2017年交大附中自招数学试卷及详细答案解析

2017年交大附中自招数学试卷

1. 在1~1000中，数字“1”有 个

【答案】301

【解析】分类，先看个位：每10个数有1个1，所以个位上有100个1；看十位，每100个数有10个1，所以有100个1；在看百位，每1000个数有100个1，所以有100个1，在看千位，只有1000里面有1个1；共有301个 2. 方程组21731423142172

x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为

【答案】2531

x y == 【解析】Q 21731423142172x y x y +=⎧⎨+=⎩，上下做差∴x y =，再将x y =代入，则可得2531x y == 3. 在3×3的方格中填上1~9，使行、列、对角线上各数和均相等

【答案】

【解析】利用和为1到9的总和为45，所以每行、列、对角线的和为15，进行填充，可得结果； 5在中间，24为肩，答案不唯一

4. |322|

=- 223+ 23223835|322|223

===--- 5. 计算：

111112233420132014+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ 【答案】20132014

【解析】利用裂项进行，可得原式=11111112013112232013201420142014

-+-+⋅⋅⋅+-=-= 6. 直径为10cm 的圆柱体，长l cm 的纸片，可以绕圆柱体缠绕80圈，求l .（不计纸的厚度）

【答案】800π

【解析】题目中有不计纸的厚度，所以802800l r ππ=⨯=

7. 360的正因数有 个

【答案】24

【解析】利用分解素因数的方式，进行正因数的个数判定，32360235=⨯⨯，则360的正因数个数有()()()31211124+⨯+⨯+=

8. 已知0a >，则1a a +

的最小值为 【答案】2

【解析】利用不等式进行放缩，已知0a >有12a a +

≥= 9. 已知：2262412x x x x -=

--，则22x x -= 【答案】32

【解析】利用换元法，从题意得令22x x a -=，则原式可化为621a a =

-，解得()()2320a a -+=，则2a =-或32

a =，因为2222111x x x x -=-+-≥-，∴2322x x -= 【易错点】最后进行取舍，二次函数有取值范围

10. 4本不同的书发给4个人，每个人都有的概率为 【答案】332

【解析】4本不同的书发给4个人共有256种情况，每个人只有一本的排列数为：

432124⨯⨯⨯=种，则每个人都有的概率为

24325632

= 11. 如图，在ABC V 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则PB =u u u r

【答案】2133

a b -r r 【解析】利用中点，联结ED ，则有中位线，所以()

22213333PB DB DA AB a b ==+=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r 12. 2.

【答案】详见解析 22q p

=，其中p ，q 2q =，平方得222p q =，则2q 为偶数，q 为偶数且为4的倍数，22p 为4的倍数，则2p 为2的倍数为偶数，∴p 为偶数，又因为q 2不是有理数

13. 在ABC V 中，1AC BC ==，36C ︒∠=，求面积ABC S V . 1025- 【解析】Q AC BC =∴A B ∠=∠,过B 做BD 垂直于AC 于点D ，则 BD=1025sin 1BC C -⋅∠=，110252ABC S AC BD -=⨯⨯=V 14. 2y ax bx c =++过(3,0)A -、(1,0)B ，顶点(,4)M t .

（1）求a 、b 、c 的值；

（2）若(4,6)C --、(1,1)D -，P 在抛物线上位于x 轴上方，当CDP S V 最大时，求P 点坐标.

【答案】（1）1a =-，2b =-，3c =；（2）315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭

【解析】（1）由(3,0)A -、(1,0)B ，则二次函数的对称轴为1x =-，则顶点为(1,4)M -，二次函数解析式为()214y a x =++，代入(3,0)A -有1a =-()2

14y x ∴=-++有()221423y x x x ∴=-++=--+，有1a =-，2b =-，3c =

（2）面积的最值问题，借用一母示进行表示，然后在用配方法完成计算；设P 的横左边为m ，则()

2,23P m m m --+，过点P 做PE 垂直于x 轴交CD 于点E ，则CD 的直线解析式易求为2y x =+，有E (),2m m +，所以()()21232142

CDP S m m m =⨯--+--⨯+V

()2225596553653132248228

m m m m m ⎛⎫⎛⎫=--+=---+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭

时候取得最大值为658

无答案试卷：

1. 在1~1000中，数字“1”有 个

2. 方程组21731423142172

x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为

3. 在3×3的方格中填上1~9，使行、列、对角线上各数和均相等

5. 计算：|322|

=- 5. 计算：111112233420132014

+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ 6. 直径为10cm 的圆柱体，长l cm 的纸片，可以绕圆柱体缠绕80圈，求l .（不计纸的厚度）

7. 360的正因数有 个

8. 已知0a >，则1a a +

的最小值为 9. 已知：2262412x x x x

-=--，则22x x -= 10. 4本不同的书发给4个人，每个人都有的概率为

11. 如图，在ABC V 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则PB =u u u r

12. 2.

13. 在ABC V 中，1AC BC ==，36C ︒∠=，求面积ABC S V .

14. 2y ax bx c =++过(3,0)A -、(1,0)B ，顶点(,4)M t .

（1）求a 、b 、c 的值；