沪科版-数学-八年级上册-等腰三角形的相关要点总结
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等腰三角形的相关要点总结
1．等腰三角形的判定定理（等角对等边）
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC
证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，
则∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此，这一结论可直接利用．
【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．
（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．
例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
在△BCE和△CBD中
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∠
∠
，
＝
，
＝
，
＝
CB
BC
DCB
EBC
CD
BE
∴△BCE≌△CBD（SAS）．
∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO
∴OB＝OC（等角对等边）．
【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．
2．等边三角形（equilateral triangle）
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．
（2）性质：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
下面证明以上两条判定．
判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
又∵∠A＝∠B∴AC＝BC
∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．
判定②：如图14-3-15，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ． 又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°． 又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴ ∠A ＝180°－（∠B ＋∠C ）＝60°． ∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ． ∴ △ABC 为等边三角形． （4）应用：
例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．
分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，则BD ＝BA ，∴ △ABD 为等
腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21
∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．
解：∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°． 又∵ BD ＝BC ，∴ BD ＝BC ＝AB ．
∴ ∠DAB ＝∠D ，又∵ ∠ABC ＝∠D ＋∠DAB ， ∴ ∠ABC ＝2∠DAB ＝60°，∴ ∠DAB ＝30°． 同理，∠CAE ＝30°．
∴ ∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAC ＋∠CAE ＝30°＋60°＋30°＝120°． 【说明】本题中用到了等边三角形的性质．
再如：如图14-3-17，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的点，且BD ＝CE ＝AF ，直线AD 、BE 、CF 两两相交于点R 、Q 、P ． 求证：△PQR 是等边三角形．
分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与
△CAD全等．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．
又∵BD＝CE＝AF，
∴BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∠
∠
∠
，
＝
＝
，
＝
＝
，
＝
＝
CD
BF
AE
DCA
FBC
BAE
CA
BC
AB
∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．
同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR为等边三角形．
【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；
（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．
3．证明线段相等的方法
到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：
（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．
（2）等角对等边（在一个三角形中）．
（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．
（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．