矩阵的合同变换
矩阵的合同变换
摘要:矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中,基本交换。在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换,而矩阵的合同变换与矩阵相似变换,二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词:矩阵 秩 合同 对角化
定义1:如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ,则积A 与B 等价,记为A B ?
定义2:设A ,B 都是数域F 上的n 阶方阵,如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=,则称A 和B 相似A B
定义3:设A ,B 都是数域F 上的n 阶矩阵,如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ,使得T P AP B =
那么就说,在数域F 上B 与A 合同。
以上三个定义,都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1:合同变换与相似变换都是等价变换 证明:仅证合同变换,相似变换完全相似
因为P 可逆,所以P 存在一系列初等矩阵的乘积,即12
m P Q Q Q =。
此时71
1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积
若111T T T
T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以
A B ?,从而知合同变换是等价变换。
定理2:合同变换与相似变换,不改变矩阵的秩
证明:由 知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩 定理3:相似矩阵有相同特征多项式 证明:共1A
B B P AP -=
1||det ||del I B I P AP λλ--=-
又因为I λ为对称矩阵
所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-
||I A λ=-
注①合同不一定有相同特征多项式
定理4:如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵,且有相同特征根,则A 与B 相似且合同 论:设A ,B 为特征根均为12
,n λλλ,
因为A 与B 实对称矩阵,所以则在n 阶正 矩阵,,Q P 使得
112[]Q AQ λλ-= 11
[]n P BP λλ-=
从而有11Q AQ P BP --=
11PQ AQP B -=
由11Q Q E PP E --==
从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=
又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=
T QQ = 1QQ -=
E =
1QP -∴为正交矩阵
所以A B 且A B ?
定时5:两合同矩阵,若即PTAP B =,若A 为对称矩阵,则B 为对称阵,而两相似矩阵则不一定有些性质
证明:A B ?即T P AP B =,若对称阵,则T A A =
()T T T B P AP =
T T P A P =
T P AP = B =
所以B 边为对称阵
[注]:相似矩阵对此结论不具有一般性,它在什么情况下成立呢?
引理6:对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-,S 为λ的重数.
证明:任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ,以其重数以秩||I A r λ-=,则
||r n s n r s I A λ=-?-=?-1200
0n x x x ????
????
????=??????????
??,线性无关的解向量个数为n r -个,即5
个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
?n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ?n 阶对称阵可对角化
从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点, 如对二次型应用
例 求一非线性替换,把二次型
123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+
二次型`23(,,)f x x x 矩阵为
011103130A ??
??=-??
??-??
对A 相同列与行初等变换,对矩阵E ,施行列初等变换
212103230A -????→-????--??→2
00020006??
??-?
?????
1001111
101110
01101E ????
????→→--????
????????
112233113111001x y x y x y ????
????????=--?????????????????? 可把二次型化为标准型
222
123123(,,)226f x x x y y y =-+
解法(2)
212103
230A -??
??→-????--??
2101020
22??
??→-????--??
2001022022??
????→--????--??
2001002006??????→-??????
此时222
123123
1(,,)262
f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为
11223311321112
001x z x z x z ??-??????
????????=-????????????????
??????
发现在注[1]:任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢? 例3.用可逆性变换化二次型
222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-
解:222
112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+
对二次型矩阵为
6
3336333
6A --????--?
?=??--???
?
1
006006
00010999
63
30
000
002223639
9000336012211
00111
12
101010
221010
101
02
10
01001A E ??????????
????--??????-??
??????--?
??????????---
????=→
→→??????
?????????????????
????
??
????????????
??????????
E B ??=???????标准形22
12f y y =+
,则11223310
10
1
x y x y x y ?????????????=????????????????
?????
?
PTA B =
[注]当P改变两行的位置交换后,发现
0001
6 3 3100
03631010
336000
001
111
????
????
????
--
????
??
????
--=
??
????
??
????
--
????????
????
????
定理2:在A为对角线上元素相等,其余元素也相等,则若有T
P AP B
=,则调整P 的任意两行,对角阵形式不变。
证明:设初等变换的对调变换矩阵为J,显然T T T
J J E J AJ JAJ A
===于是有
()()()()()()
t T T T T T T T
B P AP P EAEP P J J A J J P JP JA JP JP A JP
=====
而P与JP相比仅是行的排列顺序不同,
因此任意调整P的行,所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立,如果在一般情况下呢?
