中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

在Rｔ△ABC中，∠C=90°,∠Ａ,∠B,∠Ｃ所对的边分别为ａ,ｂ,c
（1）三边之间的关系： (勾股定理)
（２)锐角之间的关系：∠A+∠Ｂ=９0°（三角形内角和)
（3)边角之间的关系:(锐角三角函数）
知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用:测距、测高、测长等
例1、如图,直升飞机在跨河大桥ＡB的上方点P处，此时飞机离地面的高度ＰO＝450m，且Ａ，B,O三点在一条直线上,测得∠=3０°，∠＝45°,求大桥AB的长(结果保留根号).
【分析】Ｐ
第一步:确定相关直角三角形RtΔADP、RｔΔBCP
第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角
三角函数值
第三步：代入已知条件求值，并简答
【解答】
由题意得：ΔADP、ΔBOP均为直角三角形，
∠PＢC=∠＝45°,∠PＡD=∠=3０°，BC＝AＤ=60m，AB＝ＣD
在ＲtΔADP中，ｔａn∠PＡD=PD／AＤ
在ＲtΔＡCD中,tan∠ADC=AＣ/AD
代入数值计算得，AD=ＡB=3ｍ,AC= AD=3 ｍ
故BC=AＣ-AB＝（3 -3）ｍ
【真题演练】
１、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图)．现已知风筝A的引线(线段AC）长2０m,风筝B的引线（线段BＣ)长2４m，在C处测得风筝A的仰角为６0°，风筝B的仰角为４５°.
（1)试通过计算，比较风筝Ａ与风筝Ｂ谁离地面更高？
(2）求风筝A与风筝Ｂ的水平距离.
（精确到0.01ｍ；参考数据:sin45°≈0．707,cｏs４5°≈0.７0７,
tan45°=1,siｎ6０°≈0.８6６，ｃos６0°=０.5,tan６0°≈1.73２）
【分析】
第一步：确定相关直角三角形
本题中∠、∠分别在RtΔAOP、RtΔＢOP中(由平行线内错角相等转化已知角)
第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值
第三步：代入已知条件求值,并简答
【答案】
由题意得,ΔＡOP、ΔBＯP均为直角三角形,
∠PAＯ=∠=30°，∠PＢO=∠=4５°,PO＝4５0m
在ＲｔΔBOP中，tan∠PBＣ=PC／BＣ
代入数值,计算得
taｎ∠PＡD＝PD／ＡＤ=tan∠= 所以PD= AD
tan∠PBC=ＰC/BＣ＝tan∠=1所以PC=BC
AB=CＤ=PＣ－PD＝(１- ）BＣ=(1- ）×6０ｍ=（60－２0 )m
答：AB长为（6０－20 )m
【技巧点拨】（1）此类题型解答步骤：
√1、 、
coｓα
分母都是2，分子分别是
、 、√１
ｔanα
１
分母都是 ，分子分别是
、1、3
【新课知识讲解】
知识点3:解直角三角形
１、解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
③切——垂直的意思，只与直角边有关
④正切——分子是正对的边
⑤余——剩余的意思
余弦——分子是剩下的直角边（即邻边）
余切——分子是剩下的直角边(即邻边）
简记为：正弦——对比斜(或正比斜) 正切——对比邻 余弦——邻比斜
知识点２：常见的锐角三角函数值
三角函数
30°
45°60°技Fra bibliotek点拨ｓiｎα
分母都是2,分子分别是
第二步：分别在ＲtΔＡBD、RｔΔACＤ中,列出已知角∠AＤB、∠ADC的正切值
tan∠ADB＝ＡB/AD tan∠ＡDC=AC/AD
第三步：代入数值计算并作答
【解】由题意得：ΔABＤ、ΔACD均为直角三角形，且∠ADB＝45°,∠ADC=60°
AB＝3m
在RtΔABＤ中，tａｎ∠ＡDＢ=ＡB／AＤ
在RtΔAOP中，tａｎ∠PAO=ＰO／AO
在RtΔBＯP中，tan∠PＢO=ＰＯ/BO
代入数值，计算得
tan∠PAO＝ＰO/AO=ｔan∠= 所以AO= PＯ
ｔan∠PBO＝PO/ＢO＝taｎ∠=1所以BO＝PO
AＢ=AO-ＢO=( -1)PO=45０( －１)m
答:AB长为450( －１）m
例2、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、ＣD的水平距离ＢC=６0米，在建筑物CD上有一铁塔PＤ,在塔顶P处观察建筑物的底部Ｂ和顶部A,分别测行俯角 ，求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值)
第一步：围绕题目中给出的已知角度、线段长度，构建合适的直角三角形，一
般需要确定两个直角三角形
注意:合适的直角三角形指的是包含已知角和已知线段的直角三角形,或者是先利用平行线性质、角度互余关系将已知角转化为其同位角、内错角或余角,包含这些转化后的角的直角三角形）
第二步：分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段（边）列出已知角的
中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用
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课题：锐角三角函数的实际应用
【基础知识回顾】
知识点１：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切)
技巧点拨：
①弦——分母都是斜边②正弦——分子是正对的边(谐音“正邪”)
锐角三角函数
第三步：代入数值计算，注意题目对计算结果的要求，并简要作答。
（2）常见数学模型总结:
模型①
P已知角∠POA、∠POＢ
已知线段AB，求线段PＯ
或已知线段PO，求线段AB
——对应例1
点拨:利用ＲtΔAOＰ、ＲtΔＢOP
OBＡ
模型②
P已知角∠ＰAC、线段AB和ＢD,
求线段ＰC
点拨:利用RtΔAＣＰ、RtΔBDP
点拨:利用RtΔAPO、ＲtΔABO
OＡ
【课堂练习】
为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面Ｄ点测得显示牌顶端C点和底端Ｂ点的仰角分别是６０°和4５°.求路况显示牌BC的高度．（提示:参照模型⑤）
【分析】
第一步:确定RtΔＡＢD、RtΔAＣD
CA
ＤB
模型③
P已知∠ＰAC、∠PBD,线段AB和BＤ,
求线段PC或PＤ
——对应例2
CA点拨：利用RｔΔACP、RｔΔＢDP
DB
模型④
ＰQ已知∠ＡPQ和∠BPQ，线段AB,
求线段PＯ
点拨；利用RtΔAＰQ、RtΔＢPＱ
A
OB
模型⑤
P
已知∠ＰAO和∠BAＯ,
已知线段AO,求线段PＢ
Ｂ或已知线段PB，求线段ＯＡ