8.6二元函数的极值

f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ， 则 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： 2 （1） AC B 0 时具有极值，
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其他条件限制 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ln x ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 问题的实质：求 U ( x , y ) ln x ln y 在条 件 8 x 10 y 200下的极值点．
将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2,
z2 6 ,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z1 2 时， A 0 , 4
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
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三、条件极值与拉格朗日乘数法
f x x 0 极值点必满足 f 0 y y ( x, y ) 0
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
λ拉格朗日乘数
则极值点满足: 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
从而，一元函数 z = f (x, y(x)) 在x0处取得极值.
dy dz fx fy 0, 故极值点x0必满足 dx dx dy fy x 由 （x, y ) 0, 有 f x x 0,
dx
y
y
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fy fy fx , 故极值点x0必满足 f x x 0, 令 : x y y
由函数取极值的必要条件 ( z x 0, z y 0) 知,
驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
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1 A z , xx |P 2 z
故
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
1 AC B 0 ( z 2)， 函数在P 有极值. 2 (2 z )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
1
一、多元函数的极值概念和极值的必要条件
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
播放
2
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ， 若 则称 f ( x 0 , y 0 ) 为极大值，( x 0 , y 0 ) 为极大值点；
不是极值; 不是极值;
在点(3,0) 处
AC B 2 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
AC B 2 12 ( 6) 0 , A 0 ,
为极大值.
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x , y ) 6 y 6
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
4
2、多元函数取得极值的必要条件
定理 1 （必要条件） 设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有 偏导数，且在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数 必然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0
A
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B
C
例7
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 10 0
确定的函数 z f ( x , y ) 的极值.
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4 z x 0 2 y 2 z z y 2 4 z y 0
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要求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的极值 可疑点，先构造函数 L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y )
解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
注： 一般而言，当得到极值可疑点后，可根据实际 问题判断是否在这些点处取得极值, 往往所得极值 可疑点就是最值点.
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ， 则称 f ( x 0 , y 0 ) 为极小值，( x 0 , y 0 ) 为极小值点.
若
极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.
3
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
例２ 函数 z x 2 y 2
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x0 , y0 ) 0 . 证毕.
类似地可证
5
推广: 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条件 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， 为 f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
例11 求函数f(x, y) = x2 + 2y2 在条件 x2 + y2 = 1下的最值. 解 设拉格朗日函数 L x 2 2 y 2 ( x 2 y 2 1)
Lx 2 x 2 x 0 x (1 ) 0 建立方程组 Ly 4 y 2 y 0 y( 2 ) 0 2 2 x y 1 0
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； 2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 2 0 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
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例如.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 当 x 2 y 2 0 时, z ( x 2 y 2 )2 z ( 0 , 0 ) 0 因此
驻点: 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.
且偏导存在
注意：
驻点
极值点
例如, 点(0,0) 是函数z xy 的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
6
二、极值的充分条件
( x0 , y0 ) 的某 定理 2（充分条件）设函数z f ( x , y ) 在点 邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
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Lx f x 1 x 2 x 0 设方程组的解为 L f 0 y 1 y 2 y y （x , y , z , t , 1 , 2） , Lz f z 1 z 2 z 0 则 点( x , y , z , t )为 Lt f t 1 t 2 t 0 极值可疑点 ( x , y , z ) 0 (一 般 情 况 下 ， 即 为 极 点 值)。 ( x , y , z ) 0
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称为拉格朗日函数, 实数 称为拉格朗日乘数. Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, L y f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
拉格朗日乘数法推广到自变量多于两个的情况： u f ( x, y, z, t ) 求 在条件 ( x , y , z , t ) 0 ， ( x , y , z , t ) 0 下的极值. 先构造函数 L( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t ) 1 ( x , y , z , t ) 2 ( x , y , z , t ) 其中1 , 2 均为常数. 再求偏导数, 建立方程组:
第三步 对二阶偏导存在的驻点，定出 AC B 的符 号，再判定是否取得极值，取得极值时，是极 大值还是极小值.
2
注： 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按 极值定义判定之.
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例6. 求函数
的极值.
解: 第一步 求驻点.
解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 ,
f x y ( x, y) 0 ,
f y y ( x , y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 2 12 6 0 ,
A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处 AC B 2 12 ( 6) 0 ,
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x0 , y0 )
有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) , 故当 y y0 ， x x0 时，
都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,
求一元函数 z f ( x , ( x )) 的无条件极值问题
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方法2 拉格朗日乘数法. 设 在点(x0 ,y0)处 f (x,y) 取得条件极值.
( x , y ), f ( x , y )在U ( P0 )内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 y ( x 0 , y 0 ) 0. 则 ( x, y ) 0可以确定隐函数 y = y(x).
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一般地，求函数 z 在条件
f( x,y) (目标函数), φ( x,y) 0 (约束条件)
下的极值问题称为条件极值问题. 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y ) 0 下 , 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x )
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为极小值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
极值可 疑点
求出实数解，得驻点及不可导点.
第二步 对于每一个极值可疑点( x0 , y0 ) ，
进一步判定.对驻点,求出二阶偏导数的值 A，B，C.
§6. 多元函数的极值
问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5 x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6 x 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ 每天的收益为 f ( x , y )