大一高等数学第二章第三节函数的微分讲解
微分详细讲解课件
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值,精确值.
例9 证当x很小时,ex 1 x.
例10 求5 31的近似值.
(一) 、微分的定义
1.引例 2.微分的定义 3.可微的条件 4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 s x02 ,
s (x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
解 (1) y' 3x2 dy 3x2dx
(2)dy |x2 3 x2 |x2 dx 12dx
(3) dy x2 3x2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
tan f(x) PQ x
PQ f (x)x dy y NQ ,dy PQ NP o(x)
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f (x) g(x)) df (x) dg(x)
d(Cf (x)) Cdf (x)
d(f (x)g(x)) g(x)df (x) f (x)dg(x)
d(f (x)) g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) g(x)2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3 设 y e13x cosx, 求dy及dy(0). 例4 y f(e-x ),求dy 例5 :由x y2 exy确定y f (x),求dy
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x Q
）
o
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及X o+A x在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x 的常数，-:-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点X o可微的。
心丁叫做函数」J—在点x o相应于自变量增量△ x的微分，记作dy，即：「二」—通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于A x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△ x宀0时，△ y~dy.导数的记—=广⑴号为：一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ △X也在该邻域内）时，相应地函数有增量' '■ - ' - ?■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称这个极限值为""⑴在X o处的导数。
记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点X o处存在导数简称函数」八在点X o处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的X 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数' ';的导函数。
拉格朗日中值定理如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1： ' ：「•’」，那末在（a,b）内至少有一点6使v「成立。
《函数的微分》PPT课件
(mm) A 的相对误差限约为
第二十页，共24页。
练习
(liànxí)
1.
第二十一页，共24页。
4. 设 求
由方程
(fāngchéng)
解: 方程两边(liǎngbiān)求微得
分,
当
时
由上式得
确定 , (quèdìng)
第二十二页，共24页。
作业(zuòyè)：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
1.函数(hánshù)的近似计算
当 很小时 得近似等式:
, (xiǎoshí)
使用原则:
第十四页，共24页。
特别(tèbié) 当
很小时 , (xiǎoshí)
常用近似(jìn sì)公式: 很小)
证明: 令 得
第十五页，共24页。
例7. 求 解: 设 取
则
的近似值 .
例8. 计算(jì
suàn)
例4
解
第十二页，共24页。
例5. 设
求
解: 利用(lìyòng)一阶微分形式不变性 , 有
例6. 在下列括号中填入适当(shìdàng)的函数使等式成 立:
说明: 上述微分的反问题(wèntí)是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
第十三页，共24页。
四、微分(wēi fēn)在近似计算中的应用
解:
的近似值 .
第十六页，共24页。
例9. 有一批半径(bànjìng)为1cm 的球 ,为了(wèi le)提高球面的光洁
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm 度, , 估计一下, 每只球需
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
函数的微分
(1)
( 2)
当 Δx 很小时 , ∴ Δy ≈ 3 x Δx .
2 0
( 2 ) 是 Δ x的高阶无穷小 o( Δ x ),
既容易计算又是较好的近似值
3
1、微分的定义
( Δx 很小时 )
20
5、微分的应用：近似计算
（2）计算函数的近似值
( I )求 f ( x ) 在点 x = x 0 附近的近似值
计算 cos 60o 30′的近似值 . 例2 解 设f ( x ) = cos x , ∴ f ′( x ) = sin x , ( x为弧度 )
π π π π 1 3 Q x 0 = , Δx = , ∴ f ( ) = , f ′( ) = . 3 360 3 2 3 2 π π π π π o ∴ cos 60 30′ = cos( + ) ≈ cos sin 3 360 3 3 360 1 3 π ≈ 0.4924. = 2 2 360 21
= 2 x 0 Δx + ( Δx ) 2 .
(Ι )
(II: Δx的线性函数 , 为ΔS的主要部分 ;
(II) : Δx的高阶无穷小 , 当 Δx 很小时可忽略 .
2
1、微分的定义
再如, 设函数 y = x 3 在点 x 0 处的改变量
为 Δ x 时 , 求函数的改变量 Δ y .
d ( x ) = ax
a
a 1
dx
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x
10
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
函数微分的概念解读
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2.4.1 函数微分的概念
定义2.3 设函数 y f ( x) 在点 x0 处有 导数 f ( x0 ) ，则称 f ( x0 )x 为 y f ( x) 在点 x0 处的微分，记作 dy，即 dy f ( x0 )x ， (2.4.2) 此时，称 y f ( x) 在点 x0 处是可微的.
