高二数学教案：不等式的证明(3)

2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：
3．分析法的思维特点是：执果索因
4．分析法的书写格式：
要证明命题B为真，
只需要证明命题 为真，从而有……
这只需要证明命题 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故命题B必为真
三、讲解范例：
例1求证
证明：因为 都是正数，所以为了证明
只需证明
展开得
课题：不等式的证明（3）
教学目的：
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性
教学重点：分析法
教学难点：分析法实质的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．重要不等式：
如果
2．定理：如果a,b是正数，那么
3 公式的等价变形：ab≤ ，ab≤（ ）2
为了证明上式成立，只需证明
两边同乘以正数 ，得
因此，只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的
例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为L的正方形边长为 ，截面积为 所以本题只需证明
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 ，所以本题只需证明
六、课后作业：
1 选择题
(1)若logab为整数,且loga >loga logba2,那么下列四个结论中正确的个数是（） ① > >a2②logab+logba=0③0<a<b<1④ab-1=0
A 1B 2C 3D 4
答案:A
(2)设x1和x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则（）
A |x1|>2且|x2|>2B |x1+x2|>4 C |x1+x2|<4 D |x1|=4且|x2|=1
即
因为 成立，所以
成立
即证明了
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法
②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，
这只需要证明命题B1为真，从而有……
这只需要证明命题B2为真，从而又有……
这只需要证明命题A为真
而已知A为真，故B必真
C acos2θ·bsin2θ=a+b D acos2θ·bsin2θ>a+b
答案:A
(6)设a,b∈R+,且ab-a-b≥1,则有（）
A a+b≥2( +1) B a+b≤+1 C a+b≥( +1)2D a+b≤2( +1)
答案:A
2 用分析法证明:
3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
证明:要证3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
四、课堂练习：
已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤
分析一:用分析法
证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立
(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即证2abcd≤b2c2+a2d2
4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；
5．定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
6．推论：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
7．比较法之一（作差ห้องสมุดไป่ตู้）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法
只需证3［(1+a2)2-a2］≥(1+a+a2)2
即证3(1+a2+a)(1+a2-a)≥(1+a+a2)2
∵1+a+a2=(a+ )2+ >0
只需证3(1+a2-a)≥1+a+a2
展开得2-4a+2a2≥0
即2(1-a)2≥0成立
故3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2成立
3 用分析法证明:
ab+cd≤
用综合法证明不等式的逻辑关系是：
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法
二、讲解新课：
1 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法
答案:B
(3)若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）
A B C D
答案:D
(4)若x>0,y>0,且 ≤a 成立,则a的最小值是（）
A B C 2D 2
答案:B
(5)已知a,b∈R+,则下列各式中成立的是（）
A cos2θ·lga+sin2θ·lgb<lg(a+b) B cos2θ·lga+sin2θ·lgb>lg(a+b)
证明:①当ab+cd<0时,
ab+cd< 成立
②当ab+cd≥0时,
欲证ab+cd≤
只需证(ab+cd)2≤( )2
展开得a2b2+2abcd+c2d2≤(a2+c2)(b2+d2)
∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd
故命题得证
分析三:用比较法
证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,
即ac+bd≤
五、小结：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法
即证0≤(bc-ad)2
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,
综合(1)、(2)可知:原不等式成立
分析二:用综合法
证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2