理及a ＝2b sin A 得，a sin A ＝b sin B ＝2b ，sin B ＝12，又∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴B ＝π6.(2)由△ABC 为锐角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π2，0＜B ＝π6＜π2，0＜C ＝5π6－A ＜π2，解得π3＜A ＜π2，cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∵2π3＜A ＋π3＜5π6. ∴12＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32， ∴32＜3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＜32.∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.反思感悟 事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A 的范围都有影响，故C ＝π－A －B ＝56π－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由此得A ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. 跟踪训练5 锐角△ABC 中，B ＝60°，b ＝3，求△ABC 面积S 的取值范围． 解 由正弦定理，a ＝b sin B sin A ＝332sin A ＝2sin A .同理c ＝2sin C ，∴S ＝12ac sin B ＝12·2sin A ·2sin C ·sin 60°＝3sin A sin C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .又∵A ，C 为锐角， ∴0<2π3－A <π2，π6<A <π2，∴S ＝3sin A sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝3sin A ⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝32sin A cos A ＋32sin 2A ＝34sin 2A ＋32·1－cos 2A 2 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34， ∵π6<A <π2，∴π6<2A －π6<56π， ∴12<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6≤1，∴32<32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋34≤334. 即S 的取值范围为⎝⎛⎦⎤32，334.1．在△ABC 中，必有( ) A ．sin A ＋sin B ＜0 B ．sin A ＋cos B ＜0 C ．sin A ＋cos B ＞0 D ．cos A ＋cos B ＞0答案 D解析 在△ABC 中，A ＋B ＜π，0＜A ＜π－B ＜π. ∴cos A ＞cos(π－B )＝－cos B . ∴cos A ＋cos B ＞0.2．在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝ .答案1665解析 若A 为钝角，由sin A ＝35＜32，知A ＞2π3.又由cos B ＝513＜12.知B ＞π3.从而A ＋B ＞π.与A ＋B ＋C ＝π矛盾． ∴A 为锐角，cos A ＝45.由cos B ＝513，得sin B ＝1213.∴cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫45×513－35×1213 ＝1665. 3．在△ABC 中，C ＝120°，c ＝2a ，则a 与b 的大小关系是a b . 答案 ＞解析 方法一 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得cos 120°＝a 2＋b 2－(2a )22ab ，整理得a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b .方法二 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a sin A ＝2a sin 120°，整理得sin A ＝64＞12＝sin 30°.∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°，∴A ＞30°，B ＜30°，∴a ＞b . 4．在△ABC 中，若b 2＝ac ，则ba 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1＋52解析 设b a ＝q ，则由b 2＝ac ，得b a ＝cb ＝q .∴b ＝aq ，c ＝aq 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＞aq 2，a ＋aq 2＞aq ，aq ＋aq 2＞a ，解得－1＋52＜q ＜1＋52.5．在钝角△ABC 中，2B ＝A ＋C ，C 为钝角，ca ＝m ，则m 的取值范围是 ．答案 (2，＋∞)解析 由A ＋B ＋C ＝3B ＝π，知B ＝π3.又C ＞π2，∴0＜A ＜π6，∴1tan A ∈(3，＋∞)．