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2.4.3
微分的形式的不变性
以 u ( x) 为中间变量的复合函数 y f [ ( x)] 的微分 dy ydx f (u ) ( x)dx f (u )[ ( x)dx] f (u )du ， 无论 u 是自变量还是中间变量，y f (u ) 的微分 dy总可以用 f (u )与 du的乘积来表示． 函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性．
如果将自变量 x 当作自己的函数 y x ，
则有
dx dy ( x)x x ， 说明自变量的微分 dx就等于它的改变量 x ， 于是函数的微分可以写成
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2.4.1 函数微分的概念
dy f ( x)dx ， (2.4.4) dy ， (2.4.5) f ( x) 即 dx 也就是说，函数的微分 dy 与自变量的微 分dx 之商等于该函数的导数，因此，导数又 叫微商．
(10 0.4 x 0.01x ) x 100 x
1 2
0.01 50.1 (0.4 ) 0.05 2 x x 100
50.120 025(十亿元)．
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2.4.4 微分的应用
高等数学第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分甲 内容要点一．导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等。
并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()0000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
最新版高等数学教学教案-函数的微分(Word)PPT
x
x
于是 当x0 时 由上式就得到
A lim
x0
y x
f
(x0)
因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 Af (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即
lim
x0
y x
f
(x0)
存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成
y x
f
(x0)
其中0(当x0) 且 Af(x0)是常数 x o(x) 由此又有
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
定义：设 y=f（x）在某区向内有定义，x0 及 x0+x 在这区间内. 如果函数的增量 y = f（x0+x）f（x）
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；
高数——函数的微分
时可表示为
y Ax+(x)
其中A是仅依赖于x0而与x无关的常数, (x)是比x高阶的无穷小量,
则称函数y f (x)在点x0可微,并称Ax为f (x)在点x0相应于自变量x的
微分,记作 dy xx0 或df
,即
x x0
dy xx0 Ax
所以,函数在一点的微分就是函数在该点的增量的线性主部.
定理3.5
解
dy=( 3
x) dx
1
x
2 3
dx,
所以
3
dy
x 1, x =0.003
1
2
13
0.003
0.001
3
例 3 求下列函数的微分 :
(1) ecosx ;
(2) ln x (x 0).
解 (1) 因为(ecosx ) ' ecosx sin x, 故
d ecosx ecosx sin x d x
(与P89的基本导数公式对应)
(1) dC=0
(2) dx x1dx
(3) dax (ax ln a)dx, 特别, dex exdx.
(4)
d loga
x
1 x ln
a
dx,特别, d ln
x
1 x
dx.
(5) d sin x cos xdx.
(11) d arcsin x 1 dx.
所以导数也称为“微商”（即微分之商）
例 1 求函数y sin x在点x 0和x 的微分.
2 解 dy (sin x) 'd x cos xdx,所以
dy x0 cos 0dx dx,
dy
x 2
(cos )dx
2
大一高等数学函数微分知识点总结
大一高等数学函数微分知识点总结数学作为一门抽象而精确的科学，具有广泛的应用领域和强大的理论基础。
而在大一学习的数学课程中，函数微分是一个重要的知识点，是数学建模和分析的基础。
本文将对大一高等数学函数微分的相关知识点进行总结和归纳。
一、导数的定义和性质导数是函数微分的基本概念，通常表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义是函数在某一点处的变化率，具体定义为函数在该点的极限值。
导数具有以下几个重要的性质：1. 可导函数的连续性：如果函数在某一点可导，则在该点连续。
2. 常数函数的导数为0：对于常数c，有d/dx(c) = 0。
3. 线性运算法则：导数具有线性性，即对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有d/dx(af(x) + bg(x)) = ad/dx(f(x)) + bd/dx(g(x))。
4. 乘法法则：对于函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 除法法则：对于函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
二、常见函数的导数公式在函数微分的过程中，经常会用到一些常见的函数的导数公式。
下面分别介绍几类常见函数的导数公式及其推导过程。
1. 幂函数的导数：（1）常数幂函数：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（2）指数函数：对于函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为f'(x) = a^xlna。
（3）对数函数：对于函数f(x) = loga x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为f'(x) = 1/(xlna)。
2. 三角函数的导数：（1）正弦函数：对于函数f(x) = sin x，则其导数为f'(x) = cos x。
《函数的微分》课件
极值问题
极值的定义和性质 极值的求解方法 极值在生活中的应用 极值问题的实际案例
曲线的切线问题
切线的定义和性质
切线的求法
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 方程
切线的应用：求曲 线在某一点的切线 斜率
函数的单调性判断
定义：函数在某 区间内单调增加 或单调减少
单调性的判断方 法：导数法、图 像法、表格法等
微分方程及其解法
Байду номын сангаас
微分方程的基本概念
