高中数学：柯西不等式教案资料

类型一：利用柯西不等式求最值

例1．求函数的最大值

解：∵且，函数的定义域为，且，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵且，∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

【变式1】设且，求的最大值及最小值。

利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10

【变式2】已知，，求的最值.

法一：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

法二：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．

根据柯西不等式

，

故

。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，

变式4：设a (1，0， 2)，b (x ，

y ，z)，若x 2 y 2 z 2 16，则a b 的最大值为 。 【解】∵ a

(1，0， 2)，b

(x ，y ，z) ∴ a ．b

x 2z 由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x 2 y 2 z 2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2 45 x 45

45 a ．b 45，故a ．b

的最大值为45:

变式5：设x ，y ，z R ，若x 2 y 2 z 2 4，则x 2y 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) 解(x 2y 2z)2 (x 2 y 2 z 2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36 ∴

x 2y 2z

最小值为 6，公式法求 (x ，y ，z) 此时

322)2(26221222 z y x ∴ 32 x ，34 y ，3

4 z 变式6：设x, y, z R ，若332 z y x ，则2

2

2

)1(z y x 之最小值为________，又

此时 y ________。

解析：14

36

])1([)332(]1)3(2][)1([2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z y x z y x z y x ∴最小值

7

18

1, 233,2(2)3(31)3231x y z t x y z t t t Q ∴7

3

t ∴72 y

变式7：设a ，b ，c 均为正数且a b c 9，则c

b a 16

94 之最小值为

解： 2)432(

c c

b b a a (

c b a 1694 )(a b c) (c b a 1694 )．9 (2 3 4)2 81 c b a 1694 9

81 9

变式8：设a, b, c 均为正数，且232 c b a ，则

c

b a 3

21 之最小值为________ 解：: 22222

22)321(])3()2()1][()3()2()[( c

b a

c b a ∴18)3

21( c

b a ，最小值为18

变式9：设x ，y ，z R 且

14)3(5)2(16)1(2

22 z y x ，求x y z 之最大、小值: 【解】∵

14

)3(5)2(16)1(2

22 z y x 由柯西不等式知 [42 （5)2 22]

2

22)

23()52()4

1(

z y x ．．．2)52(5)41(4

y x 2

)23( z 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2| 5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7 故x y z 之最大值为7，最小值为 3

类型二：利用柯西不等式证明不等式

基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）

（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）

例1．设、、为正数且各不相等，求证：

又、、各不相等，故等号不能成立∴。

例2．、为非负数，+=1，，求证：

∴

即

例3．若>>，求证：

解：，，∴，∴所证结论改为证

∴

例4．，求证：

左端变形，

∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c为正数，求证：．

，即。

同理，．将上面三个同向不等式相加得，

．

【变式2】设a,b,c为正数，求证：

于是即

【变式3】已知正数满足证明。

解：

又因为

在此不等式两边同乘以2，再加上得：

，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用

6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

证明：由三角形中的正弦定理得，所以，

同理，

于是左边=。

【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的

距离分別为x，y，z，求的最小值。

且

4x+5y+6z=

由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)

≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。

柯西不等式

2

2211n n b a b a b a 2

2222

12

2

2221n

n

b b b

a a a n i R

b a i

i 2,1,

等号当且仅当021 n a a a 或i i ka b 时成立（k 为常数，n i 2,1 ） 利用柯西不等式可处理以下问题：

1） 证明不等式

例2:已知正数,,a b c 满足1a b c 证明 222

3

3

3

3

a b c a b c

证明：

23131312

2

2

2222222a b c

a a

b b

c c

222333222a b c a b c

2

333a b c a b c 1a b c Q

又因为 222a b c ab bc ca 在此不等式两边同乘以2，再加上222

a b c 得：

2223a b c a b c

2

2

2

23

3

3

2

2

2

3a b c

a b c a b c • Q 故222

3

3

3

3

a b c a b c

2） 解三角形的相关问题

例3 设p 是ABC V 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆的半径，

证明：

记S 为ABC V 的面积，则2242abc abc

ax by cz S R R

g

3） 求最值

例4已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d ， 2222

2365a b c d 试求a 的最值 解：

2

2

2

2

111236236b c d

b c d

即 2

2

2

2

236b c d b c d

由条件可得， 2

2

53a a