c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin A ＝12sin A ＋32cos A sin A＝12＋32tan A ＞12＋32·3＝2， ∴m ∈(2，＋∞)．6．在△ABC 中，若c ＝2，C ＝π4，求a －22b 的取值范围．解 ∵C ＝π4，∴A ＋B ＝34π，∴外接圆直径2R ＝c sin C ＝222＝2.∴a －22b ＝2R sin A －22·2R sin B ＝2sin A －2sin B ＝2sin A －2sin ⎝⎛⎭⎫34π－A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4. ∵0＜A ＜34π，∴－π4＜A －π4＜π2，∴－22＜sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜1. －1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＜ 2. 即a －22b ∈(－1，2).一、选择题1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C 等于( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6 答案 C解析 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B 等于( )A ．±53 B.23 C ．－53 D.53答案 A解析 由正弦定理得sin B ＝23，如图所示．过C 作CD ⊥AH ，D 为垂足，在Rt △ACD 中，得CD ＝AC ·sin 30°＝20×sin 30°＝10， ∵10<15<20，∴以C 为圆心，以15为半经作弧，该弧与AH 交于两点，即B 有两解． ∴cos B ＝±1－sin 2B ＝±1－⎝⎛⎭⎫232＝±53. 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 由正弦定理得a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.5．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154B.1534C.2134D.3534 答案 B解析 ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534. 6．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形答案 C解析 ∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2， ∴a c ＝sin B ，sin B ＝22. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B ＝π4. ∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝2⎝⎛⎭⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0，∵C ∈(0，π)，C ＝π2.∴A ＝π－B －C ＝π4.∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C.7．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C . 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1.又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知，C 为锐角，故C ＝π6.故选B.二、填空题8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或5π6.又因为C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又因为a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为 ． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.10．若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；c a的取值范围是 ． 答案 π3(2，＋∞)解析 由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . ∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3，又B ∈(0，π)， ∴B ＝π3.又∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2， 即ca＞2. ∴ca 的取值范围是(2，＋∞)． 三、解答题11．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2π3，c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋ 3 ＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A －12sin A ＋ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin A ＋32cos A ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋ 3. ∵0<B ＝π3－A <π3，∴0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a ＜c ，所以cos A ＝277.