分类：根据未知函数的个数， 微分方程可以分为一阶、二 阶和高阶微分方程
定义：微分方程是包含未知 函数及其导数的方程
形式：微分方程通常可以表 示为f(x,y',y'',...) = 0
解法：常用的解法包括分离 变量法、常数变易法、降阶
法等
一阶微分方程的解法
定义：一阶微分方 程是只含有一个自 变量和一个导数的 方程
指数函数的微分规则
函数形式：指数函数的一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠1 微分规则：指数函数的微分规则为(a^x)'=a^x*ln(a)，其中a>0且a≠1 微分性质：指数函数的微分性质包括单调性、凹凸性、极值等 应用：指数函数的微分规则在经济学、物理学等领域有着广泛的应用
链式法则
添加 标题
形式：dy/dx + p(x)y = q(x)
求解方法：分离变 量法、常数变易法 、线性微分方程的 解法
举例：y' + y = 0, y' + 2y = sin(x)等
二阶微分方程的解法
常用的解法：常数变易法、 降阶法、比较法
定义和分类
特殊类型的解法：伯努利方 程、欧拉方程
高等数学大学数学——微分讲解
所求球壳体积为|DV|的近似值|dV|为19.63立方厘米。
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铃
近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx， f(xDx)f(x)f (x)Dx。
x
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铃
三、微分法则
基本初等函数的微分公式：
d(xm) m x m1dx，
d(log
aax)
x
1 ln
a
dx，
d(sin x) cos xdx， d(cos x) sin xdx， d(tg x) sec2xdx，
d(ln x) 1 dx， x
dd((aarrccssiinnxx)) 11 ddxx，， 11 xx22
分为
dyf (u)du或dyyudu。
微分形式的不变性：
由复合函数的微分法则可见，无论u是自变量还是
另一个变量的可微函数，微分形式dy f (u)du保持不变。
这一性质称为微分形式不变性。
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复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。 例31． 设 y e axbx2 ，求 dy。 解法一：利用dyydx得 dy (e axbx2 )dx e axbx2 (ax bx 2 )dx (a 2bx)e axbx2 dx 。
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铃
DxDx0 0dydy DxDx0 0 AADDx x
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高等数学函数的微分教学ppt
第一节 导数的概念
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
第二节 导数的计算
第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第三节
函数的微分
本节主要内容: 一.微分的概念 二.微分的几何意义
三.微分的基本公式及运算法则
四.微分的近似计算
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一.微分的概念
引例：一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x0 变到 x0 x 考查此薄片的面积 A 的改变情况. 2 2 ( x ) x x 因为 Ax 所以金属片面积 x 0
的改变量为 A(x0 x)2(x0)2 2 x 0 x ( x ) 2
(1) ( 2)
13
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例4 求y = sin23x的微分. 解:
dy d sin 2 3 x
2sin 3 xd sin 3 x 2sin 3 x cos 3 xd 3 x
6sin 3 x cos 3 xdx
14
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
函数y=f(x)在x0可微的充要条件是
x x0
y=f(x)在x0可导．当y=f(x)在x0可微时，有
dy
f ( x0 )x
通常把自变量的增量 x 称为自变量的微分, 记
做 dx, 则函数 y = f (x) 的微分可记做
dy = f (x0)dx,
从而有
dy f ( x )dx
10
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例2 求y = x2arctanx的微分. 解:
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x 的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。
叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。
通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
导数公式微分公式函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。
注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理柯西中值定理如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。
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由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
三、微分的基本功式及运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量x的即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y
( x0
x)3
x
3 0
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
vdu udv v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
一、微分概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02 ,
A
(
x0
x)2
x
2 0
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t 的可
微函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,