矩阵的合同变换

矩阵的合同变换

摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵 秩 合同 对角化

定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ≅

定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B

定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B =

那么就说，在数域F 上B 与A 合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、 性。 定理1：合同变换与相似变换都是等价变换 证明：仅证合同变换，相似变换完全相似

因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12

m P Q Q Q =。

此时71

1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积

若111T T T

T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以

A B ≅，从而知合同变换是等价变换。

定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩

证明：由 知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩 定理3：相似矩阵有相同特征多项式 证明：共1A

B B P AP -=

1||det ||del I B I P AP λλ--=-

又因为I λ为对称矩阵

所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=-

||I A λ=-

注①合同不一定有相同特征多项式

定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同 论：设A ，B 为特征根均为12

,n λλλ，

因为A 与B 实对称矩阵，所以则在n 阶正 矩阵，,Q P 使得

112[]Q AQ λλ-= 11

[]n P BP λλ-=

从而有11Q AQ P BP --=

11PQ AQP B -=

由11Q Q E PP E --==

从而有1111PQ QP PEP PP E ----=== 从而111()PQ QP ---=

又由于1111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -=

T QQ = 1QQ -=

E =

1QP -∴为正交矩阵

所以A B 且A B ≅

定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质

证明：A B ≅即T P AP B =，若对称阵，则T A A =

()T T T B P AP =

T T P A P =

T P AP = B =

所以B 边为对称阵

[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？

引理6：对称矩阵相似于对角阵⇔A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

证明：任给对称的n 阶矩阵A 一个特征根λ，以其重数以秩||I A r λ-=，则

||r n s n r s I A λ=-⇔-=⇔-1200

0n x x x ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦，线性无关的解向量个数为n r -个，即5

个

又因属不同特征根的特征向量线性无关

⇔n 阶对称阵A 有n 个线性无关的特征向量 ⇔n 阶对称阵可对角化

从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点， 如对二次型应用

例 求一非线性替换，把二次型

123122313(,,)262f x x x x x x x x x =-+

二次型`23(,,)f x x x 矩阵为

011103130A ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

对A 相同列与行初等变换，对矩阵E ，施行列初等变换

212103230A -⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→2

00020006⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

1001111

101110

01101E ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

112233113111001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可把二次型化为标准型

222

123123(,,)226f x x x y y y =-+

解法（2）

212103

230A -⎡⎤

⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2101020

22⎡⎤

⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2001022022⎡⎤

⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

2001002006⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

此时222

123123

1(,,)262

f x x x z z z =-+ 此时非线性退化替换为

11223311321112

001x z x z x z ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性

[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？ 例3．用可逆性变换化二次型

222123123123123(,,)(2)(2)(2)f x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-

解：222

112132233:666666f x x x x x x x x x --+-+

对二次型矩阵为

6

3336333

6A --⎡⎤⎢⎥--⎢

⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣

⎦

1

006006

00010999

63

30

000

002223639

9000336012211

00111

12

101010

221010

101

02

10

01001A E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥---

⎢⎥⎢⎥=→

→→⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎢

⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦

E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥标准形22

12f y y =+

，则11223310

10

1

x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

PTA B =