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314. 13．(2018·河北省衡水中学调研)如图，在△ABC 中，B ＝π3，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且AE ＝8，AC ＝410，∠CED ＝π4.(1)求CE 的长；(2)若CD ＝5，求cos ∠DAB 的值． 解 (1)由题意可得∠AEC ＝π－π4＝3π4，在△AEC 中，由余弦定理得AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos ∠AEC ， 所以160＝64＋CE 2＋82CE ， 整理得CE 2＋82CE －96＝0， 解得CE ＝4 2. 故CE 的长为4 2.(2)在△CDE 中，由正弦定理得CE sin ∠CDE ＝CD sin ∠CED ，即42sin ∠CDE＝5sin π4，所以5sin ∠CDE ＝42sin π4＝42×22＝4，所以sin ∠CDE ＝45.因为点D 在边BC 上，所以∠CDE >B ＝π3，而45<32， 所以∠CDE 只能为钝角， 所以cos ∠CDE ＝－35，所以cos ∠DAB ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠CDE －π3＝cos ∠CDE cos π3＋sin ∠CDE sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310.14．(2018·福建省三明市第一中学月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( )A.π6B.π4或3π4C.3π4D.π4 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ， ∴c 2＋bc ＝3bc ，∴c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ，∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4，故选D.15．锐角△ABC 中,内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3,6] B ．(3,5) C ．(5,6] D ．[5,6] 答案 C解析 因为(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4()sin 2B ＋sin 2C ＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2，可得b 2＋c 2∈(5,6]．。
高中数学隐含条件的探索与研究
高中数学隐含条件的探索与研究
发表时间：2016-06-15T16:45:41.670Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2016年4月上作者：陈夕忠[导读] 任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的。
摘要：教学中常常遇见学生出现漏解、增解、错解的现象，关键是在等价性上不注意，其中一个主要原因是学生对题设中的隐含条件挖掘不够，而导致解题错误。
我们知道，任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的。
条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路。
条件有明示的、有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能。
本文尝试着从几个方面来归纳对隐含条件的处理，方便学生归纳、总结，避免再犯同样的错误。
关键词：高中数学；隐含条件；探索与研究。
不可忽视的隐含条件
例 ２ 关于 的方程
一
２ ｍ一２ ＋，２ ０ （ ） ，＝ ｌ
有两个实 数根 ， 且两根 的平方和等 于 ｌ ． ６ 求 ｍ 的值 ． （Ｏ ｌ广东省深圳市 中考题） ２Ｏ ， 错解 ： 设原方程 的两根 为 。 ： 由根与 、 ．
系数的关系得 ｌ ２ （，一２ ， ２ ＋ ＝２ ， ） ｌ ＝ｍ２ ｌ ． 所 以，
＝ｋ 一２ ｋ一２．
口 ２ ＝ 口＋ａ ２ （＋）＋ ≠一 ， （ ３ ＋） 口 １ ｛为 Ｙ ＋
二次函数 ． Ａ＝（ 二 当 口＋１ 一 （ ３ ２ × ） ４ 口 ＋ 口＋ ）
｛≥ 时， 口 一 ． 口 ｌ ≠一 ， ０ 得 ≤ １而 ≠一 且口 ２
．．
故口 ＜一ｌ 口 一 且 ≠ ２时， 二次 函数的图像与 轴总有交点 ． 由① 、 ②可 知， 口＜ 一ｌ ， 函数 图 当 时 此 像与 轴有交点 ． ２２ 二次函数图像 的隐含条件 ． 当抛物线与 轴有交点 ， 用根与系数关
时， 不能忽视方程有实根的条件 △ ． ≥０ 例 ４ 已知抛 物线 Ｙ＝ ｘ 一 ｘ＋ｍ（ ２ ３ ｍ 为常数 ） 与 轴交于 Ａ Ｂ两点 ， 、 且线 段 Ａ Ｂ
中学教与学
时， 解得 口 ≤一１ ．
故当 口≤ 一ｌ ， 次 函数 的 图像 与 时 二 轴总有交点 ．
错因 ： 本题只有当 口 ＋ 口＋ ≠０ ３ ２ 时，
左 边 ， 、 是 以 线 口 ｐ 段 船 为 斜 边 、 点 顶 Ｃ 在 轴 上 方 的 Ｒ △ Ａ Ｃ的两卟锐角 ． ｔ Ｂ （） 二次 函数 １若