例4.求实对称矩阵
220
212
020
A
-
??
??
=--
??
??
-
??
求可逆阵P使得T
P AP为对角阵
32
21
2132
2
2
220200200
212012010
020020004
100110112
010010012
001001001
c c
c c
r r r r
A
E
-
+
+-
-
??????
??????
-----
??????
??????
--
??
=???→???→
????????-
??????????????
-
??????
??????
??????
1
112400
112010
001002
T
P P AP B B
-
????
????
=-==-
????
????
????
1
211
211
000
P
-??
??
=-??
??
??
我们得到
11
T
P AP B
=
定理7:设,
T
P AP B A
=对称矩阵,B为对角矩阵,若要调换B对角线上任意两个
元素的位置得到
1
B,则只要调控B中对左的两列,可得到P,使得
11
T
P AP B
=,即P的列与B中元素的对应性。
证明:初等调换矩阵为J,显然T J J
=
11
11
()()
T T T T
B J BJ J P APJ PJ A PJ P AP
====
P
∴与
1
P相比,只是列的排列顺序发生了改变
P
∴的列与B的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8:如果对角线上的元素分别扩大22212,,n C C C -得2B ,则不要将P 中对应的对应
角线元素扩大11C ,即可得到2P 使得222T P AP B =
证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为2J (2J 对角线上第J 个元素1C )形1221C J C ??
??=??????
,
则有22222()T T B J BJ J J ==
2222211()T T T T
B J P PJ PJ J APJ P AP ===
2B ∴中第J 个元素为B 的21C 倍而22P PJ =,且其2P 中对角线J 个元素是P 中对角
线元素CJ 倍。
例:已知对称矩阵121
1211
311311310A -????-?
?=???
?--??
求可逆矩阵P ,使T P AP 且对角形式 解101110
010
3110311113101221
1
1
011
2
0A --????????------?
??
?→→????--???
?----????
1
00
010********
01030
003117770001220003330
1
2
17000
30113??
??????--?
??
?-????---????→→→
??????-????????--?
???---????
????
对单位阵E 进行相应列初等变换得
1122310
10300
110
01E P ?
?--
????
??-→=??
??
-??????
则有1313733T
P AP ??
??-??==??????
-???? 141111B E ??
??
-??==??????
则此时有11122
3100300100
P ??--??????-??
??=??
-??
????
得111T P AP B = 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系,而且其本身也有着变换矩阵多样多样,和结果的不确性,在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
[1]北大数学系,高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。线性代数(第三版)[M] [3]张禾瑞 高等代数[M]
[4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》 [5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》
[6] Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141-154
矩阵的合同变换及性质
定义:设A ,B 是数域F 上两个阶矩阵,如果存在一个阶可逆矩阵P 使得T B P AP =成立,那么 B 与A 合同
特性:合同变换具有模型化,程序化的简便性。 引理1:在矩阵中,任意对角矩阵与合同J 对角阵 证明:①数学归纳法 当1n =时,定理显然成立
设1n >时,定理对1n -阶对称阵成立,A 上阶对称囝 若0A =则A 本身已为对角阵 不妨设0A ≠
(1)讨论A 的对角线上元素不全为0的情况,这都可通过三行或列初等变换,使得
1112112
1000
0s
s a
E E E AE E E A ??
??=??????
这里1A 是1n -阶对称阵,由归纳假设,存在则有1n -阶可逆阵1a ,使
2
11100
T c
Q A Q cn ??
=????
现取12
1
1000,0
s Q P E E
E Q Q ????
??==??????
则1111
2112
2
1110
00000T T T
T T S S T n a a P AP Q E E E AE E E Q c Q A Q c ????
??????===??????????
????
