振动理论及应用

pn q0 －振动的位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。 q0
返回首页
Theoretical Mechanics
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为 k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的 振动。 m ky 0 y m k ＝F sin( t )
eq eq 0
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
Theoretical Mechanics
1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m(k1 k 2 )
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧 的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由 振动频率。
x0 st
x0 2gh
2 0
x0 2 自由振动的振幅为 A x ( ) st2 2h st pn
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.1 自由振动方程 20.1.2 振幅、初相位和频率 20.1.3 等效刚度系数 20.1.4 扭转振动
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.1 自由振动方程
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
返回首页
Theoretical Mechanics
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m kx＝0 x
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
meq q k eq q＝0
振动理论及应用
1
第20章 振动
20.1 单自由度系统的自由振动 20.2 计算固有频率的能量法 20.3 单自由度系统的衰减振动 20.4 单自由度系统的受迫振动
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置
附近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质
点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及
工程构件和工程结构的振动。
Theoretical Mechanics
返回首页
振动应用 航天工程
神州二号
4
振动应用 航空工程
神州二号
5
振动应用 车辆工程
6
振动应用 土木工程
7
振动应用 计算机工程
8
9
有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪 器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、 仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响 其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的 灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引 发机器的损坏引发事故 。
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
20.1 单自由度系统的自由振动
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁 的质量，则相当于一根无重弹簧，系统 简化成弹簧-质量系统
振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
初 相 位 角
这种形式描述的 物块振动，称为 无阻尼自由振动， 简称自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为 振动中心的简谐振动
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.2 振幅、初相位和频率
x A sin( pnt )
2π m 系统振动的周期 T 2π pn k
10
第20章 振动 振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似：
引 言
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。 研究振动问题所用的动力学定理： 矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。 分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
st
mgl 3 48EI
f 1 2π 48EI ml 3
求出系统的固有频率为
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k
Theoretical Mechanics
48EI l3
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标 原点O，建立坐标系，并以撞击时刻 为零瞬时，则t=0时，有
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。
运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 数，这种激励所引起的振动。
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率
g 1 f 2π st
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
得到作用在C处而与k2 F b2 k k2 2 c 弹簧等效的刚度系数 a
b2 k1k 2 2 将其与弹簧k1串联， k1k 2 b 2 a k 2 可得整个系统的 2 b a k1 b 2 k 2 k1 k 2 2 等效刚度系数 a
k k1k2 b 物块的自由振动频率为 pn m m(a 2 k1 b 2 k 2 )
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的 高处自由落下，与一根抗弯刚度 为EI、长为的简支梁作塑性碰撞， 不计梁的质量，求该系统自由振 动的频率、振幅和最大挠度。
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
2st
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
Theoretical Mechanics
k
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
C1 x0
x0 C2 pn
x0 x x0 cos pnt sin pnt pn
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
x0 2 2 A x0 ( ) pn pn x0 arctg( x ) 0
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.3 等效刚度系数
解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在 处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平 衡的关系，相当B处作用力 Fa ， b 由此力使弹簧k2产生的变形，而 此变形使C点发生的变形为
C
a Fa 2 c b k 2b 2
Theoretical Mechanics
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
m mg k ( st x) x
2 n 无阻尼自由振动微分方程
Theoretical Mechanics
将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动 称为非线性振动。
Theoretical Mechanics
返回首页
第20章 振动
引 言
振动问题的分类
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的
振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
Βιβλιοθήκη Baidu等效的概念
meq q k eq q＝0
q pn q＝0 q＝Asin pnt
2
q＝C1cospnt C2cospnt
keq
q0 2 pn＝ －系统的固有频率；A q0 振动的振幅； p meq n
arctan
p x 0 x
m kx x
k 其中 pn m
固有圆频率
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时，x
x0，x x0 可解
1 pn k 系统振动的频率 f 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
Theoretical Mechanics
返回首页
20.1 单自由度系统的自由振动
20.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
mg k st
k mg
20.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
f 1 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2