（ ｏ， ２ １ 山西省中考题 ） ０ 错解 ： （ ｍ＋１ 一 （ ２ ０ △＝ ２ ） ４ ｍ一 ） ＞ ，
高中数学解题中隐含条件
JIAO HAI TAN HANG /教海探航高中数学解题中隐含条件冯正诚数学是高中课程中的一门主要课程，对于高中生具有至关重要的作用。
对于高中生而言，数学学习的任务也比较繁重，要掌握很多知识点，掌握的内容比较庞杂，因此，高中数学是让大多数高中学头疼的一门课程。
对于高中学生而言，想要学好数学，就要对知识点进行融会贯通，挖掘题目中的隐含条件，找到解题思路，从而顺利的解决数学问题。
本文就高中生如何挖掘数学题目中的隐含条件，找到解题方法进行说明。
高中数学不像初中数学那么简单，它需要高中生具备一定的数学思 ，在决数学问题的时候首先要找比较全面的数学条件，然后再着手 解题。
因此，数学题目中的隐含条件的 挖掘特别重要，只有挖掘出隐含条件，教学方法是教师展开教学的主要形式，教学效果设计是否得当对于整堂 课的教学氛围教学效率等多方面有着 重要影响。
在新课改背景下，教师在设 计教学上应注重引思教学，并利用多 种教学方法来实践引思教学，保证引 思教学的实效性。
案例描述：在苏少版第三册第一 单元《五彩歌风》的第一课时开展“两 只小象”教学时，该课教学目标是培养 学生的感 ，能够利用 的两只小象 歌己对于音乐的感。
首先教师在进行 教学设计时，应该紧扣教学目标，并立 于学生的 来展开 学生感的教学方法，引思教学的目的。
根学生的 性，教师 设计 设的教学方法并 设计 的来 展学生的思 。
对于该课对条件进行全面的分析，才能准确的把握解题的关键，找准解题思路，从而顺利的解决问题。
同时，数学与实际生活相结合在数学 手头的越来越多了，高中生要善于联系实际去挖掘题目中的隐含条件，实现问题的解决。
的主 ，教师 在教学设计充足的 ，并在开课时象 的，学生 多课的学 主 。
并 该歌，教师 设计 ，学生 着音乐 象 。
时教师进行提问引发学生思考：“小朋友们，我们刚刚跟随者音乐模仿了大象的 ，有 有 音乐象的 教师的 ，学生 的说出大象“身“鼻子长长”等特点，以此来不断的激发学生兴趣，从而达到引思教学的目的。
高中数学学习中掌握隐含条件的挖掘技巧
高中数学学习中掌握隐含条件的挖掘技巧在解题时，需要把已知条件和未知答案关联起来，然后通过计算得到未知答案。
然而部分数学问题的隐含条件不是直接给出来的，而是要求我们同学自己去挖掘。
假如找不到这样的隐含条件，或者会出现解题错误，或者发现因为解题条件不全，所以解不出答案。
在解决数学问题以前，学会审题，发现隐含条件，是解决数学习题的关键。
一、分析习题中的概念与性质，找出带有限制性的隐含条件部分习题的条件，是隐含在概念或者性质中的。
我们同学在审题时，发现一个数学定义，就要把数学问题与它联系起来，分析数学概念或性质会不会对数学问题解题产生影响。
有时数学概念和性质会隐含着解题的限制，而这种没有说明的限制条件就是隐含条件。
题1：已知复数（x2-1）+（y+1）i大于（2x+3）+（y2-1）i（x，y∈R），试求x，y的取值。
在解这道习题时，如果没有从复数这个概念着手，理解一个复数如果不是全部为实数，那么是不能比大小的，那么解这道习题时就会出现错误。
在深入的理解了概念以后，便能理解这道题中包含着一个隐含的条件限制：这两个复数的虚部要为0。
而这种文字没有说明，需要结合概念与性质发现的条件是一种隐含条件。
解：因为（x2-1）+（y+1）i>（2x+3）+（y2-1）i，那么可得x2-1>2x+3，从而可得y+1=0，y2-1=0. 解之得x1+5，y=-1。
在解题以前需要认真的审题。
结合具体的问题去分析，在这个具象化的数学问题中，数学概念和性质是否限制了数学问题求值的范围？只完成这一部份的分析，根据这个具体数学问题的概念和性质，挖掘出其中包含的隐含条件，才能够正确解答习题。
二、发现式子的特征是否与现有的数学公式相似，找出能够简化计算的隐含条件有一些式子直接计算会比较困难，然而观察式子特征以后，发现可以整合式子，让他与标准数学公式一致，此时就可以应用解数学公式的方法完成解题。
实际上在这类习题中，它已经把解数学公式的方法当作一种隐含条件，没有挖掘出这种隐含条件，那么解题的过程会变得繁琐，而挖掘出解题条件后，计算就能变得简单。
隐含条件在解题中的运用
(3)依 条 件 1.4142<"2<1.4143,要 估 计 1+2的近似 值， 只 需 寻 求 对 数 不 等 式 .其 中 隐 含 条 件 ： 由（ 2 )知 ， 当
b & 2时 ， &(#)>0 恒成立.
可以构造不等式:当 b+2 时 ， &(#)+e2 *-e 2 «-8 (e*-e%0 +e~Leabharlann x2 x.1212
还需寻求对数小于某个表达式型的不等式. 其隐含 条件： 由（ 2 )知 ， 当 b >2 时 ， & (#)在 区 间 （ 0， 1n (b -1 +
V b = 2 b ))上单调递减且（#)< 0 .
令 1n(b-1 + % b2 - 2b )+1n V 2 ， 则b+ 在区间(0 ， 1 n V T )上单调递减且（#)< 0 .
+ 1， & (#)
(2014年 课 标 全 国 卷 ！理 ） 已知函数八# )= e#可以构造不等式： 当b + ^ % ^ + 1 时 ， g O + eh -e 2 * 5 4 (3 V T +4)(e*-e*)+(6 V T +4)<0. 取特殊值， 令#+ 1
n
⑴ 讨 论 （#)的单调性； ⑵设&(#)$/(2#)-4'/(#)， 当#>0时 ， & (#)>0,求 ' 的 最大 值 ； (3)已 知 1.4142<"2<1.4143,估 计 1+2的近似值(精 确到 0 . 0 01 ) . 解析： ⑴略. (2 )g^(#)=e2 x- e 2 x-4b (e# - e -x) +( 8 b4 ) x， &# (# )+2 (e2 t + e2 t -2 )-4' (e#+e' 2 ) + 2 (e*+e-t -2 )(e*+e*+2 - 2b ) . 当b # 2 时 ， 2 -2 b $ - 2 ， & ( # ) $ 0 (当且仅当#+ 0 时取 等号） ， 可得当#> 0 时 ， （#) >0 恒成立. 当 b > 2 时 ，若 e#+e -!+ 2 - 2 b < 0 ， 即 0 <#< 1n (b-1 +
数学答题应当注重隐含条件
数学答题应当注重隐含条件作者：王梓潼来源：《中文信息》2019年第01期摘要：数学学习中不可缺少的便是题目的解答，为了更好地实现题目解答，我们需要对题目中的隐含条件予以深刻理解，通过隐含条件的挖掘，更好地实现题目的理解，从而进一步实现我们解题能力的提升。
关键词：数学答题隐含条件深层挖掘中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01一、数学答题注重隐含条件的重要性数学中的隐含条件，指的是在数学课程的解题中，除了可以从题意表面获知的意思外，还有部分隐含的意思是需要深层次的思考才能获得的。
这种条件往往隐藏在定义、定理、公式、法则、图形之中，深藏不漏，如果没有良好的数学思维训练，就很容易被忽略过去，造成对试题题意理解的偏差。
在日常学习中，很多学生经过勤奋练习，对公式的应用已经非常熟练，在解题的时候也能够灵活的使用公式去求解。
但是总会在一些地方犯错误，这多是因为在试题当中，除了明确的告知相关的数值条件以外，还隐藏了一些并不明显的内在关系在里面，这就是所谓的隐含条件。
在解题过程中，如果没有考虑到试题暗示的或者间接给出的隐含条件的话，就会导致求解方法和结果出现错误。
二、结合案例探讨数学答题隐含条件的挖掘1.概念中的隱含条件例题：m为何值时，方程（m+1）x2+4mx+3m-2=0有两个实根？该题的错误解题思路：运用根的判别式，计算得出：，再进行化简计算，得出：。
正确的解题思路：该题中所给方程存在两个实根，判定该方程为一元二次方程，这在题中并没有明确说明，但是在解题中必须要考虑到m+1≠0这个隐含因素。
我们必须主动分析，如果m =- 1时，题中方程将变为一元一次方程，这种情况下只有一个实根，这个结果是与题意不符的，该排除。
因此，本题的正确答案为：- 2≤ m≤1且m≠-1。
2.公式中的隐含条件在数学知识中，除了少数的“绝对性”不变的公式外，大部分公式都具有相应的应用条件及范围。
巧用隐含条件妙解数学习题
二
若仔细审题 ， 则发现原方程 两根的乘积为 １ ， 互 为倒 数关系 。这一 隐含条件 的发掘 ， 将使计算过程大为简化。 解 ：设 ２ ＋ ３ ＋ １ ＝ ０的两根分别是 １ ， ２ ，则有 ｌ 慨２ ＝ 一 ３ ， ｌ ・ Ｘ ２ － １ ，
・ ． ．
一
张君辉． 数 学试题 中隐含条件 的挖掘 与利 用 ［ Ｊ ］ ． 中国 电力教
例３ ． 已知方程 ＋ 、 ／ ｐ ｙ ＋ １ ２ ＝ ０的两根分别是某正三角形 的 外接 圆半径 尺和内切圆半径 ｒ ， 求Ｐ 、 Ｒ和 ｒ 。
分 析 ： 由 根 与 系 数 关 系 ， 不 难 得 出 Ｒ＋ ｒ ： 一
ｐ① ，
・ ． ．
） 一 （ 佰
一 ） ２ ＝ １
可构造 以 Ａ Ｂ ＝ ＼ ／ 为斜 边 ， Ａ Ｃ ＝ 、 ｖ ／ 二 Ｔ ＿ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｉ 为 两直角边
的 Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｃ
１ ｙ ＝ ｌ
Ｌ ｚ ＝１
同理 ， 在Ｒ ｔ △ＡＢ Ｃ的 基础 上 ， 构造 Ｂ Ｄ＝ 、 ／ ０ — ２， Ｂ Ｃ ＝ Ｉ ， Ｃ Ｄ ＝
、 ／
＋ （ 、 ／ 二 ｒ一 、 ／
） ＞ 、 ／ ，
一
式， 可 迅 速求 解 。
・
． ．
、 ／ 一 、 ／ 二 ｒ＜ 、 ／ 二 一 、 ／
一
例２ ． 若ｘ Ｚ ＋ ３ ｘ ＋ ｌ ＝ ０ ， 求 ＋ 的值
上 式 ，解 得 丁 ４
ｚ －
数学习题 中的隐含条件是指那些藏而不露 、 似有若无 、 容易被 Ｒ・ ｒ ： ６ ② “ 视而不见 ” 的 已知条件 。隐含条件的深度与广度是数学习题难度
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高中数学：请注意“隐含条件”
在解数学题的过程中，若能恰当运用题中潜在的隐含条件，则可能大大减少思维量和运算量，从而优化解题过程。
例1. 当m变化时，求两直线交点P的轨迹方程。
解法1 设P（x，y），联立方程
解得
由即可消去m，得
解法 2 注意隐含条件：，且恒过一定点A（－5，0），恒过一定点B（5，0），则有，即得
显然，解法2更简洁。
例 2. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）满足下列三个条件：
①f(x)的图象在y轴上的截距为0；
②；
③方程有等根。
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n（），使f(x)的定义域和值域分别为［m，n］和［3m，3n］，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由①得，
由②得，即，
由，即有等根，得
故，
所以
（2）解法1 抛物线的对称轴方程为
故分三类情况讨论：①当时，②当时，③当时。
此解法运算量较大，且易出错（过程略）。
解法2 隐含条件
所以
又f(x)的对称轴方程为
所以时，f(x)在［m，n］上为增函数。
假设存在符合条件的m，n，则
或或
又
所以为所求值，
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