抛物线的参数方程

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1 ．抛物线 y ＝ 2x2 1 y＝－ ； ________ 8
1 y＝－ ． ________ 2
1 0 ， F 8 ，准线方程是 的焦点坐标为 ________
1 F0，2 2 抛 物 线 x ＝ 2y 的 焦 点 坐 标 为 ________ ，准线方程是
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2 x＝2pt ， 2． 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数， t∈R)其中 p y＝2pt
x轴正半轴 上的抛物线参数方程． 为正的常数．这是焦点在______________
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预习 思考
抛物线 y2＝x 的一个参数方程为____________________．,
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变式 训练
2．如图所示，设 M 为抛物线 y2＝2x 上的动点，给 定点 M0(－1,0)，点 P 为线段 M0M 的中点，求点 P 的轨 迹方程．
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变式 训练
分析： 合理选取参数， 将抛物线方程转化为参数方程， 再寻求解题方法是本题的解法之一． y2 解析：令 y＝2t，则 x＝ ＝2t2， 2
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设线段MN的中点为P(x，y)， ∴y1＋y2＝2y. y 由kPA＝ ， x－1 y1－y2 8 4 又kMN＝ ＝ ＝ ， x1－x2 y1＋y2 y 4 y ∴ ＝y ，即y2＝4(x－1)． x－1 ∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．
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2 x ＝ 2 t ， 得抛物线的参数方程 y＝2t，
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设点 P 的坐标为(x，y)，
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变式 训练
动点 M(2t2,2t)，定点 M0(－1,0)，由中点的坐标公式得点 P
的坐标为 1 y ＝ 20＋2t，
x＝－1＋t2， 2 即 y＝t.
8t2－8t1 1 则 kMN＝ 2 ＝ . 8t2－8t2 t ＋ t 1 1 2
又设 MN 的中点为 P(x，y)，
则 8t ＋8t y＝ 2 ＝4t ＋t .
1 2 1 2
2 8t1 ＋8t2 2 2 x＝ ＝4t2 ＋ t 1 2， 2
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4t1＋t2 ∴kAP＝ 2 2 ， 4t1＋t2－1
1 x＝ －1＋2t2， 2
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1 这就是点 P 的轨迹的参数方程，可化为普通方程 y ＝x＋ ， 2
2
1 这是以 x 轴为对称轴，顶点在－2，0的抛物线．
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解法二
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2 y 1＝8x1， 2 由 M、N 在抛物线 y ＝8x 上知 2 y2＝8x2， 2 两式相减得 y2 － y 1 2＝8(x1－x2)，
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即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)， y1－y2 8 ∴ ＝ ＝kMN. x1－x2 y1＋y2
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1 由 kMN＝kAP 知 t1t2＝－ ， 8
2 2 x ＝ 4 t ＋ t 1 2 ， 又 y＝4t1＋t2，
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则y
2
x 1 2 2 ＝16(t1＋t2＋2t1t2)＝16 － ＝4(x－1)． 4
4
∴所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
题型2
抛物线参数方程的应用
例 2 过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y2＝8x 交于 M、N 两点，求线段 MN 的中点的轨迹方程．
分析：本题有多种解法，下面选取两种较典型方法． 解析：解法一
2 x ＝ 8 t ， 设抛物线的参数方程为 (t 为参 y＝8t
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2 数)，可设 M(8t2 ， 8 t ) ， N (8 t 1 1 2，8t2)，
2 x ＝ t ， 答案： (t 为参数) y＝t
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题型1
抛物线参数方程的理解
Fra Baidu bibliotek
例 1 写出圆锥曲线 y2＝4x 的参数方程．
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解析：y2＝4x，令x＝4t2，则y＝4t.
2 x ＝ 4 t ， ∴参数方程为 (t为参数)． y＝4t
第二讲 参数方程
2.2 圆锥曲线的参数方程 2.2.3 抛物线的参数方程
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1.理解抛物线参数方程的概念。 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 3.掌握参数方程化为普通方程的 几种基本方法。 4.利用抛物线的参数方程求最值和有关点的轨迹。
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变式 训练
2 x ＝ 2 pt ， 1．已知抛物线的参数方程为 (t 为参数)， y＝2pt
其中 p＞0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3， 则 p＝________.
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答案：2
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