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**理解共线向量定理、平面向量的基本定 理，并能简单应用，解题时注意数与形的 结合.
..。..
21
教学目标：
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示； (2)掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算
及代数运算； (3)了解共线向量的概念，理解两个向量
共线的充要条件； (4)掌握平面向量的数量积定义和两个向量
向量的基本 概念与运算
..。..
1
平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
..。..
2
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
(2)对于任意向量 a b , 且 a与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
..。..
4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是CD共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a∥，b b，∥则c . a∥ c ( ╳ )
..。..
(2)零向量： 长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
..。..
3
例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
OB CA 0
O
OB⊥ CA
B
C
同理可证：
OC⊥ AB OA ⊥ BC
..。..
19
5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： AC AB AD a b
CN 1 AC 1 (a b)
4
4
MN MC CN
1 b 1 (a b) 1 (b a)
24
4
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20
总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
12
例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b(－3，2)，
①当k为何值时，ka 与b a垂 3直b？ ②当k为何值时，ka 与b a平 3行b？
平行时它们是同向还是反向?
..。..
13
例3.已知向量 e1、e2 不共线，
①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ; 求证：A、B、D三点共线；
不共线的向量 e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
..。..
17
例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CA a ，CB b ，试用a 、b 表示CP .
A
N P
B
D
C
..。..
18
2.分析：
A
OA OB OB OC
OB (OA OC) 0
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
∴存在实数k使 e1 e2 （ k e1-e2）
根据向量相等的条件
k 1 k
..。..
15
例3.已知向量 e1、e2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ;
坐标表示：若a (x, y) , 则a ( x, y)
..。..
8
2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
a b a b cos
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设a (x1, y1), b (x2, y2)
a b x1x2 y1y2
B
BA OA OB
O
A
代数运算：设a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b (x1 x2 , y1 y2 )
..。..
7
2.向量的基本运算
(3)实数与a的乘积
① a是一个向量,且 a a
② 0时,a与a同向; 0时,a与a反向;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
..。..
9
3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①a b a b 且a与b方向相同
②若a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b x1 x2 ,且y1 y2
..。..
10
3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a∥ b(b 0)
有且只有一个实数使得 a b
②若 a (x1, y1), b (x2, y2)
则 a∥b x1 y2 x2 y1 0
..。..
11
3.平面向量之间的关系
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a⊥b a b 0
②若 a (x1, y1), b (x2, y2)
则 a⊥b x1x2 y1 y2 0
..Βιβλιοθήκη Baidu..
5
2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
AB+BC AC OA OB OC
代数运算：设a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b (x1 x2 , y1 y2 )
..。..
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2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
AB (1, 1)
BC (2, 8)
CD (3,3)
..。..
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e1是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1, 使2 , a 1e1 2 e2
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① BD BC CD 5(e1 e2 ) 5AB AB ∥BD
又 A与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线
..。..
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例3.已知向量 e1、e2 不共线，
①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ; 求证：A、B、D三点共线；
..。..
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教学目标：
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示； (2)掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算
及代数运算； (3)了解共线向量的概念，理解两个向量
共线的充要条件； (4)掌握平面向量的数量积定义和两个向量
向量的基本 概念与运算
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平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
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1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
(2)对于任意向量 a b , 且 a与 方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
..。..
4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 A与B 是CD共线向量,则A、B、C、D
四点共线.
(╳)
(6)如果 a∥，b b，∥则c . a∥ c ( ╳ )
..。..
(2)零向量： 长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
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例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
(1)若 a与 同b 向， 且 a b , 则 a b ( ╳ )
OB CA 0
O
OB⊥ CA
B
C
同理可证：
OC⊥ AB OA ⊥ BC
..。..
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5.
D
C
N
M
A
（5题图） B
分析： AC AB AD a b
CN 1 AC 1 (a b)
4
4
MN MC CN
1 b 1 (a b) 1 (b a)
24
4
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总结
**正确理解概念的基础上，掌握两个向量 的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟 练运用向量的几何形式与代数形式进行运 算，
12
例题分析
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b(－3，2)，
①当k为何值时，ka 与b a垂 3直b？ ②当k为何值时，ka 与b a平 3行b？
平行时它们是同向还是反向?
..。..
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例3.已知向量 e1、e2 不共线，
①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ; 求证：A、B、D三点共线；
不共线的向量 e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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例题分析
例4.在△ABC中，点D是BC的中点，点N在
边AC上且AN＝2NC，AD与BN相交于点P，
若CA a ，CB b ，试用a 、b 表示CP .
A
N P
B
D
C
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2.分析：
A
OA OB OB OC
OB (OA OC) 0
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量 e1 e2与 e1 e2 共线
∴存在实数k使 e1 e2 （ k e1-e2）
根据向量相等的条件
k 1 k
..。..
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例3.已知向量 e1、e2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ;
坐标表示：若a (x, y) , 则a ( x, y)
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2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
a b a b cos
几何意义：
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积
坐标表示：设a (x1, y1), b (x2, y2)
a b x1x2 y1y2
B
BA OA OB
O
A
代数运算：设a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b (x1 x2 , y1 y2 )
..。..
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2.向量的基本运算
(3)实数与a的乘积
① a是一个向量,且 a a
② 0时,a与a同向; 0时,a与a反向;
0时, a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
..。..
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
①a b a b 且a与b方向相同
②若a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b x1 x2 ,且y1 y2
..。..
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3.平面向量之间的关系
(2)向量平行(共线)充要条件
① a∥ b(b 0)
有且只有一个实数使得 a b
②若 a (x1, y1), b (x2, y2)
则 a∥b x1 y2 x2 y1 0
..。..
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3.平面向量之间的关系
(3)两个非零向量垂直的充要条件
① a⊥b a b 0
②若 a (x1, y1), b (x2, y2)
则 a⊥b x1x2 y1 y2 0
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2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
A
B
O
A
AB+BC AC OA OB OC
代数运算：设a (x1, y1), b (x2, y2)
则a b (x1 x2 , y1 y2 )
..。..
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2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
求证：A、B、D三点共线；
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
AB (1, 1)
BC (2, 8)
CD (3,3)
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
如果 e1是, e同2 一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数1, 使2 , a 1e1 2 e2
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:
① BD BC CD 5(e1 e2 ) 5AB AB ∥BD
又 A与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线
..。..
14
例3.已知向量 e1、e2 不共线，
①若AB e1 e2 ，BC 2e1 8e2 ，CD 3e1 3e2 ; 求证：A、B、D三点共线；