第四章 第五节 分布的偏度与峰度

3( x M e ) 3 （x M o） SK 或 σ σ
偏态系数小于0，因为平均数在众数之左，是一种左偏的分布，又称为负 偏。 偏态系数大于0，因为均值在众数之右，是一种右偏的分布，又称为正偏 。
统计学原理
峰度（ Kurtosis ）
峰度是以变量的四阶中心动差除以标准差的四次方，并将结果再减去3， 用来衡量频数分布的集中程度，也是衡量分布曲线尖峭程度的指标。公式为：
U0 1
U1 0
U2 2
也即方差。
统计学原理
矩偏度是以变量的三阶中心动差除以标准差三次方，来衡量分布不对称程 度，或偏斜程度的指标。即三阶中心动差以为标准单位的系数。公式如下：
m3 3 σ
3 (x x ) fi i i 1
n
σ 3 fi
i 1
n
当频数分布为正态时，变量值得频数以平均数左右完全对称，三阶动差等于 0，偏度也为0； 当α>0时，为正偏斜（即右偏，分布曲线右尾端较厚）
4 (x x ) fi i i 1 n
m4 4 σ
σ 4 fi
i 1
n
3
峰度指标是以正态分布的峰度为比较标准（正态分布的峰度β=0），来比 较不同频数分布的尖峭程度。
当峰度β>0时，表示频数分布比正态分布更集中，分布呈尖峰状态，平均 数代表性更高；
当β<0时，表示频数分布比正态分布更分散，分布呈平坦峰，平均数代表 性较低。
当α<0时，为负偏斜（即左偏，分布曲线左尾端较厚）。
统计学原理
样本的矩偏度系数计算公式：
m3 n n 3 a3 ( n 1)(n 2) ( n 1)(n 2)
0
0
0
统计学原理
皮尔逊偏度系数（Pearson ）
Pearson偏态系数以平均值与中位数或众数之差与标准差之比来衡量偏斜 的程度，用SK表示偏斜系数。这是根据众数、中位数与均值各自的性质，通 过比较众数或中位数与均值来衡量偏斜度的。其计算公式为：
m3 3 σ
(x
i 1
n
i
x )3
3
nσ
n i 1
0.125
m4 4 σ
4 (x x ) i
nσ
4
3 1.28
因此，样本数据均值为39.25岁，称右偏，比峰度较正态分布平坦。
统计学原理
k x fi i 1 n n
mk
f
i 1
i
当k=1时，就是算术平均数，即1阶原点矩就是算术平均数。
统计学原理
如果将原点移至算术平均数得位置，可以得到以平均数为中心的 k 阶中心矩：
mk
(x
i 1
n
i n
x) f i
k i
f
i 1
当k=0时，零阶中心矩 当k=1时，一阶中心矩 当k=2时，二阶中心矩
第五节 分布的偏度与峰度
分布的偏态测度 矩偏度系数 皮尔逊偏度系数 分布的尖锐度测度 峰度
统计学原理
矩偏度系数（Coefficient of Skewness ）
两组资料虽然平均数与标准差皆相同，却可能由于各自不同的偏斜情况， 使得次数分配的形状不相同。 矩也称为动差。以零为中心矩称为原点k阶矩，基本形式为：
统计学原理
样本的峰度系数计算公式：
n( n 1) m4 3( n 1)2 4 ( n 1)(n 2)(n 3) ( n 2)(n 3)
0
0
0
统计学原理
Baidu Nhomakorabea
例 随着信息化时代的到来，越来越多的人选择在家办公， 下面的样本资料是在家办公的人的年龄： 22 58 24 50 29 52 57 31 30 29
41
44
40
46
29
31
37
42
44
49
1、根据样本资料离散系数；
2、确定样本资料的偏度系数和峰度系数；
统计学原理
x
x
i 1
n
i
n
785 39.25 20
S
x x n 1
2
2213.75 10.79 19
S 10.75 V 100% 100% 27.39% x 39.25