(2)若0,1,2,,ii a i n ==,由0A =,可通过对应的行列初等变换,使问题归结到i
的情怀
合同矩阵变换的应用,主要应用于二次型上,而二次型主要对积矩阵,而二次型
12(,,)T n f x x x x AX =化简,一般都归结为对称实矩阵A 的合同变换在
特性1:合同变换具有模型化,程序化的简便性
定理1:若在对称矩阵A 的下六并上一个单位矩阵,作列变换,则对的行与列分别六色以一系列的对称,初等变换使其式为对角阵时, 单位阵成为A 的合同变换矩阵。
特性2:合同变换具有变换和结果的多样性,采取不同的合同变换,不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈
例:已知实对称矩阵0
1001
00000210
1
2A ?????
?=??????
求可逆矩阵P ,使()()T AP AP 为对角矩阵 解由于t A A =且2()()T T AP AP P A P =,可见为使()()T AP AP 为对角矩阵,实质上是
使0000010000540
45A ?????
?=??
????合同于对角矩阵 4334
25
4455100
01
00001000100005000549000
004551
000100001000100001
0400150
00
100
01A r r L c A E --??????
?
?????
??
????
???
???????=????→ ???????????
??
??
?
???????
-
??????
???
?
故可逆矩阵2100
01
00
001000100400500015900
00015T P P A P ?????????
??
?==?
???-???
?????????????
(2
)100001
000
000
P ???????
?=???????
当 2
()()T T AP AP P A P ==10000
10000100
9?????
???????
定理3:设,T P AP B A =为对称矩阵,B 为对角矩阵,若要调换B 的对角线上任意两
个元素的位置得到1B ,则只要调换P 中对应两列,可得到1P ,使得7
111P
AP B =,即P 的列与的列与B 具有对应性。
说明:没妆等变换的对调多换矩阵为J ,显然1T J J =,
1111111111()T
B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====
P ∴与11P PJ =相比, 列的排列顺序不同,因此,P 的列与B 的对角线上元素
具有对应性。
特性3:合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性。
定理4:若要将B 的对角线上第j 个元素扩大2C 得到2B ,则只要得P 中对应第j 列扩大c 倍,即得到2P ,使得222T P AP B =
证明:设初等变换的倍乘变换矩阵为2J (2J 的对角线上第j 个元素为c ,其余为1)
显然1
2
2J J = 111222222222()B J BJ J P APJ PJ APJ P AP ''====
2B ∴中的第j 个元素B 的
我们发现j 合同变换在对角化中有简易行,凸现其方法(变换矩阵)和结果(对角阵)的
二、合同变换的本质
在n 阶实对称阵A 和B 的正负惯性指标都一样,则(,)a S A B 有表示为A 到B 的合同变换矩车构成的集合。
引理1:假设实对称矩阵A 和B 的正负惯性指标都一样,则1()c S A B 为群
证明:对于任意的12(,),(,)c c P S A B P S A B ∈∈,则存在1020(,),(,)C S A B C S A B ∈∈,
使得111122,P c c P c c --==因此11
12122(),PP c c P c c --==,因此1111121212()()()PP c c c c c c c c ----=?=?,而
11111111111111121221112222222()()()()c c c A c c c c c c Ac c c c c Bc c c Ac c Ac B ------=====,则
1120(,)c c c S A B -∈所以12(,)c P P S A B ?∈亦即有(,)c S A B ,
关于矩阵乘法封闭,易知(,)c s A B 关于矩阵乘法满足结合律,有单位矩阵,下设每个元素都有逆远,假设(,)c P S A B ∈存在
10(,)C S A B ∈,使得11P c c -=,所以11111()p c c c cc c ----==,因
11111111111111111()()()()cc A cc c c c c Acc c c c Bc c c Ac B ------====,则110(,)cc c S A B -∈所以11(,)c c c S A B -∈即1(,)c P S A B -∈,综上所述(,)c S A B 成群
注:10(,){|,,S A B c c AC B A B ==为已知的实对称矩阵},c 为可逆复矩阵,
11010(,){|(,),(,)}c S A B c c c S A B c S A B =∈为中任一给定矩阵
引理2:假设实对称阵A 和B 正负惯性指标都一样,则(,)c S A B 有表示为
1(,){|,}c S A B m m BM B m ==为可逆阵
证明:110(,)(,)(),,.c m S A B cm S A B cm Acm B mJ M BM B M ∈?∈?=